Région de Bezier – Wikipedia

En géométrie Zones de Bezier Surface dans

${displaystyle mathbb {r} ^ {3}}$

qui sont définis comme des généralisations spatiales des courbes de Bezier. Il existe essentiellement deux façons de généralisation. Cela mène à:

Les zones jouent un rôle important dans la modélisation des zones en forme libre dans les domaines de l’infographie et de la conception de la charge informatique ^{[d’abord] [2]} .

Définition [ Modifier | Modifier le texte source ]]

C’est

${displayStyle {bf {b}} ^ {m} (u) = sum _ {i = 0} ^ {m} {bf {b}} _ {i} b_ {i} ^ {m} (u)}$

Une courbe de Bezier
dans le

${displaystyle mathbb {r} ^ {3}}$

, dont les points de contrôle d’un autre paramètre

${DisplayStyle V}$

Dépensez, et vous devriez être sur les courbes de Bezier:

${displayStyle {bf {b}} _ {i} (v) = sum _ {j = 0} ^ {n} {bf {b}} _ {ij} b_ {j} ^ {n} (v)}$

. Avec il décrit

• ${DisplayStyle {bf {b}} ^ {m, n} (u, v) = sum _ {i = 0} ^ {m} sum _ {j = 0} ^ {n} {bf {b}} _ {ij} b_ {i} ^} (u) b} {n} {n} 1]$

  

une zone qui est à la Le point de contrôle ou Réseau de contrôle

${displayStyle {bf {b}} _ {ij}}$

au revoir (M, N) -Stans de produit de l’entreprise ^[3] .
La zone contient les points

${displayStyle {bf {b}} _ {00}, {bf {b}} _ {m0}, {bf {b}} _ {0n}, {bf {b}} _ {mn}}$

Et les courbes de paramètre (

${displaystyle u}$

ou

${DisplayStyle V}$

sont constants), en particulier les courbes marginales, sont des courbes de Bezier.

Notez que

${DisplayStyle (1,1)}$

-La zone décorative du produit tendu contient des lignes droites, mais I.A. n’est pas exactement. Par exemple, vous obtenez pour

${displayStyle {bf {b}} _ {00} = (0,0,0) ^ {t}, {bf {b}} _ {10} = (1,0,0) ^ {t}, {bf {b}} {{bf {bf {bf} } = (1,1,1) ^ {t}}$

La zone avec la présentation des paramètres

${displayStyle {bf {x}} = {bf {b}} ^ {1,1} (u, v) = {bf {b}} _ {00} (1-u) (1-V) + {bf {b}} _ {10} u (1-v) + {bf {b} + {bf {b}} _ {11} uv}$

${displayStyle = cdots = Left (u, v, uvright) ^ {t}}$

Cela fait partie du paraboloïde hyperbolique avec l’équation

${Displaystyle z = xy}$

.

Le casteljau-algorithme [ Modifier | Modifier le texte source ]]

L’idée de base de l’algorithme Casteljau pour les courbes est la linéaire
Interpolation des points. Si vous transférez cette idée à
Surfaces décoratives du produit du tenseur, vous devez donc avec un Définissez l’interpolation linéaire pour quatre points. C’est, comme avec les courbes,
Le cas le plus simple peut être lu: une zone de décoration de produit (1.1) pittoresque
Sur les quatre points

${displayStyle {bf {b}} _ {00}, {bf {b}} _ {10}, {bf {b}} _ {01}, {bf {b}} _ {11}}$

a la présentation suivante:

${displayStyle {bf {b}} ^ {1,1} (u, v) = (1-u) (1-v) {bf {b}} _ {00} + u (1-v) {bf {b}} _ {10} + (1-u) } _ {11}}$

Ou sous forme matricielle:

${displayStyle {bf {b}} ^ {1,1} (u, v) = (1-u, u) Left ({begin {array} {ll} {bf {b}} _ {00} & {bf {b}} _ {01} \ {bf {b}}} {10} & {bf {bf {b}}} {10} & {bf {Bf {b}}} {10} & {bf {Bf {b}} _ } _ {11} end {array}} droit) {1-v Choisissez V}}$

Vous allez d’abord d’un

${displaystyle (ntimes n)}$

-Controlt réseau et détermine (comme avec les courbes) pour

${displayStyle r = 1,2, .., n}$

et une paire de paramètres

${displayStyle (u, v)}$

Interpecteurs qui découlent de l’interpolation bilinéaire:

${displayStyle {bf {b}} _ {i, j} ^ {r} = (1-u, u) Left ({begin {array} {ll} {bf {b}} _ {i, j} ^ {r-1} & {bf {b}} _ {i, j + 1} }} _ {i + 1, j} ^ {r-1} & {bf {b}} _ {i + 1, j + 1} ^ {r-1} end {array}} reight) {1-V choisissez v},}$

par lequel

${displayStyle {bf {b}} _ {i, j} ^ {0}: = {bf {b}} _ {i, j}}$

est. Ensuite à

${displayStyle {bf {b}} _ {0,0} ^ {n}}$

Le point que le couple de paramètres

${displayStyle (u, v)}$

est assigné.

Chutes

${displaystyle m> n}$

${displayStyle r = n}$

La deuxième constante d’index

${displaystyle j=0}$

Et il va
Interpolée uniquement linéaire (comme avec les courbes de Bezier).

• Le point
  ${displayStyle {bf {b}} _ {0,0} ^ {m}}$

  est alors la zone.

De la même manière, vous continuez si

${displaystyle m$

est.

Degré [ Modifier | Modifier le texte source ]]

C’est souvent avantageux quand un

${displayStyle (m, n)}$

-Comètre décoratif de produit tendu

${displayStyle m = n}$

est. Si ce n’est pas le cas, cela peut être réalisé à l’aide d’augmentation appropriée des diplômés.

Le degré de remise des diplômes de

${displayStyle (m, n)}$

sur

${displayStyle (m + 1, n)}$

La zone décorative du produit du tenseur

${displayStyle {bf {b}} ^ {m, n} (u, v) = sum _ {j = 0} ^ {n} gauche [sum _ {i = 0} ^ {m} {bf {b}} _ {ij} b_ {i} ^ {m} (u)$

conduit au

${displaystyle n + 1}$

Grader augmente pour les courbes de Bezier sur le carré
Support:

${displayStyle sum _ {i = 0} ^ {m} {bf {b}} _ {ij} b_ {i} ^ {m} (u) = sum _ {i = 0} ^ {m + 1} {bf {b}} _ {ij} ^ {(1,0) , quad j = 0, … n}$

avec

${displayStyle {bf {b}} _ {ij} ^ {(1,0)}: = (1- {frac {i} {m + 1}} {bf {b}} _ {i, j} + {frac {i} {m + 1}} {bf {b}} 0, …, m + 1.}$

Deering d’une région de Bezier [ Modifier | Modifier le texte source ]]

La dérivation partielle de la zone décorative du produit tenseur

${DisplayStyle {bf {b}} ^ {m, n} (u, v) = sum _ {j = 0} ^ {n} sum _ {i = 0} ^ {m} {bf {b}} _ {ij} b_ {i} ^} (u) b_ {i} ^ ^$

après

${displaystyle u}$

est

${displayStyle {frac {partial} {partial u}} {bf {b}} ^ {m, n} (u, v) = sum _ {j = 0} ^ {n} Left [{frac {partial} {partial u}} sum _ {i = 0} ^ {m} {bf} _ {i} ^ {m} (u) Right] b_ {i} ^ {n} (v).}$

Avec le résultat de la dérivation d’une courbe de Bezier, il suit:

• ${displayStyle {frac {partial} {partial u}} {bf {b}} ^ {m, n} (u, v) = msum _ {j = 0} ^ {n} Left [sum _ {i = 0} ^ {m-1} delta ^ {1,0} {bf {b}} {ij} {m-1} (u) droit] b_ {i} ^ {n} (v),}$

  

par lequel

${displayStyle delta ^ {1,0} {bf {b}} _ {i, j}: = {bf {b}} _ {i + 1, j} – {bf {b}} _ {i, j}}$

.
De manière analogique, la dérivation partielle est obtenue

${DisplayStyle V}$

Et tout plus haut
Dérivations.

Depuis les vecteurs

${displayStyle delta ^ {1,0} {bf {b}} _ {0,0}, delta ^ {0,1} {bf {b}} _ {0,0}}$

Vecteurs tangents du

${displayStyle {bf {b}} _ {0,0}}$

Courbes marginales de départ
est, est

• ${displayStyle delta ^ {1,0} {bf {b}} _ {0,0} fois delta ^ {0,1} {bf {b}} _ {0,0}}$

  

un Vecteur normal la zone sur ce point si les deux linéaires
sont indépendants. C’est-à-dire le niveau tangentiel dans les pierres angulaires d’une
La zone décorative du produit du tenseur est généralement chacun du point d’angle et c’est
Points voisins connectés dans le réseau de contrôle.

Motivation et définition [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Une généralisation formelle des polynomes ambre sur les fonctions avec deux variables

${displayStyle 1 = (u + v + (1-u-v)) ^ {n} = cdots}$

sortir. De sorte que le terme se produit tous
sont positifs, doivent

${displayStyle (u, v)}$

Dans le triangle

${DisplayStyle (0,0), (1.0), (0,1)}$

poser.
Deux des trois côtés triangulaires jouent un rôle spécial en tant qu’intervalles sur les axes de coordonnées. Pour éviter cette préférence, vous dirigez homogène Coordonnées

${displaystyle u, v, w}$

sous condition

${Displaystyle u + v + w = ​​1, u, v, wgeq 0}$

un.

${displaystyle u, v, w}$

est appelé Coordonnées baryzentricales . Le Polynomes d’ambre généralisés résulte du développement de

${DisplayStyle (u + v + w) ^ {n}}$

pour:

• ${DisplayStyle b_ {ijk} ^ {n} (u, v, w): = {frac {n!} {I! J! K!}} U ^ {i} v ^ {j} w ^ {k}}}}}$

  

avec

${Displaystyle i + j + k = n, i, j, kgeq 0}$

et

${Displaystyle u + v + w = ​​1, u, v, wgeq 0}$

.

Avec les abréviations

${displayStyle {bf {i}}: = (i, j, k), {bf {u}}: = (u, v, w)}$

et

${displayStyle | {bf {i}} |: = i + j + k, | {bf {u}} |: = u + v + w}$

est

${displayStyle b_ {bf {i}} ^ {n} ({bf {u}}): = {frac {n!} {i! J! K!}} u ^ {i} v ^ {j} w ^ {k}, quad | {bf {u}} | = 1quad {bf}} {I}} | = n} b_ {bf {i}} ^ {n} = 1.}$

Est maintenant

${displaystyle {bf {b}}_{00n},{bf {b}}_{10,n-1},…{bf {b}}_{n00},{bf {b}}_{01,n-1},{bf {b}}_{11,n-2},…,{bf {b}}_{n-1,10},…,{bf {b}}_{0n0}}$

Un réseau triangulaire de points du

${displaystyle mathbb {r} ^ {3}}$

, le Le point de contrôle , aussi ^[4]

• ${displayStyle {bf {b}} ^ {n} ({bf {u}}): = sum _ {| {bf {i}} | = n} {bf {b}} _ {bf {i}} {bf {u})$

  

L’associé Zone de triangle .

L’illustration montre la disposition des points de l’événement

${displayStyle n = 4}$

.

Décasteljau-algorithme [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Afin de pouvoir formuler clairement l’algorithme Casteljau pour les zones décoratives triangulaires, les abréviations suivantes sont toujours introduites ^[5] :

${displayStyle {bf {e}} {1}: = (1,0,0),; {bf {e}} {2}: = (0,1,0),;$

et

${displayStyle; {bf {o}}: = (0,0,0)}$

.

C’est maintenant

${displayStyle {{bf {b}} _ {bf {i}} || {bf {i}} | = n}}$

Un réseau triangulaire de
Pointe dans

${displaystyle mathbb {r} ^ {3}}$

et

${displayStyle {bf {u}}}$

Un vecteur de paramètre dans le centre Bary
Coordonnées. Alors soyez pour

${displayStyle r = 1, …, n}$

et

${displayStyle {bf {i}} = n-r}$

${displaystyle {bf {b}}_{bf {I}}^{r}:=u{bf {b}}_{{bf {I}}+{bf {e}}_{1}}^{r-1}({bf {u}})+v{bf {b}}_{{bf {I}}+{bf {e}}_{2}}^{r-1}({bf {u}})+w{bf {b}}_{{bf {I}}+{bf {e}}_{3}}^{r-1}({bf {u}})}$

avec

${displayStyle {bf {b}} _ {bf {i}} ^ {0} ({bf {u}}): = {bf {b}} _ {bf {i}}.}$

Alors

• 
  ${displayStyle {bf {b}} _ {bf {o}} ^ {n} ({bf {u}})}$

  Un point de la zone décorative du triangle ^[6] .

La preuve que l’algorithme Casteljau offre vraiment un point de la zone décorative triangulaire, utilise (analogue au coin) les formules de récursivité pour les polynomies ambre:

• 
  ${displayStyle b_ {bf {i}} ^ {n} ({bf {u}}) = ub _ {{bf {i}} – {bf {e}} _ {1}} ^ {n-1} ({bf} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} – _ }} _ {2}} ^ {n-1} ({bf {u}}) + wb _ {{bf {i}} – {bf {e}} _ {3}} ^ {n-1} ({bf {u}}), quad | {bf {i}})$

  

Pour plus de détails, une référence est faite à la littérature.

1. ↑ Blanc: Courbes et surfaces pour CAGD
2. ↑ Hoschek et plus tard: Bases du traitement des données géométriques
3. ↑ Blanc s. 254
4. ↑ Blanc s. 310
5. ↑ Blanc s. 307
6. ↑ Blanc s. 306

• Gerald White: Courbes et surfaces pour CAGD. Un guide pratique. 5e éd. Academic Press, San Diego 2002, ISBN 1-55860-737-4
• J. Hosterk, D. Lower: Bases du traitement des données géométriques , Vieweg + Teubner Verlag, 1989, ISBN 978-3-519-02962-5
• David Salomon: Courbes et surfaces pour les graphiques informatiques . Springer Science + Business Media, Inc., 2006, ISBN 0-387-24196-5
• Boaswan Dzung Wong: Courbes Bézier: dessin et calculé . Orell Füssli Verlag, Zurich 2003, ISBN 3-280-04021-3
• Wolfgang Boehm, Gerald Farin, Jürgen Kahmann: Une étude des méthodes de courbe et de surface dans le CAGD , Comput. Geom aidé. DES. 1, S. 1–60, 1984