Déterminant fonctionnel – Wikipedia

Le Déterminant fonctionnel ou Détermination de jacobi est une taille mathématique qui joue un rôle dans le calcul intégral multidimensionnel, c’est-à-dire le calcul de la surface et du volume-intégral. En particulier, il est utilisé dans la formule de surface et le taux de transformation de cette transformation exceptionnelle.

Le déterminant fonctionnel fournit des informations importantes sur le comportement de la fonction à un moment donné

${displaystyle f}$

Près de ce point. Si, par exemple, le déterminant fonctionnel d’une fonction régulièrement différenciée en un point

${displaystyle p}$

est beaucoup zéro, la fonction est dans un environnement de

${displaystyle p}$

invertable. De plus, ce qui suit s’applique qu’avec des déterminants positifs

${displaystyle p}$

La fonction maintient son orientation et, avec un déterminant fonctionnel négatif, inverse l’orientation. La valeur absolue du déterminant dans le point

${displaystyle p}$

indique la valeur avec laquelle la fonction proche

${displaystyle p}$

élargi ou rétrécit.

Pour une fonction différenciable

${displayStyle fcolon mathbb {r} ^ {n} à mathbb {r} ^ {n}}$

Le déterminant fonctionnel est défini comme le déterminant de la matrice Jacobi de

${displaystyle f}$

, ainsi que

${DisplayStyle Det, df (x)}$

avec

${displayStyle df (x) = Left ({frac {partiel f_ {i}} {partiel x_ {j}}} (x) droit) _ {i, j = 1, dotsc, n}}$

.

Cette définition est suffisante pour la transformation des éléments de volume, une application importante en physique. La formule de surface de la théorie dimensionnelle et de l’intégration, en revanche, décrit également comment les intégrales sont transformées par des fonctions, qui représentent des pièces de différentes dimensions. Dans cette application est

${DisplayStyle DF}$

Plus de matrice carrée, de sorte que l’expression ci-dessus n’est plus définie. La définition suivante est ensuite utilisée:

Le déterminant fonctionnel généralisé d’une fonction

${displayStyle fcolon mathbb {r} ^ {n} à mathbb {r} ^ {m}}$

est défini comme

${displayStyle {Mathcal {j}}! f (x): = {sqrt {det Left (Left (df (x) droite) ^ {t} cdot df (x) droite)}}}$

Décrit

${displayStyle df (x) dans mathbb {r} ^ {mtimes n}}$

La matrice Jacobi et

${displayStyle (df (x)) ^ {t}}$

leur transposé. L’expression

${displayStyle det à gauche (gauche (df (x) à droite) ^ {t} cdot df (x) à droite)}$

devient Gramy déterminant de

${DisplayStyle DF}$

appelé.

Tant que l’image considérée n’est pas un auto-exploration, il est commun au préfixe généralisé omettre. Cependant, en cas d’auto-formation, cela peut entraîner des malentendus, car les deux définitions acceptent généralement différentes valeurs. Il s’applique oui

$m toves empient patine pine max exblex) quy em ¶Deagates hupplate hupate hupate hupate hupates$

Cependant, dans le contexte de la zone ou de la formule de transformation, la quantité est toujours utilisée de toute façon.

La quantité du déterminant fonctionnel peut être clairement interprétée comme un produit spadminant des vecteurs de base (locaux). Ces vecteurs de base sont des vecteurs tangents aux lignes de coordonnées et sont calculés à partir de la transformation des coordonnées par dérivation partielle selon les nouvelles coordonnées. Les composants d’un vecteur de base forment ainsi une colonne du déterminant fonctionnel. L’élément de volume du calcul intégral peut être déterminé avec le déterminant fonctionnel.

Pour les coordonnées sphériques, cela signifie:

${Affichestyle | enfant df | = ({thing {b}} _ {r}, {thing {b}} _ {theta}, {thing {b}} _ {varphi}) = r {2} sin (theta)}$

.

Facture détaillée: voir ci-dessous.

En intégration via des objets géométriques, il n’est souvent pas pratique d’intégrer via des coordonnées cartésiennes. En physique, l’intégrale peut être intégrée via un champ de potentiel symétrique radial, dont la valeur n’est qu’un rayon

${displaystyle r}$

dépend, calculez beaucoup plus facilement dans les coordonnées sphériques.

Pour ce faire, une transformation de coordonnées est utilisée

${displaystyle phi}$

à. Selon le taux de transformation, ce qui suit s’applique dans cet exemple:

${Displaystyle Int _ {omga} u ({vec {r {r}) DV = int _ {phi {PHI ^{-1} (Omega)} U (PHI (R, Thata, Varphi)) Dphi (R, Theta, Varphi) RIGHT | {d} r, mathrm {d} Theeta, mathrm {d} varphi}$

Dans ce qui suit, les factures de trois systèmes de coordonnées sont répertoriées:

Coordonnées polaires [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Les formules de conversion des coordonnées polaires dans les coordonnées cartésiennes sont:

${displayStyle x = rcos varphi}$

${displayStyle y = rsin varphi}$

Le déterminant fonctionnel est donc:

${displaystyle det {frac {partial (x,y)}{partial (r,varphi )}}=det {begin{pmatrix}{frac {partial x}{partial r}}&{frac {partial x}{partial varphi }}\{frac {partial y}{partial r}}&{frac {partial y}{partial varphi }}end{pmatrix}}=det {begin{pmatrix}cos varphi &-rsin varphi \sin varphi &rcos varphi end{pmatrix}}=rcdot (cos varphi )^{2}+rcdot (sin varphi )^{2}=r}$

En conséquence, l’élément de zone résulte

${displaystyle mathrm {d} a}$

:

${DisplaySyLayStyle Mathrm {d} a = Left | det {frc {partial (x, y)}} droit |, mathrm} r, mathrm {d} r, mathrm {d} varphi.}$

Coordonnées sphériques [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Les formules de conversion des coordonnées sphériques (

${Displaystyle r, thata, varphi}$

) dans les coordonnées cartésiennes:

${displaystyle x = rsin thêta cos varphi}$

,

${Afficheystle y = rsin theta sin varphi}$

et

${displayStyle z = rcos thêta quad}$

.

Le déterminant fonctionnel est donc:

$} Rcos theta sain varpi & rsin theta cos varphi \ cos theta & -rsin theta & 0nd {pmatrix}} = r ^^ {2} sin theta.}$

En conséquence, l’élément de volume résulte

${displayStyle Mathrm {d} v}$

:

${DisplaySylyllllLlle Mathrm {d} v = Left | DET {frac {d} r, mathrm {d} r, mathrm {d} varphi = r {2} sin theta, mathrm {d} r, mathrm {d} theta, mathrm {d} varphi.}$

Parfois, il est plus pratique de travailler avec la convention suivante:

${displayStyle x = rcos theta cos varphi}$

,

${displayStyle y = rcos theta sin varphi}$

et

${displaystyle z = rsin thêta quad}$

.

Le déterminant fonctionnel est donc:

$} Sin theta sin varphi & rcos theta cos varphi \ sin thêta & rcos theta & 0nd {Pmatrix} = -r ^ {2} cos theta.}$

Il y a donc un élément de volume

${displayStyle Mathrm {d} v}$

:

${DisplaySylyllllLlle Mathrm {d} v = Left | det {frac {d} r, mathrm {d} r, mathrm {d} varphi = r ^ {2} cos theta, mathrm {d} r, mathrm {d} theta, mathrm {d} varphi.}$

Coordonnées du cylindre [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Les formules de conversion des coordonnées du cylindre (

${DisplayStyle Rho}$

,

${displaystyle varphi}$

,

${displayStyle avec}$

) dans les coordonnées cartésiennes:

${displayStyle {begin {aligné} x & = rho cos varphi \ y & = rho sin varphi \ z & = z, .end {aligné}}}$

Le déterminant fonctionnel est donc:

${DisplayStyle give {frac {partial (x, y, z)} {partial (rho, varphi, z)} = give {Beginno {Pmatrix} et 0 \ if Valka & 0 & 1endatrix}} = rho.}$

En conséquence, l’élément de volume résulte

${displayStyle Mathrm {d} v}$

:

$Gens$

Vous auriez tout aussi bien pu choisir un ordre différent des coordonnées du cylindre. Le déterminant fonctionnel lit alors, par exemple:

${DisplayStyle give {frac {partial (x, y, z)} {partial (rho, z, vkogi)} = give {begin {pmatrix, cos varphi & 0 & z -rhi cos viflphi \ 0 & 1 & 0endnatrix}}} = – rhbo.}$

Cependant, seule la quantité de déterminant est incluse dans la loi de transformation, donc le résultat est alors indépendant de l’ordre choisi des variables, selon lequel est dérivé.

• Herbert Federer: Théorie des mesures géométriques . 1ère édition. Springer, Berlin 1996, ISBN 3-540-60656-4 (anglais, pour la définition).
• Wolfgang Nolting: Mécanique classique . Dans: Physique théorique du cours de base . 8. Édition. Groupe d’abord . Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-34832-8. (Pour les exemples et le cas spécial du
  ${displaystyle mathbb {r} ^ {3}}$

  )

• K. Endl, W. Luh: Analyse . Groupe d’abord . Academic Publishing Company, 1972, ISBN 3-400-00185-6.
• K. Endl, W. Luh: Analyse . Groupe 2 . Academic Publishing Company, 1973, ISBN 3-400-00206-2.