Implizite Funktionen Theorem – Wikipedia

In der Mathematik, insbesondere in der mathematischen Analyse und Geometrie, die implizite Funktionen Theorem Es ist ein wichtiges Instrument, das festlegt, wann der Ort der Nullen einer implizite Gleichung in Bezug auf eine Variable explizit sein kann.

In der italienischen Literatur wird der Satz im Allgemeinen gesagt Theorem früh Zu Ehren des Mathematiker Ulysses Dini, der zur Ausweitung seiner Formulierung beigetragen hat. ^[Erste]

Dinis Theorem legt fest, dass eine echte Klassenfunktion

${displayStyle c^{1}}$

von zwei Variablen des Typs:

${displayStyle f (x, y)}$

Definiert implizit eine einzige Funktion des Typs:

${displayStyle y = f (x)}$

In einem Punkt um ungefähr einen Punkt

${displayStyle (a, b)}$

so dass (explizit im Vergleich zur Y -Variablen): ^[2]

${displayStyle f (a, b) = 0, qquad {frac {partial f} {partial y}} (a, b) neq 0.}$

Dinis Theorem bietet daher einen ausreichenden Zustand, um eine einzelne Funktion zu existieren

${displayStyle y = f (x)}$

so dass

${displayStyle f (x, f (x)) = 0}$

mit dem variieren

${displayStyle x}$

das heißt eine einzelne Funktion

${displayStyle x = g (y)}$

so dass

${displayStyle f (g (y), y) = 0}$

mit dem variieren

${displayStyle y}$

.

Dies bedeutet nicht, dass es möglich ist, einen der beiden Unbekannten nach dem anderen zu explizit, dh es ist möglich, zu finden

${displayStyle y = f (x)}$

oder

${displayStyle x = g (y)}$

In explizitem Form, zeigt aber eher, dass es mindestens eine der beiden Funktionen gibt, die als implizite Funktion bezeichnet werden.

Wenn wir uns auf die Identifizierung bestimmter Funktionstypen beschränken, beispielsweise die kontinuierlichen und definierten in einem Intervall, kann auch ihre Einzigartigkeit nachgewiesen werden, was eine formale Äquivalenz zwischen implizitem Schreiben festlegt

${displayStyle f (x, y) = 0}$

und der explizit

${displayStyle y = f (x)}$

oder

${displayStyle x = g (y)}$

. Zum Beispiel die Gleichung:

${DisplayStyle f (x, y) = y+x^{2} e^{y} = 0}$

definiert eine einzige kontinuierliche Funktion gut

${displayStyle y = f (x)}$

für jeden definiert

${displayStyle x}$

real, was jedoch nicht explizit geschrieben werden kann.

Stellungnahme [ ändern | Modifica Wikitesto ]

Ist

${displayStyle fcolon gsubset Mathbb {r} ^{2} to Mathbb {r}}$

Eine Funktion mit realen Werten, die differenziert sind und deren teilweise Derivate kontinuierliche Funktionen sind. Sei auch

${displayStyle (x_ {0}, y_ {0}) in g}$

so dass:

${displayStyle f (x_ {0}, y_ {0}) = 0, qquad {frac {partial f} {partial y}} (x_ {0}, y_ {0}) neq 0.}$

Der Satz gibt an, dass es eine reale abgeleitbare Funktion gibt:

${displayStyle gcolon [x_ {0} -h, x_ {0}+h] to [y_ {0} -k, y_ {0}+k], Qquad H, K> 0, Quad H, Kin Mathbb {R} ,}$

${displayStyle g}$

Es ist der Satz von Paaren:

${displayStyle {(x, y) in g: f (x, y) = 0}}$

die im Rechteck enthalten sind:

${displayStyle [x_ {0} -h, x_ {0}+h] times [y_ {0} -k, y_ {0}+k].}$

Betrachten Sie eine Funktion der Klasse C ^Erste

${displayStyle fcolon ato mathbb {r}}$

auf einem offenen Satz definiert

${displayStyle asubseteq MathBB {r} ^{2}}$

, und betrachten Sie das Ganze:

${displayStyle z = {(x, y) in a: f (x, y) = 0}.}$

Mit

${displayStyle mit}$

Es ist nicht leer, es gibt einen Punkt

${displayStyle (x_ {0}, y_ {0})}$

so dass:

${displayStyle f (x_ {0}, y_ {0}) = 0.}$

Der Satz sagt das, wenn

${displayStyle (x_ {0}, y_ {0})}$

Es ist kein kritischer Punkt, nämlich:

${displayStyle nabla f (x_ {0}, y_ {0}) neq 0,}$

Dann gibt es eine um

${displayStyle u}$

Von

${displayStyle (x_ {0}, y_ {0})}$

so dass das Ganze

${DisplayStyle zcap u}$

Es ist das Diagramm einer abgeleitbaren Funktion.

Dies entspricht der Aussage, dass es eine einzige Funktion des Typs gibt

${DisplayStyle y = y (x)}$

oder Typ

${displayStyle x = x (y)}}$

das bezieht die beiden Unbekannten

${displayStyle x}$

Es ist

${displayStyle y}$

. Beachten Sie, dass dies nicht bedeutet, dass es wirklich möglich ist, eine der beiden Variablen nach der anderen zu erklären, sondern nur, dass die Gleichung implizit einen Zusammenhang zwischen den beiden Unbekannten definiert, die eindeutig sind.

Ist

${displayStyle gcolon asubset mathbb {r} ^{2} Rightarrow Mathbb {r}}$

eine Klassenfunktion

${displayStyle {mathcal {c}}^{1}}$

im Freien

${displayStyle a}$

und sei es

${displayStyle (x_ {0}, y_ {0}) in a}$

so dass:

${displayStyle g (x_ {0}, y_ {0}) = 0, qquad g_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) neq 0.}$

Dann gibt es ein wirklich offenes Intervall

${displayStyle i}$

, Kinder

${displayStyle x_ {0} in i}$

, ein wirklich offenes Intervall

${DisplayStyle j}$

, Kinder

${displayStyle y_ {0} in j}$

und eine Funktion

${displayStyle y (x)}$

Klasse

${displayStyle {mathcal {c}}^{1}}$

In

${displayStyle i}$

bei Werten in

${DisplayStyle j}$

so dass:

${displayStyle y (x_ {0}) = y_ {0}, qquad y ‘(x_ {0}) =-links ({Frac {g_ {x} y} (x_ {0}, y_ {0})}} rechts)}$

und so dass für jeden

${DisplayStyle Xin I, Yin J}$

die Beziehung:

${displayStyle g (x, y) = 0}$

Es tritt nur dann auf, wenn:

${DisplayStyle y = y (x).}$

Durch den Austausch der Rollen der Variablen ist eine Funktion definiert

${displayStyle x = x (y)}}$

.

Erste Demonstration [ ändern | Modifica Wikitesto ]

Eine kontinuierliche Funktion wird gegeben

${displayStyle gcolon asubset mathbb {r} ^{2} to Mathbb {r}}$

Klasse

${displayStyle {mathcal {c}}^{1}}$

In

${displayStyle a}$

so dass

${displayStyle nabla g (x, y) NEQ 0}$

In allen Punkten so dass

${displayStyle g (x, y) = 0}$

das heißt in der Levelkurve:

${displayStyle v = {(x, y) in a: g (x, y) = 0}.}$

Ist

${displayStyle (x_ {0}, y_ {0})}$

ein Punkt von

${displayStyle v}$

Und betrachten die relative Entwicklung in der ersten Ordnung von Taylor:

${displayStyle g (x, y) = g (x_ {0}, y_ {0})+g_ {x} (x_ {0}, y_ {0}) (x-x_ {0})+g_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) (y-y_ {0})+o ({sqrt {(x-x_ {0})^{2}+(y-y_ {0})^{2} }}).}$

Berücksichtigen

${displayStyle g (x_ {0}, y_ {0}) = 0}$

Das erste Teil des Begriffs in der ersten Ordnung wird auf Null entspricht:

${displayStyle g_ {x} (x_ {0}, y_ {0}) (x-x_ {0})+g_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) (y-y_ {0}) = 0.}$

Durch Hypothese hat diese erste Gleichung mindestens einen anderen Koeffizienten als Scratch und kann platziert werden

${displayStyle g_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) neq 0}$

. Es kann daher erhalten werden

${displayStyle y}$

als Funktion von

${displayStyle x}$

:

${DisplayStyle y = y_ {0}-{frac {g_ {x} (x_ {0}, y_ {0})} {g_ {y} (x_ {0 {0})}} (x-x_ {0 }).}$

Der Satz zeigt, dass der Fehler in der ersten Annäherungsformel der ersten Bestellung die Möglichkeit hat, eine Variable nach dem anderen auszudrücken.

Die erhaltene Funktion hat Entwicklung in erster Ordnung:

${DisplayStyle y = y_ {0}-{frac {g_ {x} (x_ {0}, y_ {0})} {g_ {y} (x_ {0 {0})}} (x-x_ {0 })+O (x-x_ {0}).}$

Zweite Demonstration (Kontraktionen Theorem) [ ändern | Modifica Wikitesto ]

Eine kontinuierliche Funktion wird gegeben

${displayStyle gcolon asubseteq Mathbb {r} ^{2} Rightarrow Mathbb {r}}$

Klasse

${displayStyle {mathcal {c}}^{1}}$

im Freien

${displayStyle a}$

so dass für

${displayStyle (x_ {0}, y_ {0}) in a}$

ja, hat es

${displayStyle {begin {aligned} g (x_ {0}, y_ {0}) = 0, qquad g_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) neq 0end {ausgeteilt}}.}$

Die Funktion ist definiert

${displayStyle {begin {aligned} g (x, y) = y- {frac {g (x, y)} {g_ {y} (x_ {0}, y_ {0})}} end {Aligned}}. }$

Damals

${displayStyle g (x_ {0}, y_ {0}) = y_ {0}}$

Es ist

${displayStyle g (x, y) = y}$

pro

${displayStyle (x, y) in iTimes j}$

. Also finde die Nullen von

${displayStyle g (x, y)}$

Es wird reduziert, um den Fixpunkt der Funktion zu finden

${displayStyle g (x, y)}$

.

Dank des Kontraktionssatzes wissen wir das, definiert,

${displayStyle x = {psi colon irightarrow j; |; psi in {mathcal {c}}^{0}}.}$

Seit

${displayStyle gin x}$

Anwesend

${displayStyle (x, lvert CDOT lvert _ {Infty})}$

Es ist leicht zu zeigen, dass es sich dann um einen vollständigen metrischen Raum handelt

${displayStyle existiert!; y = f (x): g (x, f (x)) = f (x).}$

Ist

${DisplayStyle Hcolon Xrightarrow x}$

eine Kontraktion so, dass

${displayStyle wmapSto h [w] (x) = g (x, w (x))}$

Es reicht für uns, das zu demonstrieren

${displayStyle h}$

ist gut definiert, das ist das

${displayStyle h [w] in x}$

. Dies muss die folgenden Eigenschaften haben:

1. 
   ${displayStyle h [w]}$

   es wird fortgesetzt in

   ${displayStyle i;}$

   

2. 
   ${DisplayStyle lvert h [w] -y_y_ {0} rvert _ {Infy} Leq varepsilon$

   

Der erste ist offensichtlich, da der Bediener die Zusammensetzung kontinuierlicher Funktionen ist. Die zweite kann durch eine Kette von Ungleichheiten demonstriert werden:

${displayStyle {begin {aligned} & lvert h [w] -y_ {0} rvert _ {infty} = lvert g (x, w (x))-g (x_ {0}, y_ {0}) lvert _ {Infly } Leq lvert g (x, w (x))-g (x, y_ {0}) lvert _ {infty}+lvert g (x, y_ {0})-g (x_ {0}, y_ {0} ) lvert _ {uninfty} = \ [10pt] & = lvert g (x, w (x))-g (x, y_ {0}) lvert _ {infty}+lvert y_ {0}-{Frac {g (g (g ( x, y_ {0})} {g_ {y} (x_ {0}, y_ {0})}}-y_ {0} lvert _ {infty} leiche lvert g_ {y} (x, xi _ {y} ) (w (x) -y_ {0}) lvert _ {uninfty}+{frac {lvert g (x, y_ {0}) lvert _ {infty}} {| g_ {y} (x_ {0}, y_ Oder Oder , End {ausgerichtet}}}$

wo der Lagrange -Theorem und die Tatsache, dass das

${DisplayStyle {begin {aligned} & {undrseet {xi _ {y} in j} {sup}} g_ {y} (x, xi _ {y}) leq {1 über 2} ;; {text {seit}}}}}}} {1}; }}}}} H, k; {text {kann klein sein}} \ [10pt] & lvert w (x) -y_ {0} lvert _ {infcty} leq varepsilon; {text {seit}} w (x) in x \ [10pt] & {Frac {lvert g (x, y_ {0}) lvert _ {infcty}} {| g_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) |}} Leq {varepsilon über 2}. End {ausgerichtet}}}$

Zeigen Sie das jetzt einfach

${displayStyle h}$

eine Kontraktion sein:

${displayStyle lvert h [w] -h [v] lvert _ {infty} = lvert g (x, w (x))-g (x, h (x)) lvert _ {infty} leq {unterstrich {xi in j } {sup}} | g (x, xi) | lvert w-vlvert _ {unendlich} Leq {1 über 2} lvert W-Vlvert _ {Infty}.}$

Ist

${DisplayStyle mathbf {f} colon Esubset Mathbbb {r} ^{n+m} rightarrow mathbb {r} ^{n}}$

eine Klassenfunktion

${displayStyle {mathcal {c}}^{1}}$

, Wo

${displayStyle mathbb {r} ^{n+m}}$

Es ist das kartesische Produkt

${displayStyle mathbb {r} ^{n} Times Mathbb {r} ^{m}}$

deren Elemente vom Typ sind

${DisplayStyle (mathbf {x}, mathbf {y}) = (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}, y_ {1}, y_ {2}, ldots, y_ {m})}}$

. Sei auch

${displayStyle (mathbf {a}, mathbf {b}) = (a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {n}, b_ {1}, b_ {2}, ldots, b_ {m}) in E}$

ein Punkt so, dass

${displayStyle mathbf {f} (mathbf {a}, mathbf {b}) = 0}$

.

Angesichts der jakobischen Matrix von

${displayStyle mathbf {f}}$

In

${displayStyle (mathbf {a}, mathbf {b})}$

:

${displayStyle {begin {matrix} (dmathbf {f}) (mathbf {a}, mathbf {b}) & = & links [{begin {matrix}} {frac {partial f_ {1}} {partial x_ {1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} (mathbf {a}, mathbf {b}) & cdots & {frac {partial f_ {1}} {partial x_ {n}}} (mathbf {a}, mathbf {b}) \ vdots & ddots & vdots \ {frac {partial {partial f_ {n}} {partial x_ {1}}} (mathbf {a}, mathbf {b}) & cdots & {frac {partial f_ {n}} {partial x_ {n}}} (mathbf {a}, mathbf {b} )end{matrix}}right|left.{begin{matrix}{frac {partial f_{1}}{partial y_{1}}}(mathbf {a} ,mathbf {b} )&cdots &{frac {partial f_ {1}} {partial y_ {m}}} (mathbf {a}, mathbf {b}) \ vdots & ddots & vdots \ {frac {partial f_ {n {n} {partial y_ {1}} (mathbf (mathbf oder {bmatrix} x & | & yend {bmatrix}} \ end {matrix}},},},}$

Nehme an, dass

${displayStyle x}$

invertierbar sein.

Der Theorem der impliziten Funktionen besagt, dass es zwei offene Sets gibt

${displayStyle Usubset Mathbb {r} ^{n+m}}$

Es ist

${displayStyle vSubset MathBB {r} ^{m}}$

enthält jeweils

${displayStyle (mathbf {a}, mathbf {b})}$

Es ist

${displayStyle mathbf {b}}$

so dass für jeden

${displayStyle mathbf {y} in v}$

Es gibt eine Single

${displayStyle mathbf {x}}$

befriedigend

${displayStyle (mathbf {x}, mathbf {y}) in u}$

Es ist

${displayStyle mathbf {f} (mathbf {x}, mathbf {y}) = 0}$

. Zusätzlich die Funktion

${DisplayStyle mathbf {g} colon vto mathbbb {r} ^{n}}$

so dass

${displayStyle mathbf {g} (mathbf {y}) = mathbf {x}}$

Es ist eine Klassenfunktion

${displayStyle {mathcal {c}}^{1}}$

so dass: ^[3]

${displayStyle mathbf {g} (mathbf {b}) = mathbf {a}, qquad (dmathbf {g}) (mathbf {b}) =-x^{-1} y,}$

Wo

${displayStyle (dmathbf {g}) (mathbf {b})}$

und die Jacobiana von

${displayStyle mathbf {g}}$

In

${displayStyle mathbf {b}}$

. Die Beziehung:

${displayStyle mathbf {f} (mathbf {g} (mathbf {y}), mathbf {y}) = 0, qquad mathbf {y} in v,}$

es definiert implizit

${displayStyle mathbf {g}}$

.

Der Satz legt daher fest, dass das System

${displayStyle mathbf {f} (mathbf {x}, mathbf {y}) = mathbf {0}}$

:

${displayStyle links {{begin {matrix} f_ {1} (x_ {1}, x_ {2}, cdots, x_ {n}, y_ {1}, y_ {2}, cdots, y_ {m}) = 0 0 \ f_ {2} (x_ {1}, x_ {2}, cdots, x_ {n}, y_ {1}, y_ {2}, cdots, y_ {m}) = 0 \ vdots \ f_ {n} ( x_ {1}, x_ {2}, cdots, x_ {n}, y_ {1}, y_ {2}, cdots, y_ {m}) = 0 \ end {Matrix}} rechts.}$

Es kann durch explizit gelöst werden

${displayStyle (x_ {1}, x_ {2}, cdots, x_ {n})}$

als Funktion von

${DisplayStyle (y_ {1}, y_ {2}, cdots, y_ {m})}$

In einem um rund von von

${displayStyle mathbf {b}}$

Wenn das System in gelöst werden kann

${displayStyle (mathbf {a}, mathbf {b})}$

und wenn

${displayStyle x}$

Es ist unvertrieben. ^[4] Die so gefundenen Lösungen sind auch Klassenfunktionen

${displayStyle {mathcal {c}}^{1}}$

. Der Satz kann auf den Fall von analytischen Funktionen verallgemeinert werden.

Der Satz erstreckt sich auch auf die Räume von Banach.

• Walter Rudin, Prinzipien der mathematischen Analyse , Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
• V.Baruttello, M.Conti, Legislative Dekret, S.tero, G.Verzini, Mathematische Analyse. Mit Elementen der Geometrie und der Vektorberechnung , Editore Apogeo, 2008, ISBN 885032423