Abgeschnittenes Gesetz – Wikipedia

In Wahrscheinlichkeit und Statistik a Abgeschnittenes Gesetz ist ein bedingtes Gesetz, das aus einem anderen Wahrscheinlichkeitsgesetz abgeleitet ist, in dem die Drucke nur über ein definiertes Intervall gehalten werden. Für eine zufällige Variable deutlicher X echte Unterstützung, die Verteilungsfunktion, die ist F , das Gesetz, das in der realen Intervall abgeschnitten wurde [ A Anwesend B ] ist einfach das bedingte Gesetz von X | A ≤ X ≤ B . Diese Art von Situation tritt in der statistischen Zensur auf. Zum Beispiel waren einige Menschen zu Beginn der Studie bereits für die Untersuchung der verbrauchten Arbeitslosen während der Beobachtungszeit arbeitslos, fanden jedoch in dieser Zeit Arbeit (Linkskürzung) und andere verlieren ihre Arbeit und bleiben jenseits des Ende der Studie (Kürzung rechts). Die Untersuchung des verkürzten Gesetzes ermöglicht es dann, die Plausibilitätsfunktion zu bewerten.

Für eine zufällige Variable X , echte Unterstützung, und deren Verteilungsfunktion ist F und Dichte F wir können zeigen, dass die Verpackung von X im tatsächlichen Intervall [ A Anwesend B ] Frauen :

${displayStyle mathbb {p} (xleq x | aleq xleq b) = {frac {mathbb {p} (Aleq xleq x)} {mathbb {p} (Aleq xleq b)} (a)} {f (b) -f (a)}}}$

mit

Und

.
Die Dichte G Partner ist

after-content-x4

${displayStyle g (x) = f (x | aleq xleq b) = {frac {f (x)} {f (b) -f (a)}}}$

Für

, 0 sonst. G ist eine Dichte, seitdem

${displayStyle int _ {a}^{b} g (x), mathhrm {d} x = {frac {1} {f (b) -f (a)}} int _ {a}^{b} f ( x), mathrm {d} x = 1}$

.

Es gibt andere Kürzungen; Für einen Kürzel des Typs { X > Und } , Dichte wird

${displayStyle g (x) = f (x | x> y) = {frac {f (x)} {1-f (y)}}}$

${displayStyle x> y}$

G ( X ) = 0 überall sonst.

Für einen Kürzel des Typs

${displayStyle xleq y}$

, Dichte ist:

${displayStyle g (x) = f (x | xleq y) = {frac {f (x)} {f (y)}}}$

Für

${displayStyle xleq y}$

und 0 sonst.

Hoffnung auf eine verkürzte Zufallsvariable [ Modifikator | Modifikator und Code ]

Die Hoffnung von X bedingt bei der Veranstaltung { X > Und } Ost

${displayStyle mathbb {e} (x | x> y) = {frac {1} {1-f (y)}} int _ {y}^{infty} xf (x), mathrm {d} x}$

${displayStyle xmapsto u (x)}$

nobel C ^Erste , Funktion

${displayStyle yMapSto mathbb {e} (u (x) | x> y)}$

${DisplayStyle lim _ {yto a} mathbb {e} (u (x) | x> y) = mathbb {e} (u (x))}$

${DisplayStyle lim _ {yto b} mathbb {e} (u (x) | x> y) = u (b)}$

$oder } (u (x) | x> y) -U (y)]}}$

${displayStyle lim _ {yto a} {frac {partial} {partial y}} [mathbb {e} (u (x) | x> y)] = f (a) [mathbb {e} (u (x)) -U (a)]}$

${displayStyle lim _ {yto b} {frac {partial} {partial y}} [mathbb {e} (u (x) | x> y)] = {frac {1} {2}} u ‘(b)}}$

${DisplayStyle lim _ {yto c} u ‘(y) = u’ (c)}$

Anwesend

${DisplayStyle lim _ {yto c} u (y) = u (c)}$

Und

${displayStyle lim _ {yto c} f (y) = f (c)}$

Oder C beides darstellen A oder B .

Reduziertes zentriertes normales Gesetz in 2 abgeschnitten.

Vergleich von zwei normalen zentrierten Gesetzen, die einen in 1,5 (rot) in 2,5 (blau) abgeschnitten haben.

Das am häufigsten verwendete verkürzte Gesetz ist Abgeschnittenes normales Gesetz , aus einem normalen Gesetz erhalten. Es wird in der Ökonometrie im Tobitmodell und im Probit -Modell verwendet, um die zensierten Daten bzw. die Wahrscheinlichkeiten der binären Entscheidungen zu modellieren.

Und

${displayStyle xsim {mathcal {n}} (mu, sigma ^{2})!}$

und dass wir ausmachen X zum Intervall gehören [ A Anwesend B ] mit

${displayStyle -infty Leq a$

. Dann ist die verkürzte Dichte

${displayStyle f (x; mu, sigma, a, b) = {frac {frac {1} {sigma}} {phi ({frac {b-mu} {sigma}})-phi ({frac {a-mu } {sigma}})}} varphi links ({frac {x-mu} {sigma}} rechts),},}$

Oder

${displayStyle {varphi (cdot)}}$

ist die Dichte des normalen normalen Gesetzes und

${displayStyle {Phi (CDOT)}}$

seine Verteilungsfunktion. Wir verhängen den Konvent nur, wenn

${displayStyle {b = uninfty}}$

, SO

${displayStyle {Phi links ({Frac {b-mu} {sigma}} rechts) = 1}}$

und das gleiche, wenn

${displayStyle {a = -infty}}$

, SO

${displayStyle {Phi links ({Frac {a-mu} {sigma}} rechts) = 0}}$

.

Die Momente für eine Doppelkürzung sind

${displayStyle mathbb {e} (x | a$

${displayStyle operatorname {var} (x | a$

Für eine einfache Kürzung werden diese Momente

${displayStyle mathbb {e} (x | a$

Und

${displayStyle operatorname {var} (x | x> a) = sigma ^{2} [1-delta (alpha)]}$

${displayStyle alpha = (a-mu)/sigma,; lambda (alpha) = varphi (alpha)/[1-phi (alpha)]; {text {et}}; Delta (alpha) = lambda (alpha) [lambda (Alpha) -Alpha].}$

Betrachten Sie die folgende Konfiguration: Ein Kürzungswert, sagen wir T wurde zufällig aus einer Wahrscheinlichkeitsdichte gezogen G ( T ) , Nicht-OBSERVER.
Wir beobachten dann einen Wert X in verkürzter Dichte gezogen F ( X | T ) . Wir wünschen uns aus der Beobachtung von X , besser die Dichte von verstehen T .

Per Definition haben wir bereits:

${displayStyle f (x) = int _ {x}^{unendlich} f (x | t) g (t), mathrm {d} t}$

Und

${displayStyle f (a) = int _ {-infty}^{a} links [int _ {x}^{unendlich} f (x | t) g (t), mathhrm {d} tright], mathrm {d} X}$

T muss größer sein als X und daher, wenn wir uns integrieren T , du musst fragen X als niedrigeres Klemmen.

Durch den Bayes -Theorem:

${displayStyle g (t | x) = {frac {f (x | t) g (t)} {f (x)}}}$

wer wird

${displayStyle g (t | x) = {frac {f (x | t) g (t)} {displayStyle int _ {x}^{infty} f (x | t) g (t), mathrm {d} t }}}$

Beispiel: Zwei gleichmäßige Variablen [ Modifikator | Modifikator und Code ]

Vorausgesetzt, dass T ist gleichmäßig verteilt auf [0; T ] Und X | T ist auch einheitlich verteilt, diesmal auf [0; T ]. Entweder G ( T ) Und F ( X | T ) Dichten beschreiben jeweils T Und X . Wir nehmen an, einen Wert von zu beobachten X und die Verteilung von T wissen X Ost

${displayStyle g (t | x) = {frac {f (x | t) g (t)} {f (x)}} = {frac {1} {t (ln (t) -ln (x))}} } quad {text {pour}} t> x.}$

Verweise [ Modifikator | Modifikator und Code ]

• Greene, William H. (2003). Ökonometrische Analyse (5. Aufl.). Prentice Hall. (ISBN 0-13-066189-9 )
• Norman L. Johnson und Samuel Kett (1970). Kontinuierliche univariate Verteilungen-1 , Kap. 13. John Wiley & Sons.