Fonction des points clés – Wikipedia

Un Tribefonctionnement ou un intégral indéfini est une fonction mathématique qui est examinée dans le calcul différentiel, une sous-zone de l’analyse. Selon le contexte, il peut être nécessaire de distinguer ces deux termes (voir la section “Undement intégrale”).

Sous une fonction régulière d’une fonction réelle

${displayStyle fcolon dto mathbb {r}}$

Comprendre une fonction différenciable

${displayStyle fcolon dto mathbb {r},}$

Leur fonction de dérivation

${displaystyle f ‘}$

avec

${displaystyle f}$

allumettes. Avec ça

${displaystyle f}$

Fonction de la tige de

${displaystyle f}$

est, donc il doit s’appliquer:

Est correct

${displaystyle f ‘}$

Au moins sur beaucoup

${displayStyle msubseteq d}$

avec

${displaystyle f}$

Faites correspondre, cela signifie

${displaystyle f}$

Fonction de la tige de

${displaystyle f}$

sur

${displaystyle m}$

.

Chacun sur un intervalle

${displayStyle i}$

fonction constante

${displaystyle fcolon ito mathbb {r}}$

a une fonction régulière. Selon la clause principale du calcul différentiel et intégral

${displaystyle f}$

à savoir intégrable et le Fonction intégrale

${displayStyle xmapSto int _ {a} ^ {x} f (t), mathrm {d} t}$

Est une fonction régulière de

${displaystyle f}$

.

Est

${displaystyle f}$

À chaque intervalle compact

${displayStyle [a, b] subseseq i}$

Intégrable, mais pas régulièrement partout, puis il y a une fonction intégrale, mais elle a besoin dans les endroits où

${displaystyle f}$

Il n’est pas stable de ne pas être différencié, il n’est donc généralement pas une fonction régulière. Il est nécessaire pour l’existence d’une fonction régulière que la fonction remplit la valeur intermédiaire. Cela découle de la valeur intermédiaire des dérivations.

A une fonction

${displaystyle f}$

Une fonction régulière, il a même un nombre infini. Est-ce

${displaystyle f}$

Une fonction régulière de

${displaystyle f}$

C’est ainsi que pour n’importe quel nombre réel

${DisplayStyle C}$

Aussi le à travers

${displayStyle g (x) = f (x) + c}$

fonction définie

${displaystyle g}$

Une fonction régulière de

${displaystyle f}$

. Est la plage de définition de

${displaystyle f}$

De cette façon, vous obtenez un intervalle, toutes les fonctions principales: sont

${displaystyle f}$

et

${displaystyle g}$

Deux fonctions principales de

${displaystyle f}$

, aussi

${displaystyle g-f}$

constant.
Est la plage de définition de

${displaystyle f}$

Pas d’intervalle, la différence entre deux fonctions régulières de

${displaystyle f}$

Pas nécessairement constant, mais localement constant, c’est-à-dire constant dans chaque sous-ensemble cohérent de la zone de définition.

Le concept de l’intégrale indéfinie n’est pas utilisé uniformément dans la littérature spécialisée. D’une part, l’intégrale indéfinie devient

${displaystyle textstyle int f (x), mathrm {d} x}$

depuis

${displaystyle f}$

compris comme synonyme d’une fonction régulière. ^[d’abord] Le problème de cette définition est que l’affectation

${DisplayStyle FMAPSTO Style de texte int F (x), Mathrm {d} x}$

n’est pas clair car il n’est pas clair lequel du nombre infini de fonctions régulières la fonction

${displaystyle f}$

devrait être cartographié. Étant donné que la constante, autour de laquelle toutes les fonctions régulières diffèrent, n’a souvent pas d’importance, cette définition de l’intégrale indéfinie n’est pas très problématique.

Une autre façon de comprendre l’indéfinie intégralement est d’exprimer l’expression

${displaystyle textstyle int f (x), mathrm {d} x}$

comme l’intégralité de toutes les fonctions régulières. ^[2] Cette définition a l’avantage que l’intégrale indéfinie, analogue à l’intégrale spécifique, est une illustration linéaire, même si leurs valeurs sont des classes d’équivalence.

Une méthode légèrement moins courante pour définir l’indéfinie intégralement, c’est une fonction intégrale

${displayStyle xmapSto int _ {a} ^ {x} f (t), mathrm {d} t}$

comprendre. ^[3] En raison de la phrase principale du calcul différentiel et intégral, cette affectation est pour toute fonction constante

${displaystyle f}$

Une fonction régulière de

${displaystyle f}$

. Si cette définition est toujours étendue à Lebesgue intégrale sur toutes les dimensions, l’intégrale indéfinie n’est généralement plus une fonction régulière. ^[4]

Est

${displaystyle f}$

Un sur l’intervalle fermé

${displayStyle [a, b]}$

constable (ou général Riemann-intégrable ^[5] ) Fonction, donc à l’aide de n’importe quelle fonction principale

${displaystyle f}$

depuis

${displaystyle f}$

L’intégrale de

${displaystyle f}$

au-dessus de

${displayStyle [a, b]}$

calculer:

${displayStyle int _ {a} ^ {b} f (x), mathrm {d} x = f (b) -f (a).}$

Les fonctions STEM peuvent donc être utilisées pour divers calculs, par ex. B.

Il existe des règles simples pour la différenciation. En revanche, la situation est très différente en cas d’intégration indéfinie, car d’une part, le fonctionnement de l’intégration indéfinie conduit à une expansion de classes fonctionnelles spécifiées, par ex. B. L’intégration dans la classe des fonctions rationnelles n’est pas complète et conduit aux fonctions

${displaystyle ln}$

et

${displaystyle arctan}$

. La classe des fonctions élémentaires SO n’est pas non plus terminée. Joseph Liouville a donc prouvé que la fonction simple

${displayStyle f (x) = e ^ {- x ^ {2}}}$

n’a pas de fonction de tige élémentaire. Aussi la fonction élémentaire

${displayStyle f (x) = {tfrac {1} {ln x}}}$

n’a pas de fonction de tige élémentaire. En revanche est

${displayStyle textStyle int {tfrac {ln x} {x}}, mathrm {d} x = {tfrac {1} {2}} ln ^ {2} x}$

.

D’un autre côté, il n’y a pas de règle générale pour déterminer les fonctions régulières, c’est pourquoi les fonctions régulières sont tabulaires dans des planches intégrales si appelées. Les systèmes d’amande informatique (CAS) sont désormais en mesure de calculer presque toutes les intégrales qui ont été tabulaires. L’algorithme RISCH résout le problème de l’intégration algébrique des fonctions élémentaires et peut décider s’il existe une fonction principale élémentaire.

Le concept de fonction régulière peut également être formulé pour des fonctions complexes. Étant donné que la dérivation d’une fonction holomorphe est à nouveau Holomorph, seuls les holomorphes peuvent avoir des fonctions de tige. Holomorphie est déjà suffisamment localement:

${displayStyle dsubseteq mathbb {c}}$

une zone,

${displaystyle fcolon dto mathbb {c}}$

Une fonction holomorphe et

${displaystyle z_ {0} dans d}$

, alors il y a un environnement

${displaystyle u}$

depuis

${Déplastyle z_ {0}}$

dans

${displayStyle d}$

et une fonction régulière

${displaystyle fcolon uto mathbb {c}}$

depuis

${displaystyle f | u}$

, d. h.

${displayStyle f ‘(z) = f (z)}$

pour tous

${Displaystyle zin u}$

.

La question de l’existence de fonctions régulières à l’ensemble

${displayStyle d}$

se bloque avec les propriétés topologiques de

${displayStyle d}$

ensemble.

Pour une fonction holomorphe

${displaystyle fcolon dto mathbb {c}}$

avec

${displayStyle d}$

Les déclarations suivantes sont ouvertes et connectées:

1. La fonction
   ${displaystyle f}$

   A une fonction régulière

   ${displaystyle f}$

   partout

   ${displayStyle d}$

   , Cela signifie,

   ${displaystyle f}$

   Est holomorphe et

   ${displaystyle f}$

   Est la dérivation complexe de

   ${displaystyle f}$

   .

2. Way intégral sur
   ${displaystyle f}$

   ne dépendent que des points de terminaison du chemin.

3. Way intégral via des chemins fermés (point de départ = point final) fournissent toujours 0 en conséquence.

Pour une zone

${displayStyle dsubseteq mathbb {c}}$

sont équivalents:

1. Chaque fonction holomorphe
   ${displaystyle fcolon dto mathbb {c}}$

   A une fonction régulière

   ${displaystyle f}$

   .

2. Chaque chemin fermé constant
   ${DisplayStyle Gamma Colon [0,1] à D}$

   est un homotope zéro.

3. Chaque chemin fermé constant
   ${DisplayStyle Gamma Colon [0,1] à D}$

   Est homologue nul.

4. 
   ${displayStyle d}$

   est simplement cohérent.

1. ↑ Harro Heuser: Manuel d’analyse. Partie 1. 8e édition, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6, chap. 76.
2. ↑ Konrad Königsberger: Analyse 2. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8, S. 201
3. ↑ Otto Forster: Analyse Bande 1: Calcul différentiel et intégral d’une variable. Vieweg-Verlag, 7th Edition 2006, ISBN 3-528-67224-2, p. 201.
4. ↑ I. P. Natanson: Théorie des fonctions d’une variable réelle. Verlag Harry Deutscher Thun, 1981 Frankfurt Am Main, ISBN 3-87144-217-8, S.
5. ↑ Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: DTV Atlas pour les mathématiques. Volume 2, Deutscher Taschenbuch Verlag, Munich 1977, ISBN 3-423-03008-9, p. 333.