pfaffsche déterminant – wikipedia

En mathématiques, le déterminant d’une matrice alternée peut toujours être écrit comme le carré d’un polynôme dans les entrées de la matrice. Ce polynôme devient le Pfaffsche déterminant appelé la matrice. Le déterminant Pfaffsche est uniquement pour les alternants

${displayStyle (2NTIMES 2N)}$

-Matrizzen non -worn. Dans ce cas, c’est un polynôme à partir du degré

${displaystyle n}$

.

Peut être

${displaystyle pi}$

Le montant de toutes les partitions de

${displayStyle {1,2, ldots, 2n}}$

En couples. Il y a

${displayStyle (2n-1) !!}$

(Double faculté) De telles partitions. Chaque élément

${displaystyle alpha dans pi}$

Peut être clairement

${displayStyle alpha = {(i_ {1}, j_ {1}), (i_ {2}, j_ {2}), cdots, (i_ {n}, j_ {n})}}$

être écrit avec

${displayStyle i_ {k}$

et

${displayStyle i_ {1}$

. Peut être

${displayStyle pi = {begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & cdots & 2n \ i_ {1} & j_ {1} & i_ {2} & j_ {2} & cdots & j_ {n} end {bmatrix}}}$

La permutation correspondante et être

${displayStyle Operatorname {sgn} (alpha)}$

Le signe de

${displaystyle pi}$

.

Peut être

${DisplayStyle a = (a_ {ij})}$

un alternatif

${displayStyle (2NTIMES 2N)}$

-Matrice. Pour chaque partition écrite comme ci-dessus

${displaystyle alpha}$

paramètre

${displayStyle a_ {alpha} = opératorname {sgn} (alpha) a_ {i_ {1}, j_ {1}} a_ {i_ {2}, j_ {2}} cdots a_ {i_ {n}, j_ {n}}..}$

Le déterminant pfaffsche

${displaystyle a}$

est alors défini comme

${displayStyle OperatorName {pf} (a) = sum _ {alpha dans pi} a_ {alpha}}$

.

Est

${displaystyle m}$

Étrange, le pfaffsche devient un déterminant d’une alternance

${displayStyle (mTimes m)}$

-Matrice définie comme zéro.

Définition alternative [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Vous pouvez aller à n’importe quel autre

${displayStyle (2NTIMES 2N)}$

-Matrice

${DisplayStyle a = (a_ {ij})}$

Associer un bivecteur:

${displayStyle omega = sum _ {i$

,

par lequel

${displayStyle {e_ {1}, e_ {2}, ldots, e_ {2n}}}$

La base standard pour

${displayStyle Mathbb {r} ^ {2n}}$

est. Le déterminant Pfaffsche est défini par

${displayStyle {frac {1} {n!}} omega ^ {n} = {Mbox {pf}} (a); e_ {1} wedge e_ {2} wedge cdots wedge e_ {2n}}$

,

mentionné ici

${displayStyle omega ^ {n}}$

Le produit de coin de

${displaystyle n}$

Copies de

${displayStyle Omega}$

avec toi-même.

${displayStyle {Mbox {pf}} {begin {bMatrix} 0 & a \ -a & 0end {bMatrix}} = a.}$

${displayStyle {Mbox {pf}} {begin {bmatrix} 0 & a & b & c \ -a & 0 & d & e \ -b & -d & 0 & f \ -c & -e & -f & 0end {bmatrix}} = af-be + dc.}$

${displaystyle {mbox{Pf}}{begin{bmatrix}0&lambda _{1}&0&0&cdots &&0\-lambda _{1}&0&omega _{1}&0&&&\0&-omega _{1}&0&lambda _{2}&&&vdots \0&0&-lambda _{2}&ddots &ddots &&\vdots &&&ddots &ddots &omega _{n-1}&\&&&&-omega _{n-1}&0&lambda _{n}\0&&cdots &&&-lambda _{n}&0end{bmatrix}}=lambda _{1}lambda _{2}cdots lambda _{n}.}$

Pour un alternatif

${displayStyle (2NTIMES 2N)}$

-Matrice

${displaystyle a}$

Et n’importe quel

${displayStyle (2NTIMES 2N)}$

-Matrice

${displaystyle b}$

est applicable

• 
  ${displayStyle {Mbox {pf}} (a) ^ {2} = DET (a)}$

  

• 
  ${displayStyle {Mbox {pf}} (bab ^ {t}) = det (b) {Mbox {pf}} (a)}$

  

• 
  ${displayStyle {Mbox {pf}} (lambda a) = lambda ^ {n} {Mbox {pf}} (a)}$

  

• 
  ${displayStyle {Mbox {pf}} (a ^ {t}) = (- 1) ^ {n} {Mbox {pf}} (a)}$

  

• Pour une matrice de diagonale de bloc

${displayStyle a_ {1} oplus a_ {2} = {begin {bmatrix} a_ {1} & 0 \ 0 & a_ {2} end {bMatrix}}}$

est applicable

${displayStyle {Mbox {pf}} (a_ {1} oplus a_ {2}) = {Mbox {pf}} (a_ {1}) {Mbox {pf}} (a_ {2})}$

.

• Pour toute
  ${displaystyle (ntimes n)}$

  -Matrice

  ${displaystyle m}$

  est applicable:

${displayStyle {Mbox {pf}} {begin {bmatrix} 0 & m \ -m ^ {t} & 0end {bMatrix}} = (- 1) ^ {n (n-1) / 2} det M.}$

Le déterminant Pfaffsche est un polynôme invariant d’une matrice alternée (Remarque: il n’est pas invariant sous les changements de base généraux, mais uniquement sous les transformations orthogonales). En tant que tel, il est important pour la théorie des classes caractéristiques. (Dans ce contexte, c’est aussi comme Euler-Polynom Décrit.) Il peut être utilisé en particulier pour définir la classe Owl d’une diversité de Riemann. Ceci est utilisé dans la phrase Gauß-Bonnet.

Le nombre de paires parfaites dans un graphique planaire est la même que la valeur absolue d’un déterminant Pfaffschen approprié, qui peut être prédit à l’époque polynomiale. Cela est particulièrement surprenant car le problème des graphiques généraux est très lourd (Sharp-P-Full). Le résultat est utilisé en physique pour calculer l’état du modèle ISING de Spingläsern; Le graphique sous-jacent est planaire. Il a récemment été utilisé pour développer des algorithmes efficaces pour des problèmes autrement insolubles; Cela comprend la simulation efficace de certains types de calculs quantiques.

Le terme Pfaffsche déterminante a été façonné par Arthur Cayley, qui l’a utilisé en 1852: «Les permutants de cette classe (de leur lien avec les recherches de Pfaff sur les équations différentielles) je appellerai Pfaffiens .. ” Cela s’est produit en l’honneur du mathématicien allemand Johann Friedrich Pfaff.