Multiprendel – Wikipedia

UN Multiprendre Est un pendule qui pendait d’autres pendules sur le bras. Un modèle de mouvement imprévisible est créé, qui varie considérablement même avec les troubles mineurs. Les processus chaotiques sont faciles à simuler, c’est pourquoi il est devenu un modèle populaire dans la théorie du chaos.

Le modèle du multiple

${displaystyle n}$

Le niveau -te est un système idéalisé d’un pendule en filetage, à son point de masse oscillant

${displaystyle n-1}$

Un pendule de threads identiques supplémentaires est lié. Les fils de connexion entre le point suspendu et les points de masse sont considérés comme des tiges complètement non épu et sans masse. L’ensemble du système est compris comme sans frottement.

Les équations de mouvement pour un multiple

${displaystyle n}$

-Te niveau peut être dérivé avec le deuxième type de formalisme de lagrange.

Coordonnées généralisées [ Modifier | Modifier le texte source ]]

En utilisant la trigonométrie que vous obtenez:

${displayStyle x_ {1} = l_ {1} sin varphi _ _ _ _ _$

${DisplayStyle y_ {1} = -l_ {1} cos varphi _ {1}}}$

${displayStyle x_ {2} = l_ {1} sin Varphi _ _ _ _ _$

${displayStyle y_ {2} = -l_ {1} cos varphi _ _ {1} -l_ {2} cos varphi _ {2}}$

…

${displayStyle x_ {n} = l_ {1} sin varphi _ _ _ _ _ _ _$

${displayStyle y_ {n} = -l_ {1} cos varphi _ _ {1} –…- l_ {n} cos varphi _ {n}}$

En conséquence, les coordonnées cartésiennes peuvent

${displayStyle (x_ {k} | y_ {k})}$

des points de masse

${displaystyle m_ {k}}$

pour

${displaystyle k}$

∈ {1, …,

${displaystyle n}$

} et leurs dérivations temporelles sont écrites sous la forme suivante:

${displayStyle x_ {k} = sum _ {i = 1} ^^ {k} l_ {i} sin varphi _ _ _ _ _$

${displayStyle {dot {x _ _ _ {k} = sum _ {i = 1} ^ {k} l_ {i {i {point {varphi _ _ _ _ _ _ _ _ _$

${affichestyle y_ {k} = -sum _ {i = 1} ^^ {k _ {i} cos varphi _ _ _ _ _$

${displayStyle {dot {y _ _ _ _ q q = sum _ {i = 1 ^ _ {k} l_ {i {i {i {i} sin varphi _}}} _ _ _ _ _ _ _$

Fonction Lagrange [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Énergie cinétique

${displayStyle t}$

et potentiel

${DisplayStyle V}$

résultat:

${displayStyle t (varphi _ _ {1}, …, varphi _ {n}, {dot {varphi} _ _ _ _ _ _ Q q q q q = 1 {2}} ({Dot {x {x}} _ _ {k} ^ {2} + {Dot {y}$

${displayStyle v (varphi _ _ {1}, …, varphi _ {n}) = gsum _ {k = 1} ^ {n _ {k} y_ {k}}}$

Ainsi, la fonction Lagrange est

${displayStyle L = T-V}$

:

${affichestyle l (varphi} m m _ {k} gauche [gauche (résumé _ {i = 1} ^ {k} l_ {i} {dot {dot {dot {varphi} _ _ _ _ cos varphi _ _ _ _ _ {dot {varphi}}} _ _ _ _ _ _$

Équations de mouvement [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Les équations de la multiprendula n -Le résultat niveau de

${displayStyle {d sur dt} {partial {l} sur partiel {{dot {varphi}} _ {j}}} – {partiel {l} sur Partial {varphi _ {j}}} = 0}$

ou.

${displayStyle {d sur dt} {partial {t} sur partiel {{dot {varphi}} _ {j}}} – {partial {} sur partiel {varphi _ {j}}} (T-V) = 0}$

pour

${displaystyle j}$

∈ {1, …,

${displaystyle n}$

}.

Les équations de mouvement pour les coordonnées généralisées (

${displayStyle {Varphi _ {1}}, …, {Varphi _ _ {n}}}$

) fournir un système non linéaire de

${displaystyle n}$

Équations différentielles du deuxième ordre, qui pour

${displaystyle n> 1}$

${DisplayStyle 2N}$

agence connue, par exemple les valeurs de départ

${DisplayStyle Left (varphi {1} (t = 0), …, varphi {varphi}} _ {varphi}}}.$

Peut être résolu à l’aide de procédures numériques. De petits angles peuvent être fabriqués pour simplifier les équations de mouvement.

Pour les étapes

${displaystyle n> 1}$

Pendule mathématique [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Pour

${displayStyle n = 1}$

Le cas simple des résultats du pendule mathématique.

Voici l’énergie cinétique

${displayStyle t}$

et potentiel

${DisplayStyle V}$

pour

${displayStyle t (varphi, {dot {varphi}}) = {frac {m} {2}} l ^ {2 {{dot {varphi}}} ^ {2}}$

${displayystile v (vari) = -mglcos vari}$

avec

${displayStyle m: = m_ {1}, l: = l_ {1}, varphi: = varphi _ _}}}$

.

En conséquence, l’équation du mouvement est:

${Déplasystle {dot {varphi}} + {frac {g} {l}} sin varphi = 0}$

Avec l’approche de petit angle

${Displaystyle sin varphi approx varphi}$

L’équation peut être simplifiée:

${Déplasystle {dot {varphi}} + {frac {g} {l}} varphi = 0}$

Une solution fonctionnelle à l’équation de mouvement est

${displayStyle Varphi (t) = Varphi (0) cos Left ({sqrt {frac {g} {l}}} t + alpha droit)}$

,

de sorte que dans les conditions de départ connues pour le paramètre

${displaystyle alpha}$

est applicable:

${displayStyle alpha = arcsin Left (- {frac {{dot {varphi}}} (0)} {varphi (0)}} {sqrt {frac {l} {g}}} droit)}$

Le pendule balance harmonieusement avec la période:

${displayStyle t = 2pi {sqrt {frac {l} {g}}}}$

Doppelpendel [ Modifier | Modifier le texte source ]]

L’affaire

${displayStyle n = 2}$

représente le double pendule.

Voici l’énergie cinétique

${displayStyle t}$

et potentiel

${DisplayStyle V}$

pour:

${displayStyle t (varphi _ _ _ _ _ _ {dot {varphi}} _ _ _ _ phi} _ _ {2} ^ {2} + 2l_ {1 1}} {2 {dot {Varphi}} _ _ _ _ _$

${displayStyle v (varphi _ _ {1}, varphi _ {2}) = – (m_ {1} + m_ {2}) gl_ {1} cos varphi _ _ _ _ _ _ _ _ _ q q q$

En conséquence, les équations de mouvement sont:

${displaystyle m_ {2 {2} l_ {2 {ddot {varphi _ _ {2} cos left (varphi _ _ {1} -Varphi _ {2} RIGT)+Left (m_ {1 {1 {1 {varphi}} _ _ _ _ _ _ ) GSIN VARPHI _ {1} = 0}$

et

${DisplayStyle l_} {ddot {varphi} _ {2} +2} + l_ {1} {ddot {ddot {varphi} _ {1} cos Left (varphi} -} -varphi {1 {1 {1 {1 {1 {dot) phi}} _ _ {1} -warphi _ {2} droit) + gsin varphi _ {2} = 0}$

Un exemple de double pendule est une cloche avec une dentelle.

Tripelpendel [ Modifier | Modifier le texte source ]]

L’affaire

${displayStyle n = 3}$

met ça Tripelpendel mais.

Il en résulte l’énergie cinétique

${displayStyle t}$

pour:

${affichestyle t (varphi _ _ _ _ _ _ _ frac {m_ {1} + m_ {2} + m_ {3}}} {2}} l_ {1} {2 {dot {dot {Varphi}} _ _ _ _ _ _ }} _ _ {2} ^ {2}}} {2 {2 {2}} l_ {3} ^ {2} {dot {varphi}}} _ _ _ Q q q q Q _} l_ {2} {dot {varphi} _ {1 {1 {dot {Varphi} _ {2} cos (varphi _ {1} -varphi _ _ _ _ _$

${displayStyle + m_ {3} l_ {1} l_ {3} {dot {varphi}} _ {1 {1 {dot {varphi}} _ DOT {Varphi}} _ _ _ _ _ _$

Pour le potentiel

${DisplayStyle V}$

est applicable:

${displayStyle v (varphi _ _ {1}, varphi _ {2}, varphi _ {3}) = (m_ {1} + m _} + m_ {3}) gl_ {1} {3}}}$

En conséquence, les équations de mouvement sont:

${Affichewystle m_ {3} l_ {3} {dot {varphi}} _ {3} cos (varphi _ {1} -varphi _ {3}) + (m_ {2} + m_ {3}) l_ {2} {dot {varphi} {1} – {2}) {1} + m_ {2} + m_ {3}) l_ {1} {dot {varphi}}} _ {1} + m_ {3} l_ {3} {dot}} _ {3} ^ {2} 1} -varphi _ {3})}$

${displayStyle + (m_ {2 {2} + m_ {3}) l_ {2 {2 {dot {varphi}} _ _ _ _ _ q q q q q q q q q q _ arphi _ {1} = 0}$

et

${Déplasystle m_ {3} l_ {3} {dot {varphi}} _ {3} cos (varphi _ {2} -varphi _ {3}) + (m_ {2} + m_ {3}) l_ {2} {dot {varphi}}}}} {} {1}) Varphi}} _ {1} cos (Varphi _ {1} -varphi _ {2}) – (m _} + m_ {3}) l_ {1} {dot}} _ {1} ^ {1} -varphi _ {2})}$

${displayStyle + m_ {3 {3 {3 {3 {dot {varphi _ _ {3} ^ {2}$

et

${DisplayStyle l_} {ddot {varphi} _ {3} +3} + l_ {2} {ddot {ddot {2 {2 {2} cos (varphi} {2} {2} {2} {3} {1}} {ddot _ {1} -varphi _ _ {3}) – l_ {2} {dot {dot {dot} {2 {2} {2 {2} {2} -} -} -} {2} {3} {3} {1 {dot)} _ _ {1} ^^ {2} sinci _ {3}) + gsin varphi _ {3} = 0}$

Simulation des trajectoires [ Modifier | Modifier le texte source ]]

• Georg Hamel: Mécanique théorique . Springer, Berlin 1967. Réimpression appropriée 1978, ISBN 3-540-03816-7
• Friedhelm Kuypers: Mécanique classique . 5e édition. VCH, Weinheim 1997, ISBN 3-527-29269-1
• LANDAU / LIFSCHITZ: Manuel de physique théorique. Volume 1: Mécanique . 14e édition. Allemand, Thun 1997, ISBN 3-8171-1326-9