Théorie des champs quantiques axiomatiques – Wikipedia

Le théorie du champ quantique axiomatique est un domaine de recherche en physique mathématique.

Le terme décrit diverses approches pour décrire la structure de la théorie du champ quantique avec des moyens mathématiques. ^[d’abord] Il est généralement tenté de mettre en place la plus petite phrase possible d’axiomes à partir desquels les propriétés des théories du champ quantique suivent.

Opérateurs de terrain [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Les descriptions axiomatiques de la théorie du champ quantique sont basées sur l’image Heisenberg de la mécanique quantique, dans laquelle les conditions sont considérées comme indépendantes de l’espace-temps, tandis que les opérateurs sont en termes d’espace. Les champs quantiques sont donc décrits comme des opérateurs de champs dépendants de l’espace.

Deux problèmes sont devenus clairs au début:

1. Un champ peut avoir des singularités afin qu’une description en tant que fonction d’opérateur -worth ne soit pas appropriée.
2. De plus, l’effet des opérateurs de terrain ne peut pas être défini sur tous les États.

Le premier problème peut être résolu en compris les opérateurs de terrain en tant que distribution de l’opérateur. Les distributions sont des objets plus généraux que les fonctions qui permettent un traitement simple des singularités en particulier. Une salle de distribution est toujours une salle fonctionnelle associée, la salle de fonction de test, définit et représente chaque fonction de test sur un nombre ou ici un opérateur. Dans la théorie du champ quantique, les fonctions en pente rapide de l’espace et du temps sont sélectionnées comme fonctions de test.

Pour résoudre le deuxième problème, comme avec l’observable de la mécanique quantique, il est supposé que les opérateurs de champ ne sont définis que sur un sous-espace dense du Hilbertraum. Les opérateurs seront alors comme densément défini désigné.

La première description axiomatique des théories du champ quantique que ces aspects incluses a été développée par Lars Gårding et Arthur Strong Wightman sous la forme du gårding-wightman-axiome. ^{[2] [3] [4]}

Salle d’État [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Comme dans la mécanique quantique, l’espace d’État est accepté comme un rêve de Hilber. Dans la théorie des champs quantiques, cependant, les salles d’aide spéciales, donc appelées, sont acceptées comme des salles d’État. Ces salles d’aide sont similaires à l’espace d’état de l’oscillateur harmonieux mécanique quantique et peuvent être définies dans un opérateur analogue d’ascension et de descente. Il y a aussi un état de base clair dans les salles Fock.

Le champ scalaire est décrit par la petite équation de Gordone, dont les solutions correspondent à celles de l’oscillateur harmonieux. Vous obtenez une collection d’oscillateurs harmonieux avec les fréquences

, par lequel m La masse et k L’impulsion du champ est. Étant donné que la quantité d’impulsion peut être n’importe quel nombre réel positif, cela donne un nombre infini d’oscillateurs à partir desquels le champ scalaire est composé. L’état de base ou que Vide L’arrière-salle est la condition dans laquelle tous les oscillateurs harmonieux sont à l’état de base. Tous les autres états sont obtenus en utilisant des produits des promoteurs au vide.

Fonctions de point N [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Wightman a en outre développé la théorie axiomatique en constatant qu’une théorie du champ quantique peut être clairement décrite par ses fonctions de point N. Une fonction en N est la valeur d’attente du produit de n opérateurs de terrain dans un état de l’arrière-salle. Ces objets sont donc des distributions dans les arguments AR, ils représentent donc des fonctions de test sur un nombre. En raison du remplacement nucléaire de Laurent Schwartz, chaque distribution des arguments peut clairement être attribuée à une distribution des fonctions de test en n variables, ce qui simplifie considérablement le traitement mathématique.

Wightman a conclu un ensemble de propriétés des fonctions de point N des axiomes pour les opérateurs de champ et la salle d’État. Si ces propriétés sont requises pour les fonctions de point N, l’espace d’état et les opérateurs de champ peuvent être reconstruits. Les propriétés que les fonctions en n-points doivent remplir sont appelées axiomes Wightman. Les fonctions de point N qui répondent à ces axiomes sont appelées fonctions Wightman, même si ce sont en réalité des distributions.

Une phrase de Wightman fonctionne clairement une théorie du champ quantique via le taux de reconstruction. Cela permet de définir une théorie du champ quantique sans spécifier les opérateurs de champ ou une salle Fock.

Théorie des défauts causaux [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Les approches décrites jusqu’à présent ne peuvent pas décrire les théories des champs quantiques en interaction. En particulier, les résultats de la théorie des troubles rénovés ne peuvent pas être reproduits. Les physiciens Henri Epstein et Vladimir Jurko Glaser ont développé une procédure en 1973 avec la théorie du trouble causal qui a permis de développer une théorie rénovée pour interagir les théories du champ quantique de manière mathématiquement bien définie. ^[5] Dans leur travail d’origine, ils n’ont examiné que des champs scalaires sans spin et sans épine, mais en attendant, leur approche a été étendue à d’autres théories, en particulier aux théories de chêne telles que l’électrodynamique quantique.

À la fin des années 40, Irving Segal avait déjà supposé que la mécanique quantique et la théorie du champ quantique pouvaient être décrites à l’aide d’albums C *. Cependant, il n’a pas réalisé un libellé précis.

Hans-Jürgen Borchers a découvert en 1961 que les fonctions de Wightman sont basées sur une structure algébrique. ^[6] Il a construit ce que l’on appelle le Wightmanfonctionnel, qui sont composés de fonctions Wightman pour tous les nombres d’arguments n, et ont formulé les axiomes de Wightman pour eux. Il a découvert que le Wightman Fonctionnel forme une algèbre topologique *. Il a jeté les bases du développement d’une description purement algébrique des théories du champ quantique.

Rudolf Haag et Daniel Kastler ont continué à examiner la structure algébrique des théories du champ quantique et en 1964 ont formulé les axioms Haag-Kastler pour les réseaux d’albums C *. ^[7] Ils ont également défini le concept de état algébrique sur une algèbre C * qui fait référence à des formes linéaires sur l’algèbre et a généralisé le concept de la condition dans un rêve d’aide. La construction GNS peut être construite à partir de conditions algébriques. Ces représentations répondent aux axiomes de Gårding Wightman pour les théories du champ quantique en dehors de l’existence d’un vide et de la demande que l’espace d’État soit une arrière-salle. Un vide clair survient pour les conditions qui répondent à une certaine propriété et en tant que conditions pures sont désignés tout en étant appelés Conditions quasi sans induire une représentation dans une salle Fock. D’autres travaux importants sur la théorie des champs quantiques algébriques ont été effectués par Huzihiro Araki. ^[8]

Haag et Kastler ont conclu de leurs axiomes que les théories du champ quantique, dont les albums c * associés sont isomorphes, sont physiquement équivalent sont, c’est-à-dire livrer les mêmes résultats dans une séquence de mesures. Cela a montré pour la première fois que les représentations des théories du champ quantique, qui ne sont pas uniques, peuvent également être physiquement équivalentes. Le point clé de cette considération est l’axiome local, qui a été transféré des borchers de la formulation de rêve de Hilbert à la théorie algébrique du champ quantique.

Une approche de la construction axiomatique explicite des théories du champ quantique provient de Konrad Osterwalder et Robert Schrader. ^{[9] [dix]} Ils ont développé les soi-disant Axioms de Pâques Walder-Schrader, qui doivent répondre à une théorie du champ quantique dans un espace euclidien afin qu’une théorie du champ quantique puisse être construite dans le Minkowskiraum. Ce faisant, ils ont mis la rotation du vent sur une base mathématique.

Il y a également eu divers efforts pour s’appuyer sur ce travail pour mettre le chemin intégral sur une base mathématique solide. Le travail de Ludwig Streit et Sergio Albeverio sur ce sujet est considéré comme une description mathématiquement cohérente des pathalinets qui n’interagissent pas. Ils retombent sur le processus stochastique du bruit blanc.

L’un des premiers succès des approches axiomatiques dans la théorie du champ quantique a été la formule de réduction LSZ, dérivée de Harry Lehmann, Kurt Symanzik et Wolfhart Zimmermann. Cette formule permet à la matrice S d’être due à des fonctions de point N temporaires ou causales.

La théorie de la matrice S axiomatique a poursuivi un point de départ différent de celui de Wightman. Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow, Konstantin Mikhaĭlovich Polivanov et B. V. Medvedev ont adopté que la matrice S est la seule taille observable dans une théorie du champ quantique et la théorie du champ quantique doit donc être définie par la matrice S.

Une approche axiomatique plus récente est la théorie topologique du champ quantique, qui examine l’invariant topologique des théories du champ quantique sur diverses topologie non triviale. Étant donné que l’intérêt s’applique à l’invariant topologique, vous regardez les théories du champ quantique dans lesquelles les fonctions du point N ne dépendent pas de la métrique, mais seulement de la structure topologique de la pièce. Un exemple bien connu d’une théorie du champ quantique topologique est la théorie de Chern Simons, qui est utilisée pour expliquer le nombre brisé d’effet de hall quantique.

Une caractérisation axiomatique de ces théories provient de Michael Francis Atiyah.

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Les théories axiomatiques ont principalement atteint une formulation mathématiquement définie des principes de base de la théorie du champ quantique. Divers théorèmes pourraient être dérivés de ces formulations mathématiques, qui répondent à toutes les théories du champ quantique qui rencontrent des axiomes.

Spin-statistics-théorème [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Le théorème des statistiques de spin indique que le comportement d’un ensemble statistique dépend du rotation des éléments microscopiques constitutifs. Dans le contexte d’une théorie du champ quantique, cela signifie que les champs avec un spin complet doivent rencontrer des commutatorrélations, tandis que les champs avec un spin à moitié nulle sont des anti-mutatorrélations.

Le théorème a été à l’origine prouvé par Pauli sur la base des équations de mouvement de la mécanique quantique relativiste, c’est-à-dire la petite équation de Gordone et l’équation Dirac, pour les particules non interactives. ^[11] Sa preuve est basée sur le fait que l’acceptation de fausses statistiques ne conduit pas à un opérateur de Hamilton positif et défini.

Dans le contexte axiomatique, il a été examiné précisément quels axiomes sont nécessaires pour des preuves. Dans le contexte de la théorie des champs quantiques algébriques, qui offre un concept beaucoup plus abstrait et plus général des théories du champ quantique que l’approche de Hilbertraum, un théorème analogique a été prouvé qui reproduit le théorème des statistiques spin dans les cas spéciaux correspondants. Dans le contexte algébrique, il a également été démontré avec la théorie du vin mousseux qu’il ne peut être reconstruit que de l’observable d’une théorie s’il existe une théorie sous-jacente avec des champs spinaires.

Dans le cadre de la théorie du champ quantique algébrique ^{[douzième] [13]} étendu.

Scripts [ Modifier | Modifier le texte source ]]

• Wojciech dybalski: Conférences sur les fondements mathématiques de QFT . 2018 (anglais, tum.de [PDF]).
• Hendrik Van Hees: Introduction à la théorie des champs quantiques relativistes . 2016 (anglais, Uni-Frankfurt.de [PDF]).
• Michael Keyl: Aspects mathématiques de la théorie du champ quantique . 2017 (anglais, Exqm.de [PDF]).

Articles spécialisés [ Modifier | Modifier le texte source ]]

• F. outil: Mécanique quantique relativiste et théorie des champs . Dans: Fondements de la physique . Groupe 34 , Non. 3 , Mars 2004, S. 501–527 , est ce que je: 10.1023 / b: Foop.0000019625.30165.35 (Anglais).
• Arthur M. Jaffe: Où la théorie du champ axiomatique? Dans: Revues de la physique moderne . Groupe 41 , Non. 4 , 1er octobre 1969, S. 576–580 , est ce que je: 10.1103 / revModphys.41.576 (Anglais).

Livres spécialisés [ Modifier | Modifier le texte source ]]

• Damien Calaque, Thomas Strobl (éd.): Aspects mathématiques des théories du champ quantique (= Études de physique mathématique ). Springer International Publishing, Cham 2015, ISBN 978-3-319-09948-4, doi: 10 1007 / 978-3-09-09949-1 (Anglais).
• Edson de Faria, Wellington de Melo: Aspects mathématiques de la théorie du champ quantique . 1ère édition. Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-11577-3, doi: 10.1017 / cbo9780511760532 (Anglais).
• Huzihiro Araki: Théorie mathématique des champs quantiques (= La série internationale de monographies sur la physique . Groupe 101 ). Oxford University Press, New York 2009, ISBN 978-0-19-956640-2.
• M. Schottenloher: Une introduction mathématique à la théorie des champs conformes (= Notes de cours en physique . Groupe 759 ). Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-68625-5, doi: 10 1007 / 978-3-540-68628-6 .
• N. N. Bogolubov, A. A. Logunov, I. T. Todorov: Introduction à la théorie du champ quantique axiomatique (= A. S. Wightman [HRSG.]: Série de monographies de physique mathématique . Groupe 18 ). W. A. ​​Benjamin, 1975 ( Archive.org ).
• Raymond F. Streater, Arthur S. Wightman: PCT, spin et statistiques, et tout cela . Princeton University Press, 2001, ISBN 978-1-4008-8423-0, doi: 10.1515 / 9781400884230 ( Archive.org – Titre original: PCT, spin et statistiques, et tout cela . 1964.).

1. ↑ B. Kuckert: Théorie du champ quantique axiomatique . Dans: Encyclopédie de la physique mathématique . Elsevier, 2006, ISBN 978-0-12-512666-3, S. 234-240 , est ce que je: 10.1016 / B0-12-512666-2 / 00317-5 (Anglais, Elsevier.com [Consulté le 17 février 2023]).
2. ↑ A. S. Wightman: Les Problèmes mathématiques de la théorie quantique des champs , Centre National de la Recherche Scientifique, Paris (1959), Seite 11–19
3. ↑ A. S. Wightman, L. Garding: Champs en tant que distributions à valeur de l’opérateur dans la théorie quantique relativiste . Dans: Archive Phys. Vol: 28, 1er janvier 1965 (anglais, osti.gov [Consulté le 15 février 2023]).
4. ↑ Raymond F. Streater, Arthur S. Wightman: 3. Valeurs d’attente des champs et de l’aspirateur . Dans: PCT, spin et statistiques, et tout cela . Princeton University Press, 2001, ISBN 978-1-4008-8423-0, S. 96–133 , est ce que je: 10.1515 / 9781400884230-005 (Anglais, Degruyter.com [Consulté le 15 février 2023]).
5. ↑ H. Epstein, V. Glaser: Le rôle de la localité dans la théorie des perturbations . Dans: Annales de l’I.H.P. Physique théorique . Groupe 19 , Non. 3 , 1973, ISSN 0246-0211 , S. 211–295 (Anglais, Eudml.org [Consulté le 15 février 2023]).
6. ↑ H. -J. Borchers: Sur la structure de l’algèbre des opérateurs de terrain . Dans: Le nouvel actif . Groupe 24 , Non. 2 , Avril 1962, ISSN 0029-6341 , S. 214-236 , est ce que je: 10.1007 / BF02745645 (Anglais, Springer.com [Consulté le 15 février 2023]).
7. ↑ Rudolf la La Haye, Daniel Kastler: Une approche algébrique de la théorie du champ quantique . Dans: Journal of Mathematical Physics . Groupe 5 , Non. 7 , Juillet 1964, ISSN 0022-2488 , S. 848–861 , est ce que je: 10.1063 / 1,1704187 (Anglais, Scitation.org [Consulté le 15 février 2023]).
8. ↑ Christopher J. Fewster, Kasia Rejzner: Théorie des champs quantiques algébriques – une introduction . Dans: ArXIV: 1904.04051 [HEP-TH, Physique: Math-Ph] . 18. novembre 2019, Arxiv: 1904.04051 [ABS] (Anglais).
9. ↑ Konrad Osterwalder, Robert Schrader: Axiomes pour les fonctions du vert euclidien . Dans: Communications en physique mathématique . Groupe trente et un , Non. 2 , Juin 1973, ISSN 0010-3616 , S. 83–112 , est ce que je: 10.1007 / BF01645738 (Anglais, Springer.com [Consulté le 15 février 2023]).
10. ↑ Konrad Osterwalder, Robert Schrader: Axiomes pour les fonctions du vert euclidien II . Dans: Communications en physique mathématique . Groupe 42 , Non. 3 , Octobre 1975, ISSN 0010-3616 , S. 281–305 , est ce que je: 10.1007 / BF01608978 (Anglais, Springer.com [Consulté le 15 février 2023]).
11. ↑ W. Pauli: Le lien entre le spin et les statistiques . Dans: Revue physique . Groupe 58 , Non. 8 , 15. octobre 1940, ISSN 0031-899X , S. 716–722 , est ce que je: 10.1103 / PhysRev.58.716 (Anglais, Aps.org [Consulté le 15 février 2023]).
12. ↑ D. Guido, R. Longo, J. E. Roberts, R. Verch: “Secteurs chargés, spin et statistiques dans la théorie des champs quantiques sur les espacements courbes”, Rev. Math. Phys. 13, 125 (2001) doi: 10.1142 / s0129055x01000557
13. ↑ D. Guido, R. Longo, J. E. Roberts, R. Verch: Secteurs chargés, spin et statistiques dans la théorie des champs quantiques sur les espacements incurvés . Dans: Critiques en physique mathématique . Groupe 13 , Non. 02 , Février 2001, ISSN 0129-055X , S. 125–198 , est ce que je: 10.1142 / s0129055x01000557 (Anglais, Worldscientific.com [Consulté le 15 février 2023]).