Fonction d’inversion – Wikipedia

En mathématiques le Fonction d’inversion ou fonction inverse une fonction bijective la fonction qui est clairement déterminée par chaque élément du volume cible Élément archétode attribué.

Une fonction

${DisplayStyle fcolon ato b}$

Commandez à tout le monde

${displaystyle ain a}$

Un élément clairement déterminé

${DisplayStyle bin b}$

Faire avec

${displaystyle f (a)}$

mentionné.
S’applique à

${Displaystyle ain a, bin b}$

la relation

${displayStyle b = f (a)}$

Alors tu dis aussi ça

${displaystyle a}$

Un élément archétype de

${displaystyle b}$

sous

${displaystyle f}$

est. En général, un élément de

${displaystyle b}$

Non, un ou plusieurs éléments archétype sous

${displaystyle f}$

posséder.
Si un élément de

${displaystyle b}$

Exactement un élément archétype sous

${displaystyle f}$

a (on parle alors de au Élément urorbild), est appelé

${displaystyle f}$

inversible . Dans ce cas, vous pouvez avoir une fonction

${displaystyle f ^ {- 1} colon bto a}$

définir celui de chaque élément de

${displaystyle b}$

Votre élément archétaillé clairement défini sous

${displaystyle f}$

attribué.
Cette fonction est alors comme fonction d’inversion de

${displaystyle f}$

désigné.

Il est facile de prouver qu’une fonction est exactement invertible s’il est bijudu (c’est-à-dire en même temps injectif et surjectif). En fait, l’injectivité ne dit rien de plus que chaque élément de

${displaystyle b}$

au plus un élément archétode sous

${displaystyle f}$

possède. La surjectivité dit simplement que chaque élément de

${displaystyle b}$

au moins un élément archétaillé sous

${displaystyle f}$

possède.

Le concept de fonction inverse fait officiellement partie de la sous-zone mathématique de la théorie de la quantité, mais est utilisée dans de nombreux sous-domaines de mathématiques.

Être

${displaystyle a}$

et

${displaystyle b}$

quantités non vides.
En plus de la définition de l’introduction

${DisplayStyle fcolon ato b}$

et introduire officiellement la fonction inverse d’une fonction invertible:

Il s’avère que tous les termes invertivité présentés sont équivalents au concept de bijectivité. Toutes les définitions de la fonction d’inversion conduisent également au même résultat.

Si

${DisplayStyle fcolon Arightarrow B}$

est une fonction bijective, alors mentionnée

${displaystyle f ^ {- 1} colon Brightarrow a}$

La fonction d’inversion. Celui amélioré est

${Displaystyle -1}$

à ne pas confondre avec la puissance négative concernant la multiplication. C’est plutôt le renversement de la composition des fonctions.
L’orthographe alternative

${displayStyle {bar {f}}}$

(F veux), ^[d’abord] Peut être facilement confondu avec la conjugaison complexe. Il est donc rarement utilisé dans la littérature mathématique.

Cependant, il y a aussi la notation

${displaystyle f ^ {- 1}}$

une ambiguïté. Cette notation est également utilisée pour la fonction archétype, qui existe pour chaque fonction (c’est-à-dire non plus de bijectifs).
La fonction archétype est fonction de la quantité de puissance

${displayStyle {Mathcal {p}} (b)}$

En montant

${displayStyle {Mathcal {p}} (a)}$

.
Il est commun d’omettre les clips de quantité dans la notation de la fonction archétype avec des quantités élémentaires. Pour

${DisplayStyle bin b}$

Il en va de même pour

${displayStyle f ^ {- 1} ({b})}$

aussi simplement

${displayStyle f ^ {- 1} (b)}$

écrit.
Si l’on identifie la quantité élémentaire avec celui contenu dans cette notation, alors la fonction d’inversion est une spécialisation de la fonction archétype, et les contradictions frontales ne peuvent pas se produire. Parce que pour les bijectifs

${displaystyle f}$

est

${displayStyle f ^ {- 1} (b)}$

le un et le seul élément de l’archétype

${displayStyle f ^ {- 1} ({b})}$

.

En raison de la confusion mentionnée, il y a parfois dans la littérature pour la fonction d’inversion (c’est

${DisplayStyle (-1)}$

-le Itération) L’orthographe

${displaystyle f^{langle -1rangle }}$

de sorte que

${displaystyle mathrm {id} }$

${displaystyle =fcirc f^{langle -1rangle }}$

(Avec en amont Spitzer Support),

Pour itération

${displaystyle f^{langle 0rangle }}$

${displaystyle :=mathrm {id} }$

et

${displaystyle f^{langle {n+1}rangle }}$

${displaystyle :=fcirc f^{langle nrangle }}$ ,

Pour la puissance

${displaystyle f^{;!0}}$

${displaystyle :=mathrm {1} }$

et

${displaystyle f^{;!n+1}}$

${displaystyle :=fcdot f^{;!n}}$

( sans Supports élevés))

Et pour la dérivation

${displaystyle f^{(0)}}$

${displaystyle :=f}$

et

${displaystyle f^{(n+1)}}$

${displaystyle :=(f^{(n)})’}$

(Avec en amont rond Support).

Alors par exemple

${displayStyle sin ^ {langle -1rangle} = arcsin,}$

${displayStyle sans ^ {2} + cos ^ {2} = 1}$

et

${DisplayStyle sin ^ {(2)} = sin ^ {prime prime} = -sin.}$

• Peut être
  ${displayStyle a: = {a, b, c, dotsc, y, z}}$

  Le montant de 26 lettres de l’alphabet latin et être

  ${displayStyle b: = {1,2,3, dotsc, 25,26}}$

  . La fonction

  ${DisplayStyle fcolon Arightarrow B}$

  qui attribue le numéro correspondant dans l’alphabet à chaque lettre est bijective, et

  ${displaystyle f ^ {- 1} colon Brightarrow a}$

  Est donné par

  ${displayStyle f ^ {- 1} (n) =}$

  “le n -Te lettre dans l’alphabet ».

• Peut être
  ${displayStyle fcolon mathbb {r} rightarrow mathbb {r}}$

  La vraie fonction avec

  ${displayStyle f (x) = 3x + 2}$

  . Ceci est bijectif et la fonction d’inversion est donnée par

${displayStyle f ^ {- 1} colon mathbb {r} à mathbb {r}, quad f ^ {- 1} (x) = (x-2) / 3}$

.

• La fonction d’inversion est un bijectif lui-même. Votre fonction inverse est la fonction d’origine, i. H.

${displayStyle (f ^ {- 1}) ^ {- 1} = f}$

.

• Est
  ${DisplayStyle fcolon Arightarrow B}$

  Une fonction bijective s’applique alors à la fonction d’inversion:

${displayStyle f (f ^ {- 1} (b)) = b}$

pour tous

${DisplayStyle bin b}$

,

${displayStyle f ^ {- 1} (f (a)) = a}$

pour tous

${displaystyle ain a}$

.

Ou un peu plus élégant:

${displayStyle fcirc f ^ {- 1} = opératorname {id} _ {b}}$

,

${displayStyle f ^ {- 1} circ f = opératorname {id} _ {a}}$

.

• Sont
  ${DisplayStyle fcolon Arightarrow B}$

  et

  ${displaystyle gcolon brightarrow a}$

  Deux fonctions avec la propriété

${displayStyle f (g (b)) = b}$

pour tous

${DisplayStyle bin b}$

,

Ensuite, chacune des caractéristiques suivantes peut déjà être conclu que les deux fonctions sont bijectives et leurs fonctions d’inversion mutuelle:

${displayStyle g (f (a)) = a}$

pour tous

${displaystyle ain a}$

${displaystyle f}$

Est injectif

${displaystyle g}$

est une surjective

• Une fonction
  ${displaystyle fcolon arightarrow a}$

  Peut être votre propre fonction d’inversion. Cela s’applique exactement si

  ${displayStyle fcirc f = opératorname {id} _ {a}}$

  . Dans ce cas, on s’appelle

  ${displaystyle f}$

  une involution. Les images involutives les plus simples sont les illustrations identiques.

• Est
  ${displayStyle fcolon mathbb {r} rightarrow mathbb {r}}$

  différencier,

  ${displayStyle f ‘(x) neq 0}$

  et

  ${displayStyle y: = f (x)}$

  , alors la règle d’inversion suivante s’applique:

${displayStyle (f ^ {- 1}) ‘(y) = {frac {1} {f’ (f ^ {- 1} (y))}}}$

.

Cette déclaration est généralisée dans l’analyse multidimensionnelle à la phrase par des images d’inversion.

Dans de nombreux cas, il y a un désir d’une fonction d’inversion pour une fonction non bijective. Pour ce faire, les aides suivantes peuvent être utilisées:

• Si la fonction ne surfait pas, vous pouvez réduire la quantité cible en choisissant l’image de la fonction pour cela. La fonction obtenue de cette manière est une surjective et correspond à la fonction d’origine dans vos paires de valeurs. Cette approche est toujours possible. Cependant, il peut être difficile de déterminer précisément l’image de la fonction considérée. De plus, une propriété importante de la quantité cible initialement considérée peut être perdue dans la transition vers ce sous-ensemble (dans l’analyse, par exemple, l’exhaustivité).

• Dans certains cas, il se révèle également fertile d’atteindre la surjectivité souhaitée en élargissant la plage de définition de la fonction considérée. Ceci est souvent associé à une extension de la cible. Il faut décider individuellement si ce chemin est visible et sensible.

• Si la fonction n’est pas injective, vous pouvez définir un rapport d’équivalence approprié sur votre zone de définition afin que la fonction puisse être transférée à la quantité des classes d’équivalence correspondantes. Cette fonction est ensuite automatiquement injective. Cependant, cette approche est exigeante et conduit à un changement souvent indésirable dans la nature des arguments de la fonction considérée.

• En pratique, l’injectivité de la fonction peut souvent être obtenue en vous restreignant à un sous-ensemble approprié de la plage de définition de la fonction, qui ne contient qu’un seul archétype archétype pour chaque élément de l’image. Cependant, cette restriction peut être arbitraire. Vous devez donc vous assurer que vous effectuez constamment cette restriction à toutes les endroits de la même manière.

Exemples [ Modifier | Modifier le texte source ]]

• La fonction successeur est considérée
  ${displaystyle nmapsto n + 1}$

  sur la foule

  ${displaystyle mathbb {N} }$

  les nombres naturels sans zéro. Cette fonction est injective. Cependant, ce n’est pas une surjective car le nombre 1 n’apparaît pas comme une valeur fonctionnelle. Vous pouvez désormais supprimer le numéro 1 de la cible. Alors la fonction devient une surjective et la fonction prédécesseur

  ${displaystyle nmapsto n-1}$

  est votre fonction d’inversion. Cependant, il est disgracieux que la fonction ne correspond désormais plus à la zone de définition et de cible.

À première vue, l’idée alternative d’élargir la zone de définition pour étendre le manque de manque d’archétype pour le 1, à savoir le 0. Si vous ajoutez cela à la quantité cible, il n’a pas non plus d’élément archétaire. Cependant, ce processus peut être poursuivi à l’infini souvent et à atteindre ainsi la quantité

${displaystyle mathbb {z}}$

tous les nombres. La fonction successeur est bijective sur cette quantité, et sa fonction inverse est la fonction prédécesseur.

• La fonction exponentielle considérée comme une fonction de
  ${displayStyle Mathbb {r}}$

  après

  ${displayStyle Mathbb {r}}$

  Est injectif, mais pas surjectif. Votre image est la quantité de nombres réels positifs. Si vous limitez la cible, vous obtenez une fonction bijective, dont la fonction d’inversion est la fonction de logarithme. Une expansion naturelle de la zone numérique, comme discuté dans l’exemple précédent, n’est pas idéale ici. Par conséquent, il faut accepter que les fonctions des fonctions considérées ne correspondent plus à la zone de définition et de cible.

La détermination efficace de la fonction inverse est souvent difficile. Les méthodes de chiffrement asymétriques sont basées sur le fait que la détermination de la fonction d’inversion d’une fonction de chiffrement n’est effectivement possible que si vous connaissez une clé secrète. La disposition de calcul de la fonction de chiffrement elle-même est connue publiquement.

Les fonctions réelles sont souvent définies par une régulation de calcul, qui par un terme arithmétique

${displayStyle t}$

(avec une variable

${displaystyle x}$

) peut être décrit. Lorsque vous recherchez la fonction d’inversion, l’équation fonctionnelle essaie maintenant

${displayStyle y = t (x)}$

par une formation équivalente dans la forme

${displayStyle x = t ‘(y)}$

(Pour un terme approprié

${displayStyle t ‘}$

) pour apporter, c’est-à-dire équivalent

${displaystyle x}$

dissoudre .
Si cela réussit, c’est grâce au règlement de calcul

${displayStyle t}$

La fonction définie s’est avérée comme un bijectif et

${displayStyle t ‘}$

est une régulation de calcul de la fonction d’inversion. Notez que les quantités dont

${displaystyle x}$

et

${displaystyle y}$

doit être choisi pour être prudent. Ils forment ensuite la zone de définition et le volume cible de la fonction considérée.

Exemples:

• Peut être
  ${displayStyle fcolon mathbb {r} à mathbb {r}}$

  avec

  ${displayStyle f (x) = 2x-1}$

  . Les équations suivantes sont équivalentes:

  ${displayStyle {begin {aligné} y & = 2x-1 \ 2x & = y + 1 \ x & = {tfrac {y + 1} {2}} end {aligné}}}$

  

La fonction d’inversion de

${displaystyle f}$

c’est pourquoi

${DisplayStyle f ^ {- 1} (y) = {tfrac {y + 1} {2}}}}$

. Puisqu’il est courant, l’argument avec

${displaystyle x}$

Pour décrire, on écrit également:

${displayStyle f ^ {- 1} (x) = {tfrac {x + 1} {2}}}$

.

• Peut être
  ${displayStyle fcolon (0, infty) à mathbb {r}}$

  avec

  ${displayStyle f (x) = {tfrac {x ^ {2} -1} {2x}}}$

  . Les équations suivantes sont équivalentes (notez que

  ${displaystyle x> 0}$

  
  ${displayStyle {begin {aligné} & y = {tfrac {x ^ {2} -1} {2x}} \ & 2xy = x ^ {2} -1 \ & x ^ {2} -2xy-1 = 0 \ & x = y + {sqrt {y ^ {2} +1}} end {sqrt}}$

  

(La deuxième solution de l’équation carrée n’est plus nécessaire

${displaystyle x}$

est nécessaire comme positif.) La fonction d’inversion est donc

${DisplayStyle f ^ {- 1} (y) = y + {sqrt {y ^ {2} +1}}}}$

.

Remarque: la racine carrée a été utilisée dans cette solution. La fonction racine carrée est actuellement définie comme la fonction d’inversion de la fonction carrée simple

${displaystyle xmapsto x ^ {2}}$

. Cette fonction simple ne peut pas être “vice versa” en utilisant les types arithmétiques de base.

Ce problème a été résolu par le fait que le stock d’opérations standard mathématiques a été élargi pour inclure un autre membre (à savoir la racine carrée).

Les performances de la conversion réalisée ci-dessus sont au calcul de la fonction d’inversion de la fonction

${displaystyle f}$

avoir attribué au calcul de la fonction d’inversion de la fonction carrée.

Comme je l’ai dit, la racine carrée ne peut pas être calculée de manière élémentaire. En fait, même pour les arguments entiers, elle a souvent des valeurs irrationnelles. Cependant, il existe des procédures d’approximation bien comprises pour la racine carrée.

La transformation ci-dessus est donc considérée comme suffisante. En fait, un meilleur résultat ne peut pas être atteint.

Notez que les autres fonctions d’inversion (logarithme, arcus et fonctions de zone) spécifiées ci-dessus ne peuvent pas être calculées en utilisant l’arithmétique de base (et la fonction exponentielle et les fonctions trigonométriques). Comme la racine carrée, ils développent donc la quantité d’opérations mathématiques standard (voir également la fonction élémentaire).

En mathématiques plus élevées, les quantités sont souvent prises en compte qui sont encore fournies avec une structure mathématique supplémentaire. Un exemple simple de ceci est la quantité de nombres naturels sur lesquels il existe, entre autres, la structure réglementaire définie par la plus petite relation.

Si vous regardez maintenant les fonctions entre deux quantités qui portent le même type de structure (c’est-à-dire environ deux quantités ordonnées), vous êtes particulièrement intéressé par les fonctions entre ces quantités qui sont «compatibles» avec les structures correspondantes. Cette tolérance doit être définie séparément. Dans la plupart des cas, cependant, la définition est évidente.

Les fonctions qui remplissent cette tolérance sont également appelées morphismes. Pour les quantités ordonnées, les morphismes sont les fonctions monotones.

Si un morphisme est bijectif, la question se pose de savoir si la fonction d’inversion est également le morphisme.

C’est automatiquement le cas dans de nombreux sous-domaines de mathématiques. Par exemple, les fonctions d’inversion des homomorphismes bijectiques sont également automatiquement des homomorphismes.

Ce n’est pas le cas dans d’autres sous-zones. Dans le cas de quantités ordonnées, par exemple, cela dépend si vous êtes limité aux commandes totales (alors les fonctions d’inversion des fonctions monotones sont à nouveau monotones) ou si vous autorisez également les demi-commandes (alors ce n’est pas toujours le cas).

Le morphisme bijectique, dont la fonction inverse est également le morphisme, est également appelée isomorphisme.

Fonctions d’inversion des images linéaires [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Un exemple particulièrement important du concept de morphisme est le concept d’illustration linéaire (homomorphisme de la salle des vecteurs). Une illustration linéaire bijective est toujours un isomorphisme. La question se pose souvent de savoir comment leur fonction d’inversion peut être déterminée efficacement.

Pour qu’un tel isomorphisme existe du tout, les deux vecteurs impliqués doivent avoir la même dimension.
Si cela est enfin, chaque image linéaire entre les pièces peut être représentée par une matrice carrée (avec le nombre correspondant de colonnes). L’illustration linéaire est exactement bijective si cette matrice a un inverse. Cet inverse décrit alors la fonction d’inversion.

Dans la sous-zone mathématique de l’analyse fonctionnelle, on considère principalement les salles vectorielles de dimension infinie, qui en plus de la structure vectorielle portent une structure topologique supplémentaire. Seules ces images linéaires qui sont également compatibles avec les structures topologiques, c’est-à-dire sont constantes.
En général, la fonction d’inversion d’une illustration linéaire régulière bijective entre deux salles de vecteur topologique n’est pas nécessairement régulièrement. Cependant, si les deux chambres impliquées sont des salles de Banach, il découle de la phrase sur l’illustration ouverte que cela doit être le cas.

Pour les applications plus générales, le concept de fonction d’inversion introduit ci-dessus est trop étroit comme l’inverse d’une bijection. En conséquence, il existe des généralisations pour de telles conditions, dont deux sont présentées ci-dessous.

Versets gauche [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Pour une fonction

${DisplayStyle fcolon Arightarrow B}$

signifie une fonction

${displaystyle gcolon brightarrow a}$

Versets gauche (ou rétraction),
si

${displayStyle gcirc f = mathrm {id} _ {a}.}$

C’est-à-dire la fonction

${displaystyle g}$

Remplir

${DisplayStyle {text {if} f (a) = b {text {, alors}} g (b) = a.}$

Le comportement de

${displaystyle g}$

Sur la photo de

${displaystyle f}$

Il est donc défini. Pour les éléments

${displaystyle b}$

que pas le résultat de

${displaystyle f}$

est, peut

${displaystyle g}$

D’un autre côté, acceptez toute valeur. Une fonction

${displaystyle f}$

A des versets à gauche exactement s’il est injectif (gauche -wing).

Une fonction d’injective peut avoir plusieurs versets gauche. C’est précisément le cas si la fonction ne surfait pas et que la plage de définition a plus d’un élément.

Exemples

Les versets à gauche apparaissent souvent comme “inverse” de l’intégration.

Par exemple, être

${displaystyle a}$

Le nombre de clubs représentés dans la saison 2018/19 avec une équipe dans la première Bundesliga masculine.

${displaystyle b}$

Être la quantité de municipalités en Allemagne. La fonction

${displaystyle f}$

Commandez la municipalité dans laquelle se trouve son stade.
Puisqu’il n’y a pas deux équipes de Bundesliga de la même ville de la saison en considération, cette fonction est injective. Puisqu’il y a aussi des municipalités sans stade Bundesliga, ce n’est pas une surjective.
Il y a donc plusieurs versets à main

${displaystyle f}$

. Un vers de gauche facile à former est la fonction que chaque municipalité qui a un stade Bundesliga attribue l’association associée et toutes les autres municipalités FC Bayern Munich. Un exemple plus sensé dans la pratique serait la fonction que chaque municipalité attribue le club de Bundesliga avec le stade le plus proche. Cependant, il serait également beaucoup plus complexe de déterminer cette fonction, d’autant plus qu’il devrait d’abord être clarifié quel concept de la définition est basé (ashatium, distance la plus courte par voiture, …).

Comme exemple numérique

${displaystyle f}$

L’incorporation de

${displaystyle mathbb {z}}$

dans

${displayStyle Mathbb {r}}$

. Ensuite, chaque fonction d’arrondi (sur 0 endroits en fonction du point décimal), par exemple le Gaussklammer, s’offre comme gauche. Mais aussi la fonction sur

${displayStyle Mathbb {r}}$

, qui attribue chaque numéro et tous les autres nombres qui 0, sont des versets à gauche.

Aile droite [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Un Aile droite ( Corétaction ) depuis

${DisplayStyle fcolon Arightarrow B}$

(ou, pour les faisceaux de fibres, un couper depuis

${displaystyle f}$

) est une fonction

${displaystyle hcolon brightarrow a}$

, de sorte que

${displayStyle fcirc h = mathrm {id} _ {b}.}$

C’est-à-dire la fonction

${displaystyle h}$

Remplir

${DisplayStyle {text {if}} h (b) = a {text {, alors} f (a) = b.}$

${displaystyle h (b)}$

Ainsi, chaque élément archétype de

${displaystyle b}$

sous

${displaystyle f}$

être.

A une fonction

${displaystyle f}$

Un versets légalement, il doit donc être une surjective (à droite-officielle).

Inversement, il semble évident que la surjectivité de

${displaystyle f}$

L’existence d’un versets légalement suit. Pour chaque

${DisplayStyle bin b}$

peut-il un ou encore plus archéton

${displaystyle f}$

dans

${displaystyle a}$

trouver.
Cependant, si la fonction est “hautement non injectée”, une décision doit être prise pour une quantité ingérable d’éléments de la quantité cible, laquelle des éléments archétypes que l’on prend vraiment.
Une telle décision simultanée ne peut pas toujours être prise de manière constructive. L’axiome de sélection (dans un libellé approprié) est que les versets à droite existent toujours pour toutes les fonctions surjectives.

Dans de nombreux cas, cependant, l’ambiguïté peut être dissoute par une définition globale. C’est le cas avec la définition de la racine carrée, par exemple, où l’ambiguïté est toujours dissoute en faveur de la solution positive.
Dans de tels cas, l’axiome de sélection n’est pas nécessaire.

La fonction

${displaystyle h}$

est évidemment à ce moment-là -wing

${displaystyle f}$

, si

${displaystyle f}$

Gauche -wing dans

${displaystyle h}$

est. À partir de cela, il s’ensuit immédiatement que les versets à droite sont toujours des versets injectifs et à gauche.

Une fonction surjective a plusieurs versets à droite s’il n’est pas injectif.

Exemples

Le sauvetage à droite se produit souvent comme des fonctions qui déterminent beaucoup les représentants.

Par exemple, être

${displayStyle fcolon {text {art}} rightarrow {text {gattung}}}$

Une fonction que toutes sortes de son genre attribue. En tant que loi dans

${displaystyle h}$

Choisissez ensuite une fonction qui nomme une espèce typique pour chaque genre. La représentation politique fournit de nombreux exemples. Ici pourrait

${displaystyle f}$

sur la nationalité d’une personne,

${displaystyle h}$

le chef de l’État d’un État.

La courbe de Hilbert forme constamment l’intervalle unitaire (d’où le nom Courbe ) sur le carré unitaire. En application pratique, cependant, le Hilbert-Index Nécessite, à savoir une linéarisation de données bidimensionnelles (une inversion de la courbe de Hilbert). Pour ce faire, prenez l’un des vers de droite de la courbe de Hilbert, dont il y a plusieurs parce que la courbe de Hilbert ne peut pas être une illustration constante entre deux salles de dimensions différentes selon la phrase de l’invariance de la dimension.

Versets gauche et droite des morphismes [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Porter les quantités

${displaystyle a}$

et

${displaystyle b}$

Une structure mathématique supplémentaire et est

${DisplayStyle fcolon Arightarrow B}$

Une fonction injective ou surjective qui est compatible avec ces structures, la question se pose de savoir s’il est possible de choisir les versets gauche ou de droite de manière à ce qu’elle soit également compatible avec les structures.
Ce n’est pas le cas pour de nombreuses structures examinées en mathématiques.
Est

${displaystyle f}$

Cependant, une illustration linéaire injective ou surjective, les vers gauche ou la droite peuvent également être sélectionnés comme image linéaire.

• Fonctions dans quelle zone de définition et cible correspondent. Pour beaucoup
  ${displaystyle a}$

  Forme la quantité de fonctions de

  ${displaystyle a}$

  En soi avec la composition comme un lien, un monoïde. Les termes de l’invertabilité ainsi que les vers gauche et de droite, qui ont été introduits ici, puis correspondent aux termes correspondants de l’algèbre.

Dans ce cas, le concept de fonction inverse est identique au concept de l’élément inverse.

• En général, le concept d’invertabilité des fonctions est souvent omis, car il correspond au concept de bijectivité.

Il s’agit alors de la fonction vide qui est bijective et impliquée.

Est

${displaystyle a}$

déposer,

${displaystyle b}$

Mais pas, il y a exactement une fonction de

${displaystyle a}$

après

${displaystyle b}$

C’est aussi vide. Cette fonction n’est pas injective. Il n’a pas de vers gauche ou de droite car il n’y a pas de fonction

${displaystyle b}$

après

${displaystyle a}$

donne.

• Il existe différentes approches lors de l’introduction du concept de fonction en mathématiques. Le concept de surjectivité utilisé dans cet article nécessite que le volume cible fait partie de l’identité de la fonction. Si vous utilisez un concept de fonction différent, vous devez ajuster certaines des versions en conséquence.

• La plupart des déclarations de cet article s’appliquent également aux fonctions entre les classes.

1. ↑ Helmut Sieber et Leopold Huber: Termes et formules mathématiques pour le niveau secondaire I et II des écoles secondaires. Ernst Klett Verlag.