Paradoja de Russell – Wikipedia

El Paradoja de Russell , formulado por el filósofo británico y lógico Bertrand Russell entre 1901 y 1902 ^{[primero] [2]} , es una de las antinomías más importantes en la historia de la filosofía y la lógica. ^[3] .
Se puede enunciar así:

after-content-x4 “El conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismo pertenece a sí mismo si y solo si él no pertenece a sí mismo”.

Es más adecuadamente una antinomia que una paradoja: una paradoja es una conclusión lógica y no contradictoria que choca con la forma habitual de ver las cosas, mientras que una antinomia es una proposición que es autodenominada tanto si es cierto, tanto si es Es falso ^[4] .

La antinomía de Russell se puede expresar de manera “intuitiva” por medio de otras formulaciones, como la paradoja del barbero o la del bibliotecario; Además, se basa en un razonamiento similar a lo que conduce a la paradoja de la sotología de Grelling-Nelson ^{[3] [4]} , que, en última instancia, también a la paradoja mentirosa.

La paradoja de Russell desempeñó un papel fundamental en la crisis de los fundamentos de las matemáticas, que a su vez tuvo un peso notable en la crisis más amplia que afectó las certezas fundamentales de la física, la filosofía y precisamente las matemáticas al comienzo del siglo XX, que a menudo es asociado con el colapso de las doctrinas filosóficas positivistas ^[3] . En particular, demostró la naturaleza contradictoria de la teoría ingenua (o intuitiva) de los conjuntos de Georg Cantor, que hizo uso de herramientas matemáticas similares a las de las cuales Gottlob Frege se había basado en un intento de producir una base completa de matemáticas en Lógica (este intento se encuentra bajo el nombre del logicismo). En un intento por resolver la antinomia, de tal manera que preserva la validez de la idea (en la base del logicismo) para que las matemáticas puedan ser completamente fundadas por la lógica, Russell desarrolló en colaboración con Alfred North Whitehead la teoría de los tipos, exhibida. en su libro Principios matemáticos ^[3] .

Como parte de la teoría intuitiva del cantor, los conjuntos se pueden definir de manera completamente libre, es decir, puede crear conjuntos con características arbitrarias: dada una propiedad, siempre identifica un conjunto, es decir, el de todos los objetos que disfrútala ^[5] . Russell imaginó crear una división de los conjuntos en dos categorías:

• Los conjuntos que entre sus elementos tienen, es decir, los conjuntos que se pertenecen a sí mismos; A menudo se menciona como un ejemplo “El conjunto de todos los conceptos abstractos”, que pertenece a sí mismo porque, a su vez, es un concepto abstracto.

${DisplayStyle por favor x}$

• Los conjuntos que entre sus elementos no tienen sí mismos, es decir, los conjuntos que no pertenecen a sí mismos; Por ejemplo, como notó Russell, “el conjunto de todas las tazas de té” no es una taza de té ^[2] .

after-content-x4

${DisplayStyle xnot en x}$

Si definimos Riñonal Al igual que el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos, tenemos:

${DisplayStyle r = {xMid xnot en x}}$

El problema planteado por Russell en este momento era si Riñonal pertenecer o no a sí mismo. Pero asumiendo, por ejemplo, que R te pertenece, tendrías:

• R pertenece a sí mismo;
• Por lo tanto, R satisface la definición;
• Entonces R es uno de los “conjuntos que no se pertenecen a sí mismos”;
• Entonces R no pertenece a sí misma, lo que contradice la primera declaración.

En su lugar, a partir de la declaración contraria, es decir, suponiendo que R no pertenece a sí mismo, tendrías:

• R no pertenece a sí mismo;
• Por lo tanto, R no satisface la definición;
• Entonces R no es uno de los “conjuntos que no pertenecen a sí mismos”;
• Entonces R es un todo que pertenece a sí mismo, lo que contradice la primera declaración.

En términos lógicos:

${DisplayStyle Rin Riff Rnot en R}$

En resumen, la paradoja de Russell se puede enunciar de la siguiente manera: El conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismo pertenece a sí mismo si y solo si no se pertenece a sí mismo . Formalmente,

${displayStyle {text {se}} r = {xmid xnot en x} {text {, Allora}} riff riff rnot en r}$

Descubrimiento de la antinomía [ cambiar | Modifica wikitesto ]

Bertrand Russell aterrizó en su antinomia a principios del siglo XX, simplificando el teorema del cantor ^[6] .

En el mismo período, la famosa fibra lógica alemana Gottlob, el exponente más importante del programa lógico, estaba llevando a cabo un intento de encontrar rigurosamente toda la construcción de matemáticas en la lógica; En 1879 su trabajo Ideografía Había colocado las bases de ese lenguaje simbólico y formal mediante el cual Froge tenía como objetivo definir con evidencia absoluta los conceptos fundamentales de las matemáticas ^[7] .

En el momento del descubrimiento de la antinomia de Russell, ya había publicado el primer volumen de su Principios de aritmética , en el que procedió a la verdadera “lógica” de los conceptos de que otras matemáticas (Dedekind y Peano) habían demostrado ser la base de la aritmética y, en consecuencia, de todas las matemáticas. Sin embargo, el 16 de junio de 1902, Russell escribió una carta a Frege en la que le informó cómo descubrió una antinomia relacionada con los temas de la Principios de aritmética , que el filósofo británico había leído un año antes. El punto crítico del intento de encontrar las matemáticas en la lógica hecha por los lógicos (que también es el punto crítico de la teoría de los niños de Cantor) fue el axioma de “abstracción”, para el cual cada propiedad identifica el conjunto de objetos que satisfacen; La propiedad de No perteneces a sí mismo , de hecho, da lugar a un conjunto con características contradictorias ^[8] .

El segundo volumen del trabajo de Frege salió unos meses después, en 1903, y su autor solo pudo agregar un apéndice en el que hizo público la antinomia y confesó su desalentador, abriendo la “crisis de los fundamentos de las matemáticas”:

“Aquí no está en cuestión mi método de base en particular, sino la posibilidad de una base lógica de la aritmética en general [9] . »

Mientras tanto, la antinomia había sido redescubierta por Ernst Zermelo, y debe recordarse que había sido anticipada, unos años antes por Georg Cantor ^[6] .

Consecuencias de la paradoja de Russell [ cambiar | Modifica wikitesto ]

Entre finales del siglo XIX y el comienzo del 20, varios matemáticos y filósofos habían comenzado a cuestionar el problema de los “fundamentos de las matemáticas”, es decir, sobre la definición de bases precisas capaces de fundar toda la construcción conceptual de matemáticas . La atención, que previamente se concentró casi exclusivamente en el contenido de juicios matemáticos, se mudaron en este período en el justificación de los juicios mismos ^[diez] .

Las tres perspectivas principales sobre el problema de los cimientos fueron el lógico, el intuicionista y el formalista.

La antinomio de Russell, así como el envío de lógico en crisis, generó problemas contra los cuales todos los académicos de las matemáticas de sus contemporáneos chocaron, y eso, a pesar de varios intentos de encontrar respuestas a la paradoja, permanecieron insolubles tanto para la teoría de los tipos desarrollados por Russell. Junto con Whitehead ^[11] , tanto para el intuicionismo de Luitzen Brouwer como para el formalismo de David Hilbert.

Fue el lógico austriaco Kurt Gödel quien, en 1931, resolvió definitivamente la pregunta al demostrar la imposibilidad muy corto para producir una cierta base de aritmética. Sus resultados están enunciados por dos teoremas de incompletitud ^[duodécimo] .

En cuanto al entorno, las contradicciones destacadas por la paradoja de Russell son insolubles en el contexto de la teoría de Cantor, si no generan otras paradojas; Para superar esta roca, se desarrollaron varias teorías axiomáticas más rigurosas: la que siguió fue la teoría de los conjuntos de Zermelo-Craenkel, inicialmente formulados por Ernst Zermelo y perfeccionado por Abraham Fraenkel y Thoralf Skolem que, con extensiones posteriores (por ejemplo, teoría de ZFC, ZFC ) todavía proporciona la base teórica para la mayoría de las construcciones matemáticas. La antigua teoría de los conjuntos (además aún ampliamente utilizados a nivel escolar y popular) se llama teoría intuitiva de los conjuntos, a diferencia de la teoría axiomática de los conjuntos.

Entre finales del siglo XIX y principios del siglo XX, otras antinomías contribuyeron a socavar las bases lógicas contemporáneas que las matemáticas se habían dado a sí misma y, por lo tanto, también el programa para fundar las matemáticas en bases lógicas que estaban protegidas de cualquier contradicción. Junto a la paradoja de Russell, recuerdan:

• F. Cioffi, F. Gallo, G. Luppi, A. Vigorelli, E. Zanette, Diálogo , Ediciones escolares Bruno Mondadori, 2000, vol. 3 Autores y textos y vol. 3 Problemas , ISBN 88-424-5264-5.
• C. Ferrandi, Filosofía y ciencia: un fructífero entrelazado , Turín, IL Capitello, 1991, vol. 3.
• W. Maraschini, M. Palma, Formato, spe , Paravia, 2002, ISBN 88-395-1435-X.
• P. Odifreddi, El diablo en la silla , Einaudi, 2003, ISBN 88-06-18137-8.

• Russell, paradoja de , en Enciclopedia de Matemáticas , Instituto de la Enciclopedia italiana, 2013.
• ( EN ) Paradoja de Russell . son Enciclopedia Británica Encyclopedia Britannica, Inc.
• ( EN ) Eric W. falla, Paradoja de Russell . son Mathworld , Wolfram Research.