[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/2020\/09\/01\/lebesgue-integral-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/2020\/09\/01\/lebesgue-integral-wikipedia\/","headline":"Lebesgue-Integral – Wikipedia","name":"Lebesgue-Integral – Wikipedia","description":"Cet article traite du terme int\u00e9gral g\u00e9n\u00e9ral, pour l’int\u00e9gration sp\u00e9ciale concernant la mesure de Lebesgue, voir l\u00e0-bas. 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Illustration 1: Illustration de la formation de valeur limite dans l’int\u00e9grale de Riemann (bleu) et dans l’int\u00e9grale de Lebesgue (rouge) Le Lebesgue-int\u00e9gral (Apr\u00e8s Henri L\u00e9on Lebesgue [ \u0281i\u02d0 ea l\u0259b s ]) est le concept int\u00e9gral des math\u00e9matiques modernes, qui permet l’int\u00e9gration des fonctions d\u00e9finies sur tous les espaces dimensionnels. Dans le cas de nombres r\u00e9els avec la mesure de Lebesgue, l’int\u00e9grale de Lebesgue repr\u00e9sente une g\u00e9n\u00e9ralisation r\u00e9elle de l’int\u00e9grale de Riemann. En parlant de fa\u00e7on vivante, cela signifie: Afin d’approcher l’int\u00e9grale de Riemann (Fig. 1 Blue), l’axe d’abscissa est divis\u00e9 en intervalles (partitions) et rectangles en fonction de la valeur fonctionnelle \u00e0 un point de support dans les intervalles pertinents et a ajout\u00e9 ces surfaces. En revanche, l’axe ordonn\u00e9 est divis\u00e9 en intervalles pour aborder l’int\u00e9grale de Lebesgue (Fig. 1 rouge) et les surfaces pour l’approximation r\u00e9sultent d’un centre de support de l’intervalle d’ordonn\u00e9es respectif multipli\u00e9 par la longueur globale de l’association de l’intervalle primitif (m\u00eames tonalit\u00e9s rouges). La somme des domaines form\u00e9s de cette mani\u00e8re se traduit par une approche de l’int\u00e9grale de Lebeegue. La longueur totale de l’arch\u00e9type est \u00e9galement appel\u00e9e leur mesure. Comparez la citation de Henri Lebesgue dans la section ci-dessous. Tout comme une int\u00e9grale de Riemann est d\u00e9finie par la convergence de la zone d’une s\u00e9quence de fonctions d’escalier, l’int\u00e9grale de Lebesgue est d\u00e9finie par la convergence d’une cons\u00e9quence de fonctions dites simples. La raison du calcul diff\u00e9rentiel et int\u00e9gral commence au XVIIe si\u00e8cle avec Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz (en 1687 “Philosophiae naturalis Principia Mathematica” de Newton). Il repr\u00e9sente une \u00e9tape importante dans l’histoire de la science, car pour la premi\u00e8re fois, on avait un concept math\u00e9matique pour la description des processus continue et dynamiques dans la nature et, par cons\u00e9quent, \u00e0 calculer les zones tordues. Cependant, de nombreuses d\u00e9cennies devraient passer pour le calcul int\u00e9gral vers le milieu du 19e si\u00e8cle par Augustin Louis Cauchy et Bernhard Riemann sur une base th\u00e9orique solide. Cependant, la g\u00e9n\u00e9ralisation de la soi-disant Riemann int\u00e9grale dans les pi\u00e8ces de dimension sup\u00e9rieure, par exemple pour calculer les volumes de tout corps de la pi\u00e8ce, s’est av\u00e9r\u00e9e difficile. Le d\u00e9veloppement d’un concept int\u00e9gral plus moderne et plus puissant est inextricablement li\u00e9 au d\u00e9veloppement de la th\u00e9orie des mesures. En fait, les math\u00e9maticiens ont commenc\u00e9 \u00e0 \u00e9tudier syst\u00e9matiquement comment toutes les sous-quantit\u00e9s du R n {displayStyle Mathbb {r} ^ {n}} De mani\u00e8re raisonnable, on peut attribuer un volume. La justification axiomatique stricte des figures r\u00e9elles de Richard Dedekind et Georg Cantor et la raison de la th\u00e9orie de la quantit\u00e9 par Cantor \u00e0 la fin du 19e si\u00e8cle ont \u00e9t\u00e9 une condition pr\u00e9alable indispensable pour ce travail. Premi\u00e8res r\u00e9ponses \u00e0 la question du volume de toute sous-quantit\u00e9s du R n {displayStyle Mathbb {r} ^ {n}} Par exemple, a donn\u00e9 Giuseppe Peano et Marie Ennemond Camille Jordan. Une solution satisfaisante \u00e0 ce probl\u00e8me n’a \u00e9t\u00e9 obtenue qu’\u00e9mile Borel et Henri Lebesgue par la construction de la mesure de Lebesgue. 1902 a formul\u00e9 Lebesgue dans son parisien Th\u00e8se Pour la premi\u00e8re fois, le probl\u00e8me de mesure moderne et a explicitement soulign\u00e9 de ne pas \u00eatre en mesure de le r\u00e9soudre en plein grand public, mais seulement pour une classe de quantit\u00e9s tr\u00e8s sp\u00e9cifique Quantit\u00e9s mesurables appel\u00e9. En fait, il devrait s’av\u00e9rer que le probl\u00e8me de mesure n’est g\u00e9n\u00e9ralement pas r\u00e9solu, c’est-\u00e0-dire H. En fait, il existe des quantit\u00e9s qui ne peuvent pas \u00eatre attribu\u00e9es \u00e0 une mesure significative (voir la phrase par Vitali, Banach-Tarski-Paradox). En raison de la construction de la mesure de Lebesgue, la voie \u00e9tait maintenant ouverte \u00e0 un nouveau concept g\u00e9n\u00e9ral g\u00e9n\u00e9ral. La premi\u00e8re d\u00e9finition de l’int\u00e9grale de Lebesgue a donn\u00e9 \u00e0 Henri Lebesgue dans son Th\u00e8se lui-m\u00eame. D’autres d\u00e9finitions significatives de l’int\u00e9grale de Lebesgue sont venues un peu plus tard de William Henry Young (1905) et Frigyes Riesz (1910). La d\u00e9finition pr\u00e9sent\u00e9e ci-dessous, qui est d\u00e9sormais la plus courante dans la litt\u00e9rature sp\u00e9cialis\u00e9e, suit la construction de jeunes. De nos jours, l’int\u00e9grale de Lebesgue est le concept int\u00e9gral des math\u00e9matiques modernes. Sa g\u00e9n\u00e9ralisation et son – d’un point de vue math\u00e9matique – de belles propri\u00e9t\u00e9s en font \u00e9galement un outil indispensable dans l’analyse fonctionnelle, la physique et la th\u00e9orie des probabilit\u00e9s. Table of Contents\u00c9conomie et quantit\u00e9s mesurables [ Modifier | Modifier le texte source ]] Int\u00e9gration de fonctions simples [ Modifier | Modifier le texte source ]] Int\u00e9gration des fonctions non n\u00e9gatives [ Modifier | Modifier le texte source ]] Int\u00e9gration de toutes les fonctions et int\u00e9gabilit\u00e9 mesurables [ Modifier | Modifier le texte source ]] \u00c9conomie et quantit\u00e9s mesurables [ Modifier | Modifier le texte source ]] L’int\u00e9grale de Lebesgue est d\u00e9finie pour les fonctions sur n’importe quel espace. Un espace sur beaucoup Oh {displayStyle Omega} consiste en une s\u00e9lection de sous-quantit\u00e9s de Oh {displayStyle Omega} , comme mesurable appliquer, et une mesure si appel\u00e9e m {displaystyle mu} , avec lequel un sous-ensemble mesurable UN {displaystyle a} depuis Oh {displayStyle Omega} Leur mesure m ( UN ) {displayStyle {Mathcal {mu}} (a)} est assign\u00e9. Cette mesure d’un sous-ensemble mesurable UN {displaystyle a} est toujours un nombre r\u00e9el non n\u00e9gatif ou + \u221e {displaystyle + infty} . Ici, \u00e0 la fois la s\u00e9lection des sous-quantit\u00e9s de Oh {displayStyle Omega} ainsi que la mesure respecte certains axiomes. Pour l’int\u00e9gration de quantit\u00e9s partielles de la R n {displayStyle Mathbb {r} ^ {n}} Les fonctions d\u00e9finies sont g\u00e9n\u00e9ralement utilis\u00e9es l {displaystyle lambda} . Ceci est caract\u00e9ris\u00e9 par le fait que n {displaystyle n} – L’hyperr\u00e9ciation dimensionnelle cogne leur “normal” n {displaystyle n} – Le volume de dimension est attribu\u00e9: l ( [ un d’abord , b d’abord ]] \u00d7 \u22ef \u00d7 [ un n , b n ]] ) = ( b d’abord – un d’abord ) \u22c5 … \u22c5 ( b n – un n ) {displayStyle lambda ([a_ {1}, b_ {1}] fois DOTSB Times [a_ {n}, b_ {n}]) = (b_ {1} -a_ {1}) cdot ldots cdot (b_ {n} -a_ {n})}}) . Int\u00e9gration de fonctions simples [ Modifier | Modifier le texte source ]] Tout comme l’int\u00e9grale de Riemann est construite par des fonctions d’approximation au moyen d’une approximation, vous construisez l’int\u00e9grale de Lebesgue \u00e0 l’aide de soi-disant fonctions simples. Cette proc\u00e9dure est parfois appel\u00e9e \u00abinduction alg\u00e9brique\u00bb et est utilis\u00e9e dans de nombreuses preuves de fonctions mesurables.Une fonction simple aussi Fonction \u00e9l\u00e9mentaire Appel\u00e9, est une fonction mesurable non n\u00e9gative qui ne fait que finalement de nombreuses valeurs fonctionnelles un je {displaystyle alpha _ {i}} accepte. Ainsi, chaque fonction simple peut \u00eatre \u03d5 {displaystyle phi} \u00e9crire \u03d5 = \u2211 i=1nun iX Ai{displayStyle phi = sum _ {i = 1} ^ {n} alpha _ {i} chi _ {a_ {i}}} . Y a-t-il pour je = d’abord , … , n {displayStyle i = 1, ldots, n} , un je {displaystyle alpha _ {i}} un nombre r\u00e9el positif, UN je {displayStyle a_ {i}} une quantit\u00e9 mesurable et X Ai{displaystyle chi _ {a_ {i}}} La fonction caract\u00e9ristique aussi UN je {displayStyle a_ {i}} et le UN je {displayStyle a_ {i}} sont tous disjoints. Cela prend UN je {displayStyle a_ {i}} la valeur d’abord {Displaystyle 1} \u00e0 l’ext\u00e9rieur de UN je {displayStyle a_ {i}} la valeur 0 {DisplayStyle 0} . Maintenant, l’int\u00e9grale d’une fonction simple peut \u00eatre tr\u00e8s naturelle \u03d5 {displaystyle phi} d\u00e9finir: \u222b \u03a9\u03d5 d m : = \u2211 i=1nun im ( UN i) {DisplayStyle int {omega} phi mathrm {d} in: = sum _ {i = 1} ^ {n} alpha _ {i} mu (a_ {i})} L’int\u00e9grale de \u03d5 {displaystyle phi} au-dessus de Oh {displayStyle Omega} Il en va de m\u00eame pour la somme des produits de la valeur fonctionnelle de \u03d5 {displaystyle phi} et la mesure du montant sur lequel la fonction assume la valeur respective. Int\u00e9gration des fonctions non n\u00e9gatives [ Modifier | Modifier le texte source ]] Maintenant, vous d\u00e9finissez d’abord l’int\u00e9grale des fonctions non n\u00e9gatives, i. H. Pour les fonctions qui n’acceptent pas les valeurs n\u00e9gatives. La condition pr\u00e9alable \u00e0 l’int\u00e9gabilit\u00e9 d’une fonction est sa mesurabilit\u00e9. Une fonction non n\u00e9gative (num\u00e9rique) F : ( Oh , UN , m ) \u2192 ( R\u00af, B ( R\u00af) ) {displayStyle fcolon gauche (Omega, Sigma, mu droit) \u00e0 ({bar {mathbb {r}}}, {mathcal {b}} ({bar {mathbb {r}}}))} , par lequel B ( R\u00af) {displayStyle {mathcal {b}} ({bar {mathbb {r}}})} Le borelsche \u03c3-alg\u00e8bre R\u00af{displayStyle {bar {mathbb {r}}}} d\u00e9sign\u00e9 est exactement mesurable lorsqu’il y a une s\u00e9quence ( F n ) n \u2208 N{DisplayStyle (f_ {n}) _ {nin mathbb {n}}} de fonctions simples qui se d\u00e9veloppent en un point et monotone F {displaystyle f} converg\u00e9. Vous d\u00e9finissez maintenant l’int\u00e9grale d’une fonction non n\u00e9gative et mesurable \u222b \u03a9F d m = lim n\u2192\u221e\u222b \u03a9F nd m {DisplayStyle int _ {omega} ff, mathrm {d} mu = lim _ {nrightarrow infty} int _ {omega}, mathrm {d} mu} , o\u00f9 le F n {displayStyle f_ {n}} sont simples et en croissance et monotones contre F {displaystyle f} converger. Les limes sont du choix sp\u00e9cial de l’\u00e9pisode F n {displayStyle f_ {n}} ind\u00e9pendant. L’int\u00e9grale peut \u00e9galement \u00eatre la valeur + \u221e {displaystyle + infty} supposer. La d\u00e9finition \u00e9quivalente suivante se trouve souvent dans la litt\u00e9rature: \u222b \u03a9F d m = souper { \u222b\u03a9\u03d5d\u03bc|\u03d5\u00a0einfach,0\u2264\u03d5\u2264f} {DisplayStyle int {omega} f, mathrm {d} mu = sup gauchebrace int {mathrm {d} mu, vert, phi {text {einfach}}, 0leq phi leq frighrbrrace} Vous d\u00e9finissez donc l’int\u00e9grale d’une fonction mesurable non n\u00e9gative en modifiant la fonction “d’en bas” comme souhait\u00e9 par des fonctions simples. Int\u00e9gration de toutes les fonctions et int\u00e9gabilit\u00e9 mesurables [ Modifier | Modifier le texte source ]] Afin de d\u00e9finir l’int\u00e9grale de toute fonction mesurable, vous les d\u00e9montez dans leur partie positive et n\u00e9gative, les int\u00e9grer individuellement et tirer les int\u00e9grales les unes des autres. Cependant, cela n’a de sens que si les valeurs de ces deux int\u00e9grales sont enfin (au moins la valeur de l’une des deux int\u00e9grales). Le Positif F + {displaystyle f ^ {+}} une fonction F {displaystyle f} est d\u00e9fini (point) comme F + = max { F , 0 } {displayStyle f ^ {+} = max {f, 0}} . Le N\u00e9gatif F – {displaystyle f ^ {-}} est en cons\u00e9quence (point – par) par F – = max { – F , 0 } {displayStyle f ^ {-} = max {-f, 0}} Sont d\u00e9finis. ES dor\u00e9 alors (points de points) F + \u2265 0 {displaystyle f ^ {+} geq 0} , F – \u2265 0 {displaystyle f ^ {-} geq 0} , F = F + – F – {displayStyle f = f ^ {+} – f ^ {-}} et F + + F – = | F | {displayStyle f ^ {+} + f ^ {-} = | f |} . Une fonction signifie \u00b5-quasiintegable ou quasi-int\u00e9grable en ce qui concerne la taille \u00b5 Si au moins l’une des deux int\u00e9grales \u222b \u03a9F + d m {displayStyle int _ {omega} f ^ {+} mathrm {d} mu} ou \u222b\u03a9f\u2212 dm {displayStyle DisplayStyle int _ {omega} f ^ {-} mathrm {d} mu} Enfin. Dans ce cas moyen \u222b \u03a9F d m = \u222b \u03a9F + d m – \u222b \u03a9F \u2212d m {DisplayStyle int {omega} f mathrm {d} mu = int {+} mathrm {d} mathrm {d} mathrm _ {omega} f {-} mathrm {d} in} . le m {displaystyle mu} -Intral de F {displaystyle f} au-dessus de Oh {displayStyle Omega} . Pour toutes les sous-quantit\u00e9s mesurables UN \u2286 Oh {displaystyle asubseteq om\u00e9ga} Est alors \u222b AF d m = \u222b \u03a9F \u22c5 X A d m {DisplayStyle int _ {a} fmathrm {d} mu = int _ {omega} fcdot chi _ {a} mathrm {d} mu} le m {displaystyle mu} -Intral de F {displaystyle f} au-dessus de UN {displaystyle a} . Une fonction signifie \u00b5-int\u00e9grable ou int\u00e9grable en ce qui concerne le niveau \u00b5 Si les deux int\u00e9grales \u222b \u03a9F + d m {displayStyle int _ {omega} f ^ {+} mathrm {d} mu} et \u222b\u03a9f\u2212 dm {displayStyle DisplayStyle int _ {omega} f ^ {-} mathrm {d} mu} sont enfin.La condition \u00e9quivaut \u00e0 ce \u222b \u03a9| F | d m < \u221e {displayStyle int _ {omega} | f |, mathrm {d} mu {displaystyle asubseteq om\u00e9ga} une quantit\u00e9 mesurable. Si vous voulez la variable d’int\u00e9gration pendant l’int\u00e9gration X {displaystyle x} Sp\u00e9cifiez, vous \u00e9crivez \u222b AF ( X ) d m ( X ) {displayStyle int _ {a} f (x), mathrm {d} mu (x)} ou \u222b AF ( X ) m ( d X ) {displayStyle int _ {a} f (x), mu (mathrm {d} x)} ou \u222b Am ( d X ) F ( X ) {displayStyle int _ {a} mu (mathrm {d} x), f (x)} . Pour Oh = R n {displayStyle omega = mathbb {r} ^ {n}} Et le gars de la vie mesure l {displaystyle lambda} Vous \u00e9crivez \u00e0 la place d l ( X ) {displayStyle Mathrm {d} lambda (x)} simplement d X {displayStyle Mathrm {d} x} , dans le cas d’une seule dimension, c’est-\u00e0-dire Oh = R {displayStyle omega = mathbb {r}} , vous \u00e9crivez aussi \u222b abF ( X ) d X {displayStyle int _ {a} ^ {b} f (x), mathrm {d} x} Pour l’int\u00e9grale sur l’intervalle [ un , b ]] {displayStyle [a, b]} ou ]] un , b [ {displayStyle] a, b [} . Si la mesure m {displaystyle mu} Une densit\u00e9 de radon-nikod\u00fdm H {displaystyle h} En ce qui concerne la mesure de Lebesgue, s’applique \u222b AF ( X ) d m ( X ) = \u222b AF ( X ) H ( X ) d X {displayStyle int _ {a} f (x), mathrm {d} mu (x) = int _ {a} f (x), h (x) mathrm {d} x} . L’orthographe est dans les zones d’application \u222b AF ( X ) H ( X ) d X {displayStyle int _ {a} f (x), h (x), mathrm {d} x} souvent aussi utilis\u00e9 lorsque m {displaystyle mu} officiellement n’a pas de densit\u00e9. Cependant, cela n’a de sens que si vous H {displaystyle h} Pas en fonction, mais comme une distribution. Est cette mesure m {displaystyle mu} dans le cas Oh = R {displayStyle omega = mathbb {r}} \u00c0 travers une fonction de distribution F {displaystyle f} d\u00e9fini, vous obtenez donc l’int\u00e9grale de Le Lebesgue-Stales-Jes avec \u222b AF ( X ) d F ( X ) {displayStyle int _ {a} f (x), mathrm {d} f (x)} ou \u222b AF d F {displayStyle int _ {a} f, mathrm {d} f} mentionn\u00e9. Est m {displaystyle mu} Une probabilit\u00e9, donc vous pouvez F {displaystyle f} \u00eatre consid\u00e9r\u00e9 comme une variable al\u00e9atoire (pour laquelle la notation X {displaystyle x} au lieu de F {displaystyle f} est commun). Vous d\u00e9finissez ensuite la valeur des attentes ET ( F ) {displayStyle Mathbb {e} (f)} depuis F {displaystyle f} quand \u222b \u03a9F d m {displayStyle int _ {omega} f, mathrm {d} mu,} . En physique th\u00e9orique, l’orthographe devient \u27e8 F \u27e9 {displaystyle langle frangle } utilis\u00e9 dans l’analyse fonctionnelle parfois l’orthographe m ( F ) {displayStyle mu (f)} , dans la th\u00e9orie de la mesure aussi m F {displaystyle mu f} [d’abord] . Beaucoup N \u2282 Oh {displayStyle nsubset Omega} , qui a la mesure 0, est appel\u00e9 z\u00e9ro, dans le cas de la mesure de Lebesgue \u00e9galement sp\u00e9cialement sp\u00e9cialement Lebesgue-Nullmenge .Est ainsi N \u2282 Oh {displayStyle nsubset Omega} avec m ( N ) = 0 {DisplayStyle mu (n) = 0} et F {displaystyle f} Une fonction int\u00e9grable, ce qui suit s’applique: \u222b \u03a9F d m = \u222b \u03a9\u2216NF d m + \u222b NF d m = \u222b \u03a9\u2216NF d m {DisplayStyle int _ {omega} f, mathrm {d} mu = int _ {omega setminus n} f, mathrm {d} mu + int _ {n} pour, mathrm {d} mu = {omega setMinus n} f, mathrm {d} mu} Depuis l’int\u00e9grale sur le montant z\u00e9ro N {displaystyle n} accepte la valeur 0. (( Oh \u2216 N {displayStyle Omega setminus n} D\u00e9crit le montant Oh {displayStyle Omega} Sans la foule N {displaystyle n} ) En cons\u00e9quence, la valeur de l’int\u00e9grale ne change pas si la fonction est F {displaystyle f} change sur un z\u00e9ro. Si une fonction a une propri\u00e9t\u00e9 (continu, convergence, etc.) dans toute la plage de d\u00e9finition \u00e0 l’exception d’une quantit\u00e9 de taille 0, il est dit que cette propri\u00e9t\u00e9 existe presque partout . Dans la th\u00e9orie de l’int\u00e9gration de Lebesgue, il est souvent logique de faire deux fonctions qui correspondent presque partout m\u00eame Pour regarder – vous les r\u00e9sumez en une classe d’\u00e9quivalence (voir aussi L p ). Il est souvent le cas que les fonctions qui ne sont d\u00e9finies que presque partout (par exemple les limes de m\u00e9thodes ponctuelles d’une s\u00e9quence de fonctions qui ne convergent que presque partout) apparaissent comme des fonctions dans toute la pi\u00e8ce et sans consid\u00e9ration \u222b \u03a9F d m {displayStyle int _ {omega} f, dmu} \u00e9crit, m\u00eame si F {displaystyle f} pas tout du tout Oh {displayStyle Omega} est d\u00e9fini. Cette proc\u00e9dure est justifi\u00e9e par le fait que chaque continuation de F {displaystyle f} Seulement sur un z\u00e9ro N {displaystyle n} depuis F {displaystyle f} distingue et donc l’int\u00e9grale de la suite de l’ensemble Oh {displayStyle Omega} a la m\u00eame valeur que l’int\u00e9grale sur Oh \u2216 N {displayStyle Omega setminus n} . Vous devez noter qu’une quantit\u00e9 nulle n’est que \u00abpetite\u00bb n\u00e9gligeable au sens de la mesure. Cependant, il peut \u00e9galement contenir un nombre infini d’\u00e9l\u00e9ments. Par exemple, le montant est Q \u2282 R {displayStyle Mathbb {q} sous-ensemble MathBB {r}} , la quantit\u00e9 de nombres rationnels en tant que sous-ensemble des nombres r\u00e9els une quantit\u00e9 nul. La fonction Dirichlet F ( X ) = {1x\u2208Q0sonst{displayStyle f (x) = {begin {case} 1 & xin mathbb {q} \\ 0 & {text {Sonst}} end {cas}}} Donc, dans le sens ci-dessus, c’est la m\u00eame que la fonction qui prend constamment la valeur z\u00e9ro (fonction z\u00e9ro), bien qu’il n’y ait pas un petit environnement dans lequel vos valeurs correspondent. Un bien connu surestim\u00e9 (aussi R {displayStyle Mathbb {r}} Significatif) La quantit\u00e9 vivante nul est la quantit\u00e9 de cantor. L’int\u00e9grale est lin\u00e9aire dans Ld’abord {displayStyle {Mathcal {l}} ^ {1}} (Espace des fonctions int\u00e9grables), d. H. Pour des fonctions int\u00e9grables F {displaystyle f} et g {displaystyle g} et n’importe quel un , b \u2208 R {DisplayStyle Alpha, Beta dans MathBB {R}} Est aussi un F + b g {DisplayStyle Alpha F + Beta G} Int\u00e9grable et ce qui suit s’applique: \u222b \u03a9( un F + b g ) d m = un \u22c5 \u222b \u03a9F d m + b \u22c5 \u222b \u03a9g d m {DisplayStyle int _ {omega} (alpha f + b\u00eata g), mathrm {d} mu = alpha cdot int _ {omega} f, mathrm {d} mu + beta cdot int _ {omega} g, mathrm {d} mu} mu} L’int\u00e9grale est monotone, i. H. sont F {displaystyle f} et g {displaystyle g} deux fonctions mesurables avec F \u2264 g {displaystyle fleq g} Alors s’applique \u222b \u03a9F d m \u2264 \u222b \u03a9g d m {DisplayStyle int {omega} f mathrm {d} mu leq int _ {omega} g mathrm {d} in} . L’int\u00e9grale peut \u00eatre s\u00e9par\u00e9e \u222b \u03a9F d m = \u222b \u03a9\u2216NF d m + \u222b NF d m {DisplayStyle int _ {omega} f mathrm {d} mu = {mega backslash n} f mathrm {d} mu _ {n} f mathrm {d} mu} \u222b \u03a9\u222aNF d m = \u222b \u03a9F d m + \u222b NF d m – \u222b \u03a9\u2229NF d m {DisplayStyle int {omega cup n} f mathrm {d} mu = int _ {omega} f mathrm {d} f mathrm {d} mathrm _ {omega cap n} f mathrm {d} in} Est UN \u2208 P ( Oh ) {displayStyle ain {Mathcal {p}} (Omega)} mesurable avec m ( UN ) = 0 {displayStyle mu (a) = 0} Alors s’applique \u222b AF d m = 0 {displayStyle int _ {a} fmathrm {d} mu = 0} L’un des avantages les plus importants de l’int\u00e9grale de Lebeegue est les tr\u00e8s belles ensembles de convergence d’un point de vue math\u00e9matique. Cela affecte l’interchangeabilit\u00e9 de la valeur limite et int\u00e9gralement en cas de fonctions de la forme ( F n ) n \u2208 N {DisplayStyle (f_ {n}) _ {nin mathbb {n}}} . Les phrases de convergence les plus importantes sont: Phrase de la convergence monotone (Beppo Levi, 1906) Est F n: ( Oh , UN , m ) \u2192 ( R\u00af, B( R\u00af) ) , n \u2208 N {DisplayStyle f_ {n} colon (Omega, Sigma, mu) to ({bar {mathb {r}}, {mathal {b}} ({mathb {r}}), nin mathbb {n}} Une s\u00e9quence monotone de fonctions non n\u00e9gatives et mesurables, donc: \u222b\u03a9supn\u2208Nfn\u00a0d\u03bc=\u222b\u03a9limn\u2192\u221efn\u00a0d\u03bc=limn\u2192\u221e\u222b\u03a9fn\u00a0d\u03bc{DisplayStyle int _ {omega} sup _ {nin mathbbb {n}} f_ {n} mathrm {d} mu = {omega} lim _ {ngighterrow infnty} fty} f_ {n} mathrm {d} mu = lim _ {nrightarwwow {omega Mathrm {d} mu} . Phrase de la convergence majeure (domin\u00e9e) (Henri L\u00e9on Lebesgue, 1910) Converge la cons\u00e9quence des fonctions mesurables F n: ( Oh , UN , m ) \u2192 ( R\u00af, B( R\u00af) ) {DisplayStyle f_ {n} colon (omega, sigma, mu) to ({bar {mathb {r}}, {mathcal {b}} ({mathb {r})}}} m {displaystyle mu} -Fort partout contre la fonction mesurable F : ( Oh , UN , m ) \u2192 ( R\u00af, B( R\u00af) ) {displayStyle fcolon (omega, sigma, mu) to ({bar {mathbb {r}}}, {mathcal {b}} ({bar {mathbb {r}}}))} et sont les fonctions F n{displayStyle f_ {n}} , n \u2208 N {Displaystyle nin mathbb {n}} , montant m {displaystyle mu} -Fast partout \u00e0 travers une fonction int\u00e9grable g : ( Oh , UN , m ) \u2192 ( R\u00af, B( R\u00af) ) {displayStyle gcolon (omega, sigma, mu) to ({bar {mathbb {r}}}, {mathcal {b}} ({bar {mathbb {r}}}))} limit\u00e9, alors s’applique: f{displaystyle f} est int\u00e9grable, limn\u2192\u221e\u222b\u03a9fn\u00a0d\u03bc=\u222b\u03a9f\u00a0d\u03bc{DisplayStyle lem _ {nrightarrow infty} int _ {omega} f_ {n} mathrm {d} mu = {omega} f mathrm {d} mu} et limn\u2192\u221e\u222b\u03a9|f\u2212fn|\u00a0d\u03bc=0.{displayStyle lim _ {nrightarrow infty} int _ {omega} | f-f_ {n} | Mathrm {d} mu = 0.} Lemma von Fatou (Pierre Fatou, 1906) Sont F n: ( Oh , UN , m ) \u2192 ( R\u00af, B( R\u00af) ) {DisplayStyle f_ {n} colon (omega, sigma, mu) to ({bar {mathb {r}}, {mathcal {b}} ({mathb {r})}}} , n \u2208 N {Displaystyle nin mathbb {n}} , fonctions mesurables non n\u00e9gatives, puis ce qui suit s’applique: \u222b\u03a9lim\u2006infn\u2192\u221efn\u00a0d\u03bc\u2264lim\u2006infn\u2192\u221e\u222b\u03a9fn\u00a0d\u03bc{DisplayStyle int _ {omega} liminf _ {nrightarrow infty} f_ {n} mathrm {d} mu leq liminf _ {nrightarrow infty} int _ {om\u00e9ga} mathrm {d} mu} Figure 2: Sommes partielles de la s\u00e9rie harmonieuse alternative Dans le cas Oh = R {displayStyle omega = mathbb {r}} Ce qui suit s’applique avec le gars de la vie: si une fonction peut \u00eatre int\u00e9gr\u00e9e sur un intervalle compact Riemann-, il peut \u00e9galement \u00eatre int\u00e9gr\u00e9 de la vie. D’un autre c\u00f4t\u00e9, toutes les fonctions int\u00e9grables de Leesgue ne peuvent pas \u00e9galement \u00eatre int\u00e9gr\u00e9es. Cependant, une fonction mal intertwinable n’a pas \u00e0 dans son ensemble Peut \u00eatre int\u00e9gr\u00e9 de la vie. Cependant, la limite correspondante des int\u00e9gres de vie existe en fonction des remarques ci-dessus et offre la m\u00eame valeur que pour l’int\u00e9grale de Riemann. Mais est | F | {displayStyle | f |} Riemann in\u00e9vitablement int\u00e9gr\u00e9, alors F {displaystyle f} M\u00eame dans son ensemble int\u00e9gr\u00e9 \u00e0 la vie. Il est facile de sp\u00e9cifier un exemple d’une fonction int\u00e9gable in\u00e9vitablement int\u00e9gable de Riemann qui ne peut pas \u00eatre int\u00e9gr\u00e9e de la vie. F {displaystyle f} Une fonction d’escalier avec les surfaces d’abord , -1\/2 , 1\/3 etc., alors c’est F {displaystyle f} Riemann in\u00e9vitablement int\u00e9gr\u00e9. Parce que l’int\u00e9grale correspond \u00e0 la ligne harmonieuse alternative. \u00c9taient F {displaystyle f} Guy en direct int\u00e9gr\u00e9, alors \u222b R+| F | d l < \u221e {DisplayStyle Text Style int _ {Mathbb {r} ^ {+}} | f |, mathrm {d} lambda [ 0 , d’abord ]] {displayStyle fcolon [0,1] rightarrow [0,1]} X \u21a6 {1,x\u2208Q0,sonst.{displayStyle xmapSto {begin {case} 1 &, xin mathbb {q} \\ 0 &, {text {Sonst}}. end {cas}}} F {displaystyle f} Je ne peux pas \u00eatre int\u00e9gr\u00e9 \u00e0 Riemann, car tous les examens sont toujours 0 et toutes les sommes sup\u00e9rieures sont toujours 1. Ici mais Q , {displayStyle Mathbb {q} ,,} La quantit\u00e9 de nombres rationnels, dans lesquels la quantit\u00e9 de nombres r\u00e9els est une quantit\u00e9 de vie \u00e0 tous, est la fonction Presque partout 0 . Ainsi, l’int\u00e9grale de Lebesgue existe et a la valeur 0. La principale diff\u00e9rence dans la proc\u00e9dure d’int\u00e9gration selon Riemann ou Lebesgue est que l’int\u00e9grale de Riemann de la Zone de d\u00e9finition (Abscissa), cependant, dans l’int\u00e9grale de Lebesgue Quantit\u00e9 (Ordonn\u00e9e) de la fonction. Les exemples ci-dessus peuvent d\u00e9j\u00e0 \u00eatre constat\u00e9s que cette diff\u00e9rence peut \u00eatre av\u00e9r\u00e9e cruciale. Henri Lebesgue a dit \u00e0 propos de la comparaison entre Riemann et Lebesgue Integral: \u00abVous pouvez dire que dans l’approche de Riemann, vous vous comportez comme un marchand sans syst\u00e8me, l’argent et les billets comptent dans l’ordre de la fa\u00e7on dont il les met en main; Pendant que nous agissons comme un marchand prudent qui dit: J’ai m(E1){displayStyle m (e_ {1})} Pi\u00e8ces de monnaie \u00e0 une couronne, fait 1\u22c5m(E1){displayStyle 1cdot m (e_ {1})} , J’ai m(E2){displayStyle m (e_ {2})} Pi\u00e8ces de monnaie pour deux couronnes, fait 2\u22c5m(E2){displayStyle 2cdot m (e_ {2})} , J’ai m(E3){displayStyle m (e_ {3})} Pi\u00e8ces de monnaie pour cinq couronnes, fait 5\u22c5m(E3){displayStyle 5cdot m (e_ {3})} , etc., donc j’ai un total de S=1\u22c5m(E1)+2\u22c5m(E2)+5\u22c5m(E3)+\u2026{displayStyle s = 1cdot m (e_ {1}) + 2cdot m (e_ {2}) + 5cdot m (e_ {3}) + ldots} . Les deux proc\u00e9dures conduisent certainement le marchand au m\u00eame r\u00e9sultat parce que – aussi riche soit-il – il ne doit compter qu’un nombre fini de billets; Mais pour nous, que nous devons ajouter un nombre infini d’indivisible, la diff\u00e9rence entre les deux proc\u00e9dures est essentielle. \u00bb – Henri Lebesgue, 1926 : Apr\u00e8s J\u00fcrgen Elstrodt L’int\u00e9grale de Bochner repr\u00e9sente une g\u00e9n\u00e9ralisation directe de l’int\u00e9grale de Lebesgue pour la digne de Banachraum. J\u00fcrgen Elstrodt: Th\u00e9orie de la mesure et de l’int\u00e9gration . Huiti\u00e8me \u00e9dition \u00e9largie et mise \u00e0 jour. Springer Spektrum, Berlin 2018, ISBN 978-3-662-57938-1, iv. The Lebesgue Integral, S. 135\u2013177 , est ce que je: 10 1007 \/ 978-3-662-57939-8 . Walter Rudin: Analyse . 2., \u00e9dition corrig\u00e9e. Oldenbourg, Munich \/ Vienne 2002, ISBN 3-486-25810-9, 11. La th\u00e9orie de Lebesguesch, S. 353\u2013392 . Claus D. 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