Egalitäre Äquivalenz – Wikipedia

Egalitäre Äquivalenz (EE) ist ein Kriterium der Fair Division.
In einer egalitär-äquivalenten Spaltung gibt es ein bestimmtes “Referenzbündel”

${displayStyle mit}$

so dass jeder Agent der Meinung ist, dass sein Anteil gleichwertig ist

${displayStyle mit}$

.

Das EE -Fairness -Prinzip wird normalerweise mit der Pareto -Effizienz kombiniert. A Coum ist eine Allokation, die sowohl pareto effizient als auch egalitär-äquivalent ist.

Definition [ bearbeiten ]

Eine Reihe von Ressourcen wird unter mehreren Agenten so aufgeteilt, dass jeder Agent

${displayStyle i}$

erhält ein Bundle

${displayStyle x_ {i}}$

. Jeder Agent

${displayStyle i}$

hat eine subjektive Präferenzbeziehung

${displayStyle Succeq _ {i}}$

Das ist eine Gesamtreihenfolge über dem Bündel.
Diese Präferenzbeziehungen induzieren eine Äquivalenzbeziehung auf die übliche Weise:

${displayStyle xsim _ {i} y}$

IFF

${displayStyle xsucceq _ {i} ysucceq _ {i} x}$

.

Eine Zuteilung wird genannt egalitär-äquivalent Wenn es ein Bündel gibt

${displayStyle mit}$

so dass für alle

${displayStyle i}$

:

${displaystyle X_{i}sim _{i}Z}$

Eine Zuteilung wird genannt Coum Wenn es sowohl paretoeffizient als auch egalitär-äquivalent ist.

Motivation [ bearbeiten ]

Das EE -Kriterium wurde 1978 von Elisha Pazner und David Schmeidler eingeführt. ^{[Erste] [2]}

Zuvor war das Hauptfairness-Kriterium in Wirtschaftswissenschaften Neidfre und EF (EF). EF hat den Verdienst, dass es ein ist Ordinal- Kriterium — Es kann nur auf individuellen Präferenzbeziehungen definiert werden; Es muss nicht die Versorgungsunternehmen verschiedener Agenten vergleichen oder annehmen, dass die Versorgungsfunktionen der Agenten normalisiert werden. EF kann jedoch mit Pareto -Effizienz (PE) unvereinbar sein. Insbesondere in einer Standardwirtschaft mit Produktion kann es keine Zuordnung geben, die sowohl PE als auch EF ist. ^[3]

EE ist wie EF ein Ordnungskriterium-es kann nur auf individuellen Präferenzbeziehungen definiert werden. Es ist jedoch immer kompatibel mit PE-eine Peeea (PE- und EE-Zuordnung) existiert immer auch in Produktionswirtschaften. Pazner und Schmeidler beschreiben informell eine Peeea wie folgt:

“Betrachten Sie den Fall, in dem es zwei Verbraucher und zwei Waren gibt (aber beachten Sie, dass jeder Schritt im Argument auf eine beliebige Anzahl von Vertretern und Waren überträgt …). Angenommen, jeder Verbraucher erhält eine genaue Hälfte der gesamten Stiftung. Diese egalitäre Verteilung wird im Allgemeinen nicht pe. Betrachten Sie den Strahl im Rohstoffraum, der vom Ursprung durch den Vektor der aggregierten Stiftungen führt. egalitär Die Verteilung wird durch jeden Mann dargestellt, der das gleiche Bündel entlang dieses Strahls erhält.

Wenn die egalitäre Verteilung nicht PE ist, liefert (durch Monotonität und Kontinuität der Präferenzen) jeden Mann, der entlang der Strahlung leicht nach oben nach oben ist, Verteilungen von Versorgungsunternehmen, die noch machbar sind, da sich die Startverteilung im Inneren der Nützlichkeitsmöglichkeiten befindet. Insbesondere, wenn wir jeden Mann gleichzeitig auf die gleiche Weise entlang des Rohstoffstrahls hinaufziehen, müssen wir schließlich eine Nutzverteilung treffen, die an der Grenze der Versorgungsunternehmen liegt. Dies bedeutet, dass es eine paretoeffiziente Allokation gibt, die ist gleichwertig Von der Sicht jedes Verbrauchers bis zur hypothetischen (nicht machbaren) Verteilung entlang des Strahls, der jedem Verbraucher dasselbe Bündel verleiht (was, indem er streng größer ist als die egalitäre Verteilung der aggregierten Stiftungen, selbst nicht machbar ist). Diese PE -Zuordnung ist also äquivalent dem egalitären Verteilung in der hypothetischen (größer als die ursprüngliche) Wirtschaft …

Die daraus resultierenden Zuteilung nennen wir die paretoeffiziente und egalitär-äquivalente Allokationen (Peeea). Es handelt sich um eine Einschränkung der Pareto -Wirtschaftsgruppe auf die Zuordnungen mit der angegebenen Eigenkapitalmobilie, die ihre zugrunde liegende Verteilung der Versorgungsniveaus von einigen egalitären Wirtschaft hätte erzeugt werden können. ”

Beziehung zum Maximinkriterium [ bearbeiten ]

Nehmen wir als Sonderfall an, dass es eine begrenzte Anzahl homogener teilbarer Waren gibt.
Lassen

${displayStyle in}$

Sei ein bestimmtes Bündel. Für jeden

${displayStyle rin [0,1]}$

, lassen

${displayStyle rw}$

Sei das Bündel, in dem die Menge jedes Gutes ist

${displayStyle r}$

mal sein Betrag in

${displayStyle in}$

.

Angenommen, die Präferenzverhältnis jedes Agenten

${displayStyle i}$

wird durch eine Versorgungsfunktion dargestellt

${displayStyle v_ {i}}$

, was kalibriert wird, dass:

${displayStyle v_ {i} (rw) = r}$

.
Dann ist ein Sonderfall einer EE -Zuordnung eine Zuweisung, in der für alle

${displayStyle i}$

:

${displaystyle V_{i}(X_{i})=r}$

Mit anderen Worten, alle Agenten haben den gleichen kalibrierten Nutzen.
In diesem Fall fällt die paretoeffiziente EE -Allokation (Peeea) mit der maximinischen Zuordnung zusammen – der Zuordnung, die den minimalen Nutzen maximiert.

Beachten Sie, dass das Maximin -Prinzip vom numerischen Nutzen abhängt. Daher kann es nicht direkt mit ordinalen Präferenzbeziehungen verwendet werden. Das EE -Prinzip ist ordinal und deutet auf eine besondere Möglichkeit hin, die Dienstprogramme so zu kalibrieren, dass sie mit dem Maximin -Prinzip verwendet werden können.

In dem Sonderfall, in dem

${displayStyle in}$

ist das Bündel aller Ressourcen (die Gesamtausstattung), eine egalitär-äquivalente Teilung wird auch als gerechte Abteilung bezeichnet.

Herve Moulin beschreibt diesen Sonderfall der EE -Regel wie folgt: ^{[4] : 242}

“Die EE -Lösung gleichen sich über Agenten aus, die die Versorgungsunternehmen entlang des” Numeraire “des Rohstoffbündels zu teilen sind. Mit anderen Worten, diese Lösung gibt jedem Teilnehmer eine Zuordnung, die er oder sie als äquivalent ansieht (mit seinen eigenen Vorlieben), Zum gleichen Anteil der Kuchen, wo der “Kuchen” für die Teilen der Ressourcen steht und ein Anteil eine homothetische Reduktion des Kuchens ist-dies ist der gleiche Bruchteil der gesamten verfügbaren Menge jeder Ware. ”

Beispiel [ bearbeiten ]

Das folgende Beispiel basiert auf. ^{[4] : 240–243}

• Es gibt drei Städte, A B und C.
• Es gibt eine Straße von A nach B und eine Straße von B nach C.
• Jede Straße kann insgesamt 100 Verkehrseinheiten tragen.
• Es gibt 100 Agenten: 40 müssen den Verkehr von A bis B, 30 von B bis C und 30 von A nach C übergeben.
• Die Nützlichkeit jedes Agenten entspricht der Verkehrsmenge, die er verabschieden darf. Also, wenn ein Agent x Einheiten von AB- und Y -Einheiten von BC erhält, ist sein Nutzen X (Wenn er in der AB -Gruppe ist), Und (wenn er in der BC -Gruppe ist) oder min (x, y) (Wenn er in der AC -Gruppe ist).

Die Frage ist, wie die 100 Kapazitätseinheiten auf jeder Straße unter den 100 Agenten teilnehmen können. Hier sind einige mögliche Lösungen.

• Angenommen, wir geben jedem Agenten das Bündel
  ${displayStyle (x = 1, y = 1)}$

  , d.h. eine Einheit jeder Straße (so ist sein Dienstprogramm 1). Diese Division ist egalitär Aber es ist offensichtlich nicht PE, da die AB -Agenten und die BC -Agenten ihr Wohlergehen verbessern können, indem sie ihre Aktien an den Straßen handeln, die sie nicht benötigen.

• Angenommen, wir wollen jedem Agenten einen Nutzen von geben R , für einige
  ${displayStyle r> 1}$

  

  ${displayStyle 40r+30r}$

  Einheiten von AB und

  ${displayStyle 30r+30r}$

  Einheiten von BC. Wir können höchstens 100 Einheiten jeder Straße zuweisen; Deshalb

  ${displayStyle rleq 100/70 = 30/20Applox 1.43}$

  . Die Abteilung, in der die AB -Agenten 30/21 AB -Einheiten erhalten, die BC -Agenten erhalten 30/21 Einheiten BC, und die AC -Agenten erhalten 30/21 Einheiten beider Straßen, ist egalitärer Äquivalent Da jeder Agent zwischen seinem Anteil und dem konstanten Bündel gleichgültig ist

  ${displayStyle (x = 30/20, y = 30/20)}}$

  . Es ist auch eine gerechte Abteilung, da der normalisierte Nutzen jedes Agenten 30/21 beträgt. Diese Abteilung ist jedoch immer noch nicht PE: Sie weist 100 Einheiten AB zu, sondern nur 600/7 Einheiten BC.

• Wir können die obige Abteilung PE machen, indem wir den BC -Agenten den verbleibenden Einheiten von BC geben. Dies verbessert ihren Nutzen an
  ${displayStyle 40/20prolox 1.90}$

  ohne den anderen Agenten zu schaden. In der resultierenden Zuordnung ist jeder Agent zwischen seinem Anteil und dem konstanten Bündel gleichgültig

  ${displayStyle (x = 30/20, y = 40/20)}}$

  . Daher ist auch diese Teilung egalitär-äquivalent. Jetzt werden alle Kapazitäten zugewiesen und die Teilung ist PE; Deshalb ist dies die Peeea. Beachten Sie, dass die resultierende Zuweisung ist Lesen optimal – Es maximiert den Nutzen der ärmsten Agenten und maximiert dem Nutzen der anderen Agenten.

Variante [ bearbeiten ]

Betrachten Sie nun die folgende Variante im obigen Beispiel. Die Versorgungsunternehmen der AB- und BC -Agenten sind wie oben, aber die Nützlichkeit der AC -Wirkstoffe, wenn er X -Einheiten von AB- und Y -Einheiten von BC erhalten (x+y)/2 . Beachten Sie, dass es so normalisiert ist, dass ihr Nutzen von einer Einheit jeder Ressource 1 beträgt.

• Angenommen, wir wollen jedem Agenten einen Nutzen von geben R , für einige
  ${displayStyle r> 1}$

  

  ${displayStyle 40r+30x}$

  Einheiten von AB und

  ${displayStyle 30r+30y}$

  Einheiten von BC, wo

  ${displayStyle x+y = 2r}$

  . Da es jeweils 100 Einheiten gibt, haben wir

  ${displayStyle rleq 200/130 = 60/39Applox 1.54}$

  . Die Abteilung, in der die AB -Agenten 60/39 AB -Einheiten erhalten zwischen seinem Anteil und dem konstanten Bündel

  ${displayStyle (x = 60/39, y = 60/39)}$

  . Es ist auch gerecht, da der Nutzen aller Agenten 60/39 beträgt. Es ist auch PE, daher ist es ein Peeea. Leider ist es nicht EF, da die BC -Agenten die AC -Agenten beneiden. Darüber hinaus dominiert das Bündel eines AC -Agenten das Bündel eines BC -Agenten: Sie erhalten mehr von jeder Ressource, was ziemlich unfair erscheint.

• Anstatt ein Referenzbündel mit gleichen Mengen jeder Ressource (R, R) zu nehmen, können wir ein Referenzbündel mit unterschiedlichen Mengen (R, S) nehmen. Dann müssen wir zuweisen
  ${displayStyle 40r+30x}$

  Einheiten von AB und

  ${DisplayStyle 30S+30y}$

  Einheiten von BC, wo

  ${displayStyle x+y = r+s}$

  . Da es jeweils 100 Einheiten gibt, haben wir

  ${DisplayStyle 70R+60 sleq 200}$

  . Kombinieren Sie dies mit einem neidfeiner Zustand, der gibt

  ${displayStyle r = 100/70 = 30/20Applox 1,43, S = 100/60 = 35/21Applox 1,67}$

  . Die Abteilung, in der die AB -Agenten 30/21 AB -Einheiten erhalten, die BC -Agenten erhalten 35/21 Einheiten BC, und die AC -Mittel erhalten 30/21 Einheiten AB plus 35/21 BC, ist EE, da jeder Agent ist gleichgültig zwischen seinem Anteil und dem konstanten Bündel

  ${displayStyle (x = 30/20, y = 35/21)}$

  . Es ist auch PE, also ist es Peeea. Es ist auch EF, also ist es auch Peefa. Es ist jedoch nicht gerecht: Der relative Nutzen der AB -Agenten ist jedoch

  ${displayStyle 30/20Applox 1.43}$

  , der BC -Agenten –

  ${displayStyle 35/20Applox 1.67}$

  und von den AC -Agenten –

  ${displayStyle 32.5/21Applox 1.54}$

  .

Zusammenfassend: In diesem Beispiel muss ein Teiler, der an die Bedeutung der egalitären Äquivalenz glaubt, zwischen Gleichbarkeit und Neidfeinheit wählen.

EE und EF [ bearbeiten ]

Wenn es zwei Agenten gibt, enthält der Satz von Peee -Zuweisungen die Menge der Peef -Zuweisungen. Der Vorteil von Peeea ist, dass sie existieren, auch wenn es keine Peefa gibt. ^[Erste]

Bei drei oder mehr Wirkstoffen könnten jedoch die PE -Zuteilungen, die sowohl EE als auch EF sind, leer sein.
Dies ist sowohl im Austausch Volkswirtschaften mit homogenen teilbaren Ressourcen der Fall ^[5] und in Volkswirtschaften mit Univisität. ^[6]

Eigenschaften [ bearbeiten ]

In dem Sonderfall, in dem das Referenzbündel einen ständigen Bruchteil jedes Gutes enthält, enthält jedes Gut,
Die Peeea -Regel hat einige wünschenswertere Eigenschaften: ^{[4] : 248–251}

• Verhältnismäßigkeit: Jeder Agent glaubt, dass sein Anteil mindestens so gut ist wie das Bündel, das enthält
  ${displayStyle 1/n}$

  von jeder Ressource.

• Bevölkerungsmonotonizität: Wenn ein Agent die Szene verlässt und die Ressourcen nach derselben Regel erneut unterteilt werden, ist jeder der verbleibenden Agenten schwach besser.

Es fehlen jedoch einige andere wünschenswerte Eigenschaften:

• Neidfeinheit: Auch wenn alle Agenten glauben, dass ihr Bündel demselben Referenzgebäude entspricht, glauben sie möglicherweise, dass ein anderes Bündel mehr wert ist als ihr.
• Ressourcenmonotizizität: Wenn mehr Ressourcen für die Zuteilung verfügbar sind und die Ressourcen gemäß derselben Regel erneut unterteilt werden, könnten einige Agenten möglicherweise schlechter sein.

In einigen Einstellungen entspricht die Peeea-Regel der Kalai-Smorodinsky-Verhandlungslösung. ^{[4] : 275}

Siehe auch [ bearbeiten ]

Verweise [ bearbeiten ]