Lebesgue-Integral – Wikipedia

Le Lebesgue-intégral (Après Henri Léon Lebesgue [ ʁiː ea ləb s ]) est le concept intégral des mathématiques modernes, qui permet l’intégration des fonctions définies sur tous les espaces dimensionnels. Dans le cas de nombres réels avec la mesure de Lebesgue, l’intégrale de Lebesgue représente une généralisation réelle de l’intégrale de Riemann.

En parlant de façon vivante, cela signifie: Afin d’approcher l’intégrale de Riemann (Fig. 1 Blue), l’axe d’abscissa est divisé en intervalles (partitions) et rectangles en fonction de la valeur fonctionnelle à un point de support dans les intervalles pertinents et a ajouté ces surfaces. En revanche, l’axe ordonné est divisé en intervalles pour aborder l’intégrale de Lebesgue (Fig. 1 rouge) et les surfaces pour l’approximation résultent d’un centre de support de l’intervalle d’ordonnées respectif multiplié par la longueur globale de l’association de l’intervalle primitif (mêmes tonalités rouges). La somme des domaines formés de cette manière se traduit par une approche de l’intégrale de Lebeegue. La longueur totale de l’archétype est également appelée leur mesure. Comparez la citation de Henri Lebesgue dans la section ci-dessous.

Tout comme une intégrale de Riemann est définie par la convergence de la zone d’une séquence de fonctions d’escalier, l’intégrale de Lebesgue est définie par la convergence d’une conséquence de fonctions dites simples.

La raison du calcul différentiel et intégral commence au XVIIe siècle avec Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz (en 1687 “Philosophiae naturalis Principia Mathematica” de Newton). Il représente une étape importante dans l’histoire de la science, car pour la première fois, on avait un concept mathématique pour la description des processus continue et dynamiques dans la nature et, par conséquent, à calculer les zones tordues. Cependant, de nombreuses décennies devraient passer pour le calcul intégral vers le milieu du 19e siècle par Augustin Louis Cauchy et Bernhard Riemann sur une base théorique solide.

Cependant, la généralisation de la soi-disant Riemann intégrale dans les pièces de dimension supérieure, par exemple pour calculer les volumes de tout corps de la pièce, s’est avérée difficile. Le développement d’un concept intégral plus moderne et plus puissant est inextricablement lié au développement de la théorie des mesures. En fait, les mathématiciens ont commencé à étudier systématiquement comment toutes les sous-quantités du

R n {displayStyle Mathbb {r} ^ {n}}

De manière raisonnable, on peut attribuer un volume. La justification axiomatique stricte des figures réelles de Richard Dedekind et Georg Cantor et la raison de la théorie de la quantité par Cantor à la fin du 19e siècle ont été une condition préalable indispensable pour ce travail.

Premières réponses à la question du volume de toute sous-quantités du

R n {displayStyle Mathbb {r} ^ {n}}

Par exemple, a donné Giuseppe Peano et Marie Ennemond Camille Jordan. Une solution satisfaisante à ce problème n’a été obtenue qu’émile Borel et Henri Lebesgue par la construction de la mesure de Lebesgue. 1902 a formulé Lebesgue dans son parisien Thèse Pour la première fois, le problème de mesure moderne et a explicitement souligné de ne pas être en mesure de le résoudre en plein grand public, mais seulement pour une classe de quantités très spécifique Quantités mesurables appelé. En fait, il devrait s’avérer que le problème de mesure n’est généralement pas résolu, c’est-à-dire H. En fait, il existe des quantités qui ne peuvent pas être attribuées à une mesure significative (voir la phrase par Vitali, Banach-Tarski-Paradox). En raison de la construction de la mesure de Lebesgue, la voie était maintenant ouverte à un nouveau concept général général. La première définition de l’intégrale de Lebesgue a donné à Henri Lebesgue dans son Thèse lui-même. D’autres définitions significatives de l’intégrale de Lebesgue sont venues un peu plus tard de William Henry Young (1905) et Frigyes Riesz (1910). La définition présentée ci-dessous, qui est désormais la plus courante dans la littérature spécialisée, suit la construction de jeunes.

De nos jours, l’intégrale de Lebesgue est le concept intégral des mathématiques modernes. Sa généralisation et son – d’un point de vue mathématique – de belles propriétés en font également un outil indispensable dans l’analyse fonctionnelle, la physique et la théorie des probabilités.

Économie et quantités mesurables [ Modifier | Modifier le texte source ]]

L’intégrale de Lebesgue est définie pour les fonctions sur n’importe quel espace. Un espace sur beaucoup

Oh {displayStyle Omega}

consiste en une sélection de sous-quantités de

Oh {displayStyle Omega}

, comme mesurable appliquer, et une mesure si appelée

m {displaystyle mu}

, avec lequel un sous-ensemble mesurable

UN {displaystyle a}

depuis

Oh {displayStyle Omega}

Leur mesure

m ( UN ) {displayStyle {Mathcal {mu}} (a)}

est assigné. Cette mesure d’un sous-ensemble mesurable

UN {displaystyle a}

est toujours un nombre réel non négatif ou

+ ∞ {displaystyle + infty}

. Ici, à la fois la sélection des sous-quantités de

Oh {displayStyle Omega}

ainsi que la mesure respecte certains axiomes.

Pour l’intégration de quantités partielles de la

R n {displayStyle Mathbb {r} ^ {n}}

Les fonctions définies sont généralement utilisées

l {displaystyle lambda}

. Ceci est caractérisé par le fait que

n {displaystyle n}

– L’hyperréciation dimensionnelle cogne leur “normal”

n {displaystyle n}

– Le volume de dimension est attribué:

l ( [ un d’abord , b d’abord ]] × ⋯ × [ un n , b n ]] ) = ( b d’abord – un d’abord ) ⋅ … ⋅ ( b n – un n ) {displayStyle lambda ([a_ {1}, b_ {1}] fois DOTSB Times [a_ {n}, b_ {n}]) = (b_ {1} -a_ {1}) cdot ldots cdot (b_ {n} -a_ {n})}})

.

Intégration de fonctions simples [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Tout comme l’intégrale de Riemann est construite par des fonctions d’approximation au moyen d’une approximation, vous construisez l’intégrale de Lebesgue à l’aide de soi-disant fonctions simples. Cette procédure est parfois appelée «induction algébrique» et est utilisée dans de nombreuses preuves de fonctions mesurables.
Une fonction simple aussi Fonction élémentaire Appelé, est une fonction mesurable non négative qui ne fait que finalement de nombreuses valeurs fonctionnelles

un je {displaystyle alpha _ {i}}

accepte. Ainsi, chaque fonction simple peut être

ϕ {displaystyle phi}

écrire

ϕ = ∑ i=1nun iX Ai{displayStyle phi = sum _ {i = 1} ^ {n} alpha _ {i} chi _ {a_ {i}}}

.

Y a-t-il pour

je = d’abord , … , n {displayStyle i = 1, ldots, n}

,

un je {displaystyle alpha _ {i}}

un nombre réel positif,

UN je {displayStyle a_ {i}}

une quantité mesurable et

X Ai{displaystyle chi _ {a_ {i}}}

La fonction caractéristique aussi

UN je {displayStyle a_ {i}}

et le

UN je {displayStyle a_ {i}}

sont tous disjoints. Cela prend

UN je {displayStyle a_ {i}}

la valeur

d’abord {Displaystyle 1}

à l’extérieur de

UN je {displayStyle a_ {i}}

la valeur

0 {DisplayStyle 0}

.

Maintenant, l’intégrale d’une fonction simple peut être très naturelle

ϕ {displaystyle phi}

définir:

∫ Ωϕ d m : = ∑ i=1nun im ( UN i) {DisplayStyle int {omega} phi mathrm {d} in: = sum _ {i = 1} ^ {n} alpha _ {i} mu (a_ {i})}

L’intégrale de

ϕ {displaystyle phi}

au-dessus de

Oh {displayStyle Omega}

Il en va de même pour la somme des produits de la valeur fonctionnelle de

ϕ {displaystyle phi}

et la mesure du montant sur lequel la fonction assume la valeur respective.

Intégration des fonctions non négatives [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Maintenant, vous définissez d’abord l’intégrale des fonctions non négatives, i. H. Pour les fonctions qui n’acceptent pas les valeurs négatives. La condition préalable à l’intégabilité d’une fonction est sa mesurabilité.

Une fonction non négative (numérique)

F : ( Oh , UN , m ) → ( R¯, B ( R¯) ) {displayStyle fcolon gauche (Omega, Sigma, mu droit) à ({bar {mathbb {r}}}, {mathcal {b}} ({bar {mathbb {r}}}))}

, par lequel

B ( R¯) {displayStyle {mathcal {b}} ({bar {mathbb {r}}})}

Le borelsche σ-algèbre

R¯{displayStyle {bar {mathbb {r}}}}

désigné est exactement mesurable lorsqu’il y a une séquence

( F n ) n ∈ N{DisplayStyle (f_ {n}) _ {nin mathbb {n}}}

de fonctions simples qui se développent en un point et monotone

F {displaystyle f}

convergé. Vous définissez maintenant l’intégrale d’une fonction non négative et mesurable

∫ ΩF d m = lim n→∞∫ ΩF nd m {DisplayStyle int _ {omega} ff, mathrm {d} mu = lim _ {nrightarrow infty} int _ {omega}, mathrm {d} mu}

,

où le

F n {displayStyle f_ {n}}

sont simples et en croissance et monotones contre

F {displaystyle f}

converger. Les limes sont du choix spécial de l’épisode

F n {displayStyle f_ {n}}

indépendant. L’intégrale peut également être la valeur

+ ∞ {displaystyle + infty}

supposer.

La définition équivalente suivante se trouve souvent dans la littérature:

∫ ΩF d m = souper { ∫Ωϕdμ|ϕ einfach,0≤ϕ≤f} {DisplayStyle int {omega} f, mathrm {d} mu = sup gauchebrace int {mathrm {d} mu, vert, phi {text {einfach}}, 0leq phi leq frighrbrrace}

Vous définissez donc l’intégrale d’une fonction mesurable non négative en modifiant la fonction “d’en bas” comme souhaité par des fonctions simples.

Intégration de toutes les fonctions et intégabilité mesurables [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Afin de définir l’intégrale de toute fonction mesurable, vous les démontez dans leur partie positive et négative, les intégrer individuellement et tirer les intégrales les unes des autres. Cependant, cela n’a de sens que si les valeurs de ces deux intégrales sont enfin (au moins la valeur de l’une des deux intégrales).

Le Positif

F + {displaystyle f ^ {+}}

une fonction

F {displaystyle f}

est défini (point) comme

F + = max { F , 0 } {displayStyle f ^ {+} = max {f, 0}}

.

Le Négatif

F – {displaystyle f ^ {-}}

est en conséquence (point – par) par

F – = max { – F , 0 } {displayStyle f ^ {-} = max {-f, 0}}

Sont définis.

ES doré alors (points de points)

F + ≥ 0 {displaystyle f ^ {+} geq 0}

,

F – ≥ 0 {displaystyle f ^ {-} geq 0}

,

F = F + – F – {displayStyle f = f ^ {+} – f ^ {-}}

et

F + + F – = | F | {displayStyle f ^ {+} + f ^ {-} = | f |}

.

Une fonction signifie µ-quasiintegable ou quasi-intégrable en ce qui concerne la taille µ Si au moins l’une des deux intégrales

∫ ΩF + d m {displayStyle int _ {omega} f ^ {+} mathrm {d} mu}

ou ∫Ωf− dm {displayStyle DisplayStyle int _ {omega} f ^ {-} mathrm {d} mu}

Enfin.

Dans ce cas moyen

∫ ΩF d m = ∫ ΩF + d m – ∫ ΩF −d m {DisplayStyle int {omega} f mathrm {d} mu = int {+} mathrm {d} mathrm {d} mathrm _ {omega} f {-} mathrm {d} in}

.

le

m {displaystyle mu}

-Intral de

F {displaystyle f}

au-dessus de

Oh {displayStyle Omega}

.

Pour toutes les sous-quantités mesurables

UN ⊆ Oh {displaystyle asubseteq oméga}

Est alors

∫ AF d m = ∫ ΩF ⋅ X A d m {DisplayStyle int _ {a} fmathrm {d} mu = int _ {omega} fcdot chi _ {a} mathrm {d} mu}

le

m {displaystyle mu}

-Intral de

F {displaystyle f}

au-dessus de

UN {displaystyle a}

.

Une fonction signifie µ-intégrable ou intégrable en ce qui concerne le niveau µ Si les deux intégrales

∫ ΩF + d m {displayStyle int _ {omega} f ^ {+} mathrm {d} mu}

et ∫Ωf− dm {displayStyle DisplayStyle int _ {omega} f ^ {-} mathrm {d} mu}

sont enfin.
La condition équivaut à ce

∫ Ω| F | d m < ∞ {displayStyle int _ {omega} | f |, mathrm {d} mu

.

De toute évidence, toute fonction intégrable peut être quasi intégrée.

De nombreuses orthographes sont utilisées pour l’intégrale de Lebesgue: ci-dessous est

UN ⊆ Oh {displaystyle asubseteq oméga}

une quantité mesurable. Si vous voulez la variable d’intégration pendant l’intégration

X {displaystyle x}

Spécifiez, vous écrivez

∫ AF ( X ) d m ( X ) {displayStyle int _ {a} f (x), mathrm {d} mu (x)}

ou ∫ AF ( X ) m ( d X ) {displayStyle int _ {a} f (x), mu (mathrm {d} x)}

ou ∫ Am ( d X ) F ( X ) {displayStyle int _ {a} mu (mathrm {d} x), f (x)}

.

Pour

Oh = R n {displayStyle omega = mathbb {r} ^ {n}}

Et le gars de la vie mesure

l {displaystyle lambda}

Vous écrivez à la place

d l ( X ) {displayStyle Mathrm {d} lambda (x)}

simplement

d X {displayStyle Mathrm {d} x}

, dans le cas d’une seule dimension, c’est-à-dire

Oh = R {displayStyle omega = mathbb {r}}

, vous écrivez aussi

∫ abF ( X ) d X {displayStyle int _ {a} ^ {b} f (x), mathrm {d} x}

Pour l’intégrale sur l’intervalle

[ un , b ]] {displayStyle [a, b]}

ou

]] un , b [ {displayStyle] a, b [}

.

Si la mesure

m {displaystyle mu}

Une densité de radon-nikodým

H {displaystyle h}

En ce qui concerne la mesure de Lebesgue, s’applique

∫ AF ( X ) d m ( X ) = ∫ AF ( X ) H ( X ) d X {displayStyle int _ {a} f (x), mathrm {d} mu (x) = int _ {a} f (x), h (x) mathrm {d} x}

.

L’orthographe est dans les zones d’application

∫ AF ( X ) H ( X ) d X {displayStyle int _ {a} f (x), h (x), mathrm {d} x}

souvent aussi utilisé lorsque

m {displaystyle mu}

officiellement n’a pas de densité. Cependant, cela n’a de sens que si vous

H {displaystyle h}

Pas en fonction, mais comme une distribution.

Est cette mesure

m {displaystyle mu}

dans le cas

Oh = R {displayStyle omega = mathbb {r}}

À travers une fonction de distribution

F {displaystyle f}

défini, vous obtenez donc l’intégrale de Le Lebesgue-Stales-Jes avec

∫ AF ( X ) d F ( X ) {displayStyle int _ {a} f (x), mathrm {d} f (x)}

ou ∫ AF d F {displayStyle int _ {a} f, mathrm {d} f}

mentionné.

Est

m {displaystyle mu}

Une probabilité, donc vous pouvez

F {displaystyle f}

être considéré comme une variable aléatoire (pour laquelle la notation

X {displaystyle x}

au lieu de

F {displaystyle f}

est commun). Vous définissez ensuite la valeur des attentes

ET ( F ) {displayStyle Mathbb {e} (f)}

depuis

F {displaystyle f}

quand

∫ ΩF d m {displayStyle int _ {omega} f, mathrm {d} mu,}

.

En physique théorique, l’orthographe devient

⟨ F ⟩ {displaystyle langle frangle }

utilisé dans l’analyse fonctionnelle parfois l’orthographe

m ( F ) {displayStyle mu (f)}

, dans la théorie de la mesure aussi

m F {displaystyle mu f}

^[d’abord] .

Beaucoup

N ⊂ Oh {displayStyle nsubset Omega}

, qui a la mesure 0, est appelé zéro, dans le cas de la mesure de Lebesgue également spécialement spécialement Lebesgue-Nullmenge .
Est ainsi

N ⊂ Oh {displayStyle nsubset Omega}

avec

m ( N ) = 0 {DisplayStyle mu (n) = 0}

et

F {displaystyle f}

Une fonction intégrable, ce qui suit s’applique:

∫ ΩF d m = ∫ Ω∖NF d m + ∫ NF d m = ∫ Ω∖NF d m {DisplayStyle int _ {omega} f, mathrm {d} mu = int _ {omega setminus n} f, mathrm {d} mu + int _ {n} pour, mathrm {d} mu = {omega setMinus n} f, mathrm {d} mu}

Depuis l’intégrale sur le montant zéro

N {displaystyle n}

accepte la valeur 0. ((

Oh ∖ N {displayStyle Omega setminus n}

Décrit le montant

Oh {displayStyle Omega}

Sans la foule

N {displaystyle n}

)

En conséquence, la valeur de l’intégrale ne change pas si la fonction est

F {displaystyle f}

change sur un zéro. Si une fonction a une propriété (continu, convergence, etc.) dans toute la plage de définition à l’exception d’une quantité de taille 0, il est dit que cette propriété existe presque partout . Dans la théorie de l’intégration de Lebesgue, il est souvent logique de faire deux fonctions qui correspondent presque partout même Pour regarder – vous les résumez en une classe d’équivalence (voir aussi L ^p ).

Il est souvent le cas que les fonctions qui ne sont définies que presque partout (par exemple les limes de méthodes ponctuelles d’une séquence de fonctions qui ne convergent que presque partout) apparaissent comme des fonctions dans toute la pièce et sans considération

∫ ΩF d m {displayStyle int _ {omega} f, dmu}

écrit, même si

F {displaystyle f}

pas tout du tout

Oh {displayStyle Omega}

est défini. Cette procédure est justifiée par le fait que chaque continuation de

F {displaystyle f}

Seulement sur un zéro

N {displaystyle n}

depuis

F {displaystyle f}

distingue et donc l’intégrale de la suite de l’ensemble

Oh {displayStyle Omega}

a la même valeur que l’intégrale sur

Oh ∖ N {displayStyle Omega setminus n}

.

Vous devez noter qu’une quantité nulle n’est que «petite» négligeable au sens de la mesure. Cependant, il peut également contenir un nombre infini d’éléments. Par exemple, le montant est

Q ⊂ R {displayStyle Mathbb {q} sous-ensemble MathBB {r}}

, la quantité de nombres rationnels en tant que sous-ensemble des nombres réels une quantité nul. La fonction Dirichlet

F ( X ) = {1x∈Q0sonst{displayStyle f (x) = {begin {case} 1 & xin mathbb {q} \ 0 & {text {Sonst}} end {cas}}}

Donc, dans le sens ci-dessus, c’est la même que la fonction qui prend constamment la valeur zéro (fonction zéro), bien qu’il n’y ait pas un petit environnement dans lequel vos valeurs correspondent. Un bien connu surestimé (aussi

R {displayStyle Mathbb {r}}

Significatif) La quantité vivante nul est la quantité de cantor.

L’intégrale est linéaire dans

Ld’abord {displayStyle {Mathcal {l}} ^ {1}}

(Espace des fonctions intégrables), d. H. Pour des fonctions intégrables

F {displaystyle f}

et

g {displaystyle g}

et n’importe quel

un , b ∈ R {DisplayStyle Alpha, Beta dans MathBB {R}}

Est aussi

un F + b g {DisplayStyle Alpha F + Beta G}

Intégrable et ce qui suit s’applique:

∫ Ω( un F + b g ) d m = un ⋅ ∫ ΩF d m + b ⋅ ∫ Ωg d m {DisplayStyle int _ {omega} (alpha f + bêta g), mathrm {d} mu = alpha cdot int _ {omega} f, mathrm {d} mu + beta cdot int _ {omega} g, mathrm {d} mu} mu}

L’intégrale est monotone, i. H. sont

F {displaystyle f}

et

g {displaystyle g}

deux fonctions mesurables avec

F ≤ g {displaystyle fleq g}

Alors s’applique

∫ ΩF d m ≤ ∫ Ωg d m {DisplayStyle int {omega} f mathrm {d} mu leq int _ {omega} g mathrm {d} in}

.

L’intégrale peut être séparée

∫ ΩF d m = ∫ Ω∖NF d m + ∫ NF d m {DisplayStyle int _ {omega} f mathrm {d} mu = {mega backslash n} f mathrm {d} mu _ {n} f mathrm {d} mu}

∫ Ω∪NF d m = ∫ ΩF d m + ∫ NF d m – ∫ Ω∩NF d m {DisplayStyle int {omega cup n} f mathrm {d} mu = int _ {omega} f mathrm {d} f mathrm {d} mathrm _ {omega cap n} f mathrm {d} in}

Est

UN ∈ P ( Oh ) {displayStyle ain {Mathcal {p}} (Omega)}

mesurable avec

m ( UN ) = 0 {displayStyle mu (a) = 0}

Alors s’applique

∫ AF d m = 0 {displayStyle int _ {a} fmathrm {d} mu = 0}

L’un des avantages les plus importants de l’intégrale de Lebeegue est les très belles ensembles de convergence d’un point de vue mathématique. Cela affecte l’interchangeabilité de la valeur limite et intégralement en cas de fonctions de la forme

( F n ) n ∈ N {DisplayStyle (f_ {n}) _ {nin mathbb {n}}}

. Les phrases de convergence les plus importantes sont:

Phrase de la convergence monotone (Beppo Levi, 1906)

Est F n: ( Oh , UN , m ) → ( R¯, B( R¯) ) , n ∈ N {DisplayStyle f_ {n} colon (Omega, Sigma, mu) to ({bar {mathb {r}}, {mathal {b}} ({mathb {r}}), nin mathbb {n}}

Une séquence monotone de fonctions non négatives et mesurables, donc:

∫Ωsupn∈Nfn dμ=∫Ωlimn→∞fn dμ=limn→∞∫Ωfn dμ{DisplayStyle int _ {omega} sup _ {nin mathbbb {n}} f_ {n} mathrm {d} mu = {omega} lim _ {ngighterrow infnty} fty} f_ {n} mathrm {d} mu = lim _ {nrightarwwow {omega Mathrm {d} mu}

.

Phrase de la convergence majeure (dominée) (Henri Léon Lebesgue, 1910)

Converge la conséquence des fonctions mesurables F n: ( Oh , UN , m ) → ( R¯, B( R¯) ) {DisplayStyle f_ {n} colon (omega, sigma, mu) to ({bar {mathb {r}}, {mathcal {b}} ({mathb {r})}}}

m {displaystyle mu}

-Fort partout contre la fonction mesurable F : ( Oh , UN , m ) → ( R¯, B( R¯) ) {displayStyle fcolon (omega, sigma, mu) to ({bar {mathbb {r}}}, {mathcal {b}} ({bar {mathbb {r}}}))}

et sont les fonctions F n{displayStyle f_ {n}}

, n ∈ N {Displaystyle nin mathbb {n}}

, montant m {displaystyle mu}

-Fast partout à travers une fonction intégrable g : ( Oh , UN , m ) → ( R¯, B( R¯) ) {displayStyle gcolon (omega, sigma, mu) to ({bar {mathbb {r}}}, {mathcal {b}} ({bar {mathbb {r}}}))}

limité, alors s’applique:

• 
  f{displaystyle f}
  est intégrable,
• 
  limn→∞∫Ωfn dμ=∫Ωf dμ{DisplayStyle lem _ {nrightarrow infty} int _ {omega} f_ {n} mathrm {d} mu = {omega} f mathrm {d} mu}
  et
• 
  limn→∞∫Ω|f−fn| dμ=0.{displayStyle lim _ {nrightarrow infty} int _ {omega} | f-f_ {n} | Mathrm {d} mu = 0.}
  

Lemma von Fatou (Pierre Fatou, 1906)

Sont F n: ( Oh , UN , m ) → ( R¯, B( R¯) ) {DisplayStyle f_ {n} colon (omega, sigma, mu) to ({bar {mathb {r}}, {mathcal {b}} ({mathb {r})}}}

, n ∈ N {Displaystyle nin mathbb {n}}

, fonctions mesurables non négatives, puis ce qui suit s’applique:

∫Ωlim infn→∞fn dμ≤lim infn→∞∫Ωfn dμ{DisplayStyle int _ {omega} liminf _ {nrightarrow infty} f_ {n} mathrm {d} mu leq liminf _ {nrightarrow infty} int _ {oméga} mathrm {d} mu}

Dans le cas

Oh = R {displayStyle omega = mathbb {r}}

Ce qui suit s’applique avec le gars de la vie: si une fonction peut être intégrée sur un intervalle compact Riemann-, il peut également être intégré de la vie. D’un autre côté, toutes les fonctions intégrables de Leesgue ne peuvent pas également être intégrées.

Cependant, une fonction mal intertwinable n’a pas à dans son ensemble Peut être intégré de la vie. Cependant, la limite correspondante des intégres de vie existe en fonction des remarques ci-dessus et offre la même valeur que pour l’intégrale de Riemann. Mais est

| F | {displayStyle | f |}

Riemann inévitablement intégré, alors

F {displaystyle f}

Même dans son ensemble intégré à la vie.

Il est facile de spécifier un exemple d’une fonction intégable inévitablement intégable de Riemann qui ne peut pas être intégrée de la vie.

F {displaystyle f}

Une fonction d’escalier avec les surfaces d’abord , -1/2 , 1/3 etc., alors c’est

F {displaystyle f}

Riemann inévitablement intégré. Parce que l’intégrale correspond à la ligne harmonieuse alternative. Étaient

F {displaystyle f}

Guy en direct intégré, alors

∫ R+| F | d l < ∞ {DisplayStyle Text Style int _ {Mathbb {r} ^ {+}} | f |, mathrm {d} lambda

sont valides. Cependant, ce n’est pas le cas parce que la série harmonieuse est divergente. En conséquence, l’intégrale de Lebesgue correspondante existe pas . La situation est illustrée à la figure 2.

Ce qui est plus important, c’est le cas inverse d’une fonction intégrable de vie qui ne peut pas être intégrée à Riemann.

L’exemple le plus connu de ceci est la fonction Dirichlet:

F : [ 0 , d’abord ]] → [ 0 , d’abord ]] {displayStyle fcolon [0,1] rightarrow [0,1]}

X ↦ {1,x∈Q0,sonst.{displayStyle xmapSto {begin {case} 1 &, xin mathbb {q} \ 0 &, {text {Sonst}}. end {cas}}}

F {displaystyle f}

Je ne peux pas être intégré à Riemann, car tous les examens sont toujours 0 et toutes les sommes supérieures sont toujours 1. Ici mais

Q , {displayStyle Mathbb {q} ,,}

La quantité de nombres rationnels, dans lesquels la quantité de nombres réels est une quantité de vie à tous, est la fonction Presque partout 0 . Ainsi, l’intégrale de Lebesgue existe et a la valeur 0.

La principale différence dans la procédure d’intégration selon Riemann ou Lebesgue est que l’intégrale de Riemann de la Zone de définition (Abscissa), cependant, dans l’intégrale de Lebesgue Quantité (Ordonnée) de la fonction. Les exemples ci-dessus peuvent déjà être constatés que cette différence peut être avérée cruciale.

Henri Lebesgue a dit à propos de la comparaison entre Riemann et Lebesgue Integral:

L’intégrale de Bochner représente une généralisation directe de l’intégrale de Lebesgue pour la digne de Banachraum.

• Jürgen Elstrodt: Théorie de la mesure et de l’intégration . Huitième édition élargie et mise à jour. Springer Spektrum, Berlin 2018, ISBN 978-3-662-57938-1, iv. The Lebesgue Integral, S. 135–177 , est ce que je: 10 1007 / 978-3-662-57939-8 .
• Walter Rudin: Analyse . 2., édition corrigée. Oldenbourg, Munich / Vienne 2002, ISBN 3-486-25810-9, 11. La théorie de Lebesguesch, S. 353–392 .
• Claus D. Schmidt: Mesure et probabilité . 2e, à travers l’édition. Springer, Berlin / Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, 8. Lebesgue Integral, 9. Calcul de l’intégrale de Lebesgue, S. 109–190 , est ce que je: 10 1007 / 978-3-642-21026-6 .

1. ↑ Olav Kallenberg: Fondements de la probabilité moderne (= Théorie des probabilités et modélisation stochastique . Groupe 99 ). 3. Édition. Springer, Cham 2021, ISBN 978-3-03061870-4, S. 21 , est ce que je: 10 1007 / 978-3-030-61871-1 .