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Logarithmische Verteilung
Diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Verteilungsfunktion
Verteilungsfunktion
Parameter
p ∈ ] 0 , 1 [ {DisplayStyle Pin] 0,1 [}
Unterstützung
N ∖ { 0 } = { 1 , 2 , 3 , . . . } {DisplayStyle mathbb {n} setminus {0} = {1,2,3, …}}
Dichtefunktion
1 log 1 1 − p p n n {DisplayStyle {frac {1} {log {frac {1} {1-p}}}}} {frac {p^{n}}}}}}}}}}}}
Verteilungsfunktion
1 + B b ( n + 1 , 0 ) ln ( 1 − p ) {displayStyle 1+ {frac {mathrm {b} _ {b} (n+1,0)} {ln (1-p)}}}}
Kind
B p {displaystyle mathrm {B} _{p}}
Erwartet
1 log 1 1 − p p 1 − p {displayStyle {Frac {1} {log {Frac {1} {1-P}}}} {Frac {P} {1-P}}}
Mode
1 {DisplayStyle 1}
Varianz
− p p + log ( 1 − p ) ( 1 − p ) 2 ( log ( 1 − p ) ) 2 {displayStyle -p {frac {p+log (1-p)} {(1-p)^{2} (log (1-p))^{2}}}}
Momentgenerierungsfunktion
log ( 1 − p e t ) log ( 1 − p ) {displayStyle {Frac {log (1-Pe^{t})} {log (1-p)}}}}
Funktionsfunktion
log ( 1 − p e i t ) log ( 1 − p ) {displayStyle {Frac {log (1-Pe^{it})} {log (1-p)}}}}
Handbuch
Theoretisch der Wahrscheinlichkeit die Logarithmische Verteilung (Ö Serie logarithmisch) ist eine Verteilung der diskreten Wahrscheinlichkeit auf die positiven integralen Zahlen, die die Entwicklung in Taylor des natürlichen Logarithmus ausdrückt.
Protokoll ( Erste – – X ) = – – ( X + x 2 2 + x 3 3 + . . . ) {displayStyle log (1-x) =-{big (} x+{frac {x^{2}} {2}}+{frac {x^{3}} {3}}+… {big)}} }
Die Verteilung wurde von Ronald Fisher in einer Studie über die Genetik der Populationen beschrieben. [Erste]
Die logarithmische Verteilung des Parameters
P ∈ ] 0 Anwesend Erste [ {DisplayStyle Pin] 0,1 [}
P ( N ) = 1 − log ( 1 − p ) p n n = 1 log 1 1 − p p n n {DisplayStyle p (n) = {frac {1} {-log (1-p)}} {frac {p^{n}}}}} = {frac {1} {log {frac {1} {1 {1 {1 {1 {1 {1 {1 {1 -p}}}} {frac {p^{n}} {n}}}}
N > 0 {displayStyle n> 0}
– – Protokoll ( Erste – – X ) {displayStyle -log (1 -x)}
Die Verteilungsfunktion ist
F ( N ) = Erste + B p ( n + 1 , 0 ) log ( 1 − p ) {displayStyle f (n) = 1+{frac {mathrm {b} _ {p} (n+1,0)} {log (1-p)}}}
Wo
B p {displayStyle mathrm {b} _ {p}}
Eine zufällige Variable
X {displayStyle x}
P {displayStyle p}
μ k = UND [ X k ] = 1 log 1 1 − p ∑ n > 0 n k − 1 p k M sovey Rep Walfey Tife auch selbst.
UND [ X ] = 1 log 1 1 − p p 1 − p {displayStyle e [x] = {Frac {1} {log {frac {1} {1-P}}}} {Frac {P} {1-P}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
Var ( X ) = UND [ X 2 ] – – UND [ X ] 2 = 1 − ( 1 − p ) 2 log ( 1 − p ) – – ( p − ( 1 − p ) log ( 1 − p ) ) 2 {displayStyle {text {var}} (x) = e [x^{2}]-e [x]^{2} = {frac {1} {-(1-p)^{2} log (1- 1- p)}}-{big (} {frac {p} {-(1-p) log (1-p)}} {big)}^{2}}
Die Funktion für Erzeugungsfunktion ist
g X ( T ) = UND [ e t X ] = 1 − log ( 1 − p ) ∑ n > 0 ( p e t ) n n = log ( 1 − p e t ) log ( 1 − p ) {displayStyle g_ {x} (t) = e [e^{tx}] = {frac {1} {-log (1-p)}} sum _ {n> 0} {frac {(pe^{t} )^{n}} {n}} = {frac {log (1-pe^{t})} {log (1-p)}}}
P n / N {DisplayStyle p^{n}/n}
P ( N ) {displayStyle p (n)}
Rekursive Formel [ ändern | Modifica Wikitesto ] Die logarithmische Verteilung des Parameters
P {displayStyle p}
P ( N ) = ( P + − p n ) P ( N – – Erste ) {DisplayStyle p (n) = (p+{tfrac {-p} {n}}) p (n-1)}
N > Erste {displayStyle n> 1}
N ∖ { 0 } {DisplayStyle mathbb {n} setminus {0}}
P ( Erste ) = ( P – – P ) P ( 0 ) = 0 {displayStyle p (1) = (p-p) p (0) = 0}
Poisson komponierte Verteilung [ ändern | Modifica Wikitesto ] Die zufällige Variabile
N {displayStyle n}
N {displayStyle n}
X 1 Anwesend . . . Anwesend X N {DisplayStyle x_ {1}, …, x_ {n}}}
X 1 + . . . + X N {DisplayStyle x_ {1}+…+x_ {n}}
Eine Verteilung der Pascal (oder negativen Kombination) folgt.
Mit anderen Worten, die Verteilung von Pascal ist eine Verteilung, die aus Poisson der logarithmischen Verteilung besteht.
![{displaystyle pin ]0,1[ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b564750d8aca0adf8e0c42a637f7481fdd656b6b)
![pin ]0,1[](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cd07a5e96ded88e85782453bdae4353f369a648)
schreibt die Chancen zu 
mit logarithmischer Verteilung des Parameters 
Ha ![{displaystyle mu _{k}=E[X^{k}]={frac {1}{log {frac {1}{1-p}}}}sum _{n>0}n^{k-1}p^{k}}”></span>Anwesend </dd>
</dl>
<p>durch die sie ausgedrückt werden können </p>
<dl>
<dd><span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c2eb674dd8c97a4f156562aee4ac1db18bf8495)
![{displaystyle E[X]={frac {1}{log {frac {1}{1-p}}}}{frac {p}{1-p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c8de412fa046369588e7b0ecb7ce5fa214260bc)
![{displaystyle {text{Var}}(X)=E[X^{2}]-E[X]^{2}={frac {1}{-(1-p)^{2}log(1-p)}}-{Big (}{frac {p}{-(1-p)log(1-p)}}{Big )}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37245c3d63877139c2d3f9d1cea48cd1fa9dd568)
![{displaystyle g_{X}(t)=E[e^{tX}]={frac {1}{-log(1-p)}}sum _{n>0}{frac {(pe^{t})^{n}}{n}}={frac {log(1-pe^{t})}{log(1-p)}}}”></span>. </dd>
</dl>
<p>Auch seit der Funktion <span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08ee80217d0b78be8af56db0d3a7ee3d301d0c8f)
Eine Verteilung von Poisson folgt dann der Summe von 
mit der gleichen logarithmischen Verteilung,, 
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