Quand fonction caractéristique Dans la théorie des probabilités, on se réfère à une fonction complexe spéciale qui est attribuée à une mesure finie ou à une mesure de probabilité sur les nombres réels ou la distribution d’une variable aléatoire. La mesure finie est clairement déterminée par sa fonction caractéristique et vice versa, donc l’affectation est bijective.
Un avantage significatif des fonctions caractéristiques est que beaucoup plus difficiles à atteindre les propriétés de la mesure finie peuvent être trouvés comme une propriété de la fonction caractéristique et sont plus facilement accessibles en tant que propriété d’une fonction. Par exemple, le repliement de la probabilité est réduit à la multiplication des fonctions caractéristiques correspondantes.
Il y a une mesure finie
sur
. Alors la fonction complexe est appelée
-
Défini par
-
La fonction caractéristique de
. Est
La définition suit une mesure de probabilité. Est particulièrement une variable aléatoire
avec distribution
donné, la fonction caractéristique est donnée par
-
Avec la valeur des attentes
.
Cela se traduit par d’importants cas spéciaux:
- A
une fonction de densité de probabilité (concernant l’intégrale de Riemann)
, donc la fonction caractéristique est donnée comme
-
-
.
- A
Une fonction de probabilité
, donc la fonction caractéristique est donnée comme
-
-
.
Dans les deux cas, la fonction caractéristique est le Fourier (stable ou discret) transformé la fonction de densité ou de probabilité.
Comme une fonction d’estimation de la fonction caractéristique sur un échantillon
sert la fonction caractéristique empirique:
-
Est
Poisson distribué, aussi
La fonction de probabilité
-
.
Avec la représentation répertoriée ci-dessus pour la fonction caractéristique en utilisant des fonctions de probabilité
-
Est
Exponentiel distribué au paramètre
, donc possède
La fonction de densité de probabilité
-
Il en résulte
-
D’autres exemples de fonctions caractéristiques sont tabulaires ci-dessous dans l’article ou sont situés directement dans l’article sur les distributions de probabilité correspondantes.
La fonction caractéristique d’une variable aléatoire qui est constamment distribuée à (−1,1). En général, cependant, les fonctions caractéristiques ne sont pas de qualité réelle.
existence [ Modifier | Modifier le texte source ]]
La fonction caractéristique existe pour toutes les dimensions finies et donc aussi les dimensions de probabilité ou les distributions de variables aléatoires, en raison de
-
L’intégrale existe toujours.
Limite [ Modifier | Modifier le texte source ]]
Chaque fonction caractéristique est toujours limitée, elle s’applique à une variable aléatoire
, ce
-
.
Dans le cas général d’une mesure finie
sur
est applicable
-
.
symétrie [ Modifier | Modifier le texte source ]]
La fonction caractéristique
est exactement réel lorsque la variable aléatoire
est symétrique.
De plus,
Toujours hermithèse, c’est-à-dire ça s’applique
-
.
Stabilité [ Modifier | Modifier le texte source ]]
-
est une fonction encore stable.
caractérisation [ Modifier | Modifier le texte source ]]
C’est particulièrement intéressant lorsqu’une fonction
La fonction caractéristique d’une probabilité est. Le fournit une condition suffisante Satz von (après George Pólya):
Est une fonction
-
et s’applique également
C’est donc la fonction caractéristique d’une mesure de probabilité.
La condition nécessaire et suffisante fournit Définir de Bochner (Selon Salomon Bochner):
Définir de Bochner [ Modifier | Modifier le texte source ]]
Une fonction constante
-
est alors la fonction caractéristique d’une mesure de probabilité
, si
Une fonction semi-fini positive est et
est applicable.
Transformation linéaire [ Modifier | Modifier le texte source ]]
-
pour tous
Réversibilité [ Modifier | Modifier le texte source ]]
Est
alors la densité de probabilité de
reconstruire comme
-
Génération momentanée [ Modifier | Modifier le texte source ]]
-
Pour tous les naturels
, chutes
.
À ce titre, la fonction caractéristique est similaire à la fonction de génération de moment.
En particulier, il y a des cas particuliers
-
-
Si pour un nombre naturel
La valeur des attentes
Enfin, alors c’est
-Minois constamment différenciés et convertis en une série de Taylor
développé:
-
Un cas spécial important est le développement d’une variable aléatoire
avec
et
:
-
Formule pliante pour la densité [ Modifier | Modifier le texte source ]]
Avec des variables aléatoires indépendantes
et
s’applique à la fonction caractéristique de la somme
-
Parce qu’à cause de l’indépendance
-
Fonction caractéristique des sommes aléatoires [ Modifier | Modifier le texte source ]]
Sont
répartis de manière indépendante des variables aléatoires et
un
– variable aléatoire, laquelle de toutes
est indépendant, la fonction caractéristique de la variable aléatoire peut être
-
En tant que chaîne de la fonction de génération de probabilité
depuis
et la fonction caractéristique de
représenter:
-
.
Ce qui suit s’applique clairement: si
,
Sont des variables aléatoires et
pour tous
s’applique, alors c’est
, d. h.
et
Avoir la même fonction de distribution. En conséquence, le repliement de certaines distributions peut être facilement déterminé.
La peine constitutionnelle de Lévy peut être conclue du taux de dégagement: si
Une séquence de variables aléatoires est alors
(Convergence dans la distribution) exactement quand
pour tous
est applicable. Cette propriété peut être exploitée dans les ensembles de valeur de bordure centrale.
distribution |
Fonction caractéristique
|
Distributions discrètes |
Distribution binomiale
|
|
Distribution de Poisson
|
|
Distribution binomiale négative
|
|
Distribution absolue |
Standard normalement distribué |
|
normalement distribué |
|
également distribué |
|
Cauchy standard distribué |
|
gamma distribué |
|
Définition des variables aléatoires multidimensionnelles [ Modifier | Modifier le texte source ]]
La fonction caractéristique peut être ouverte
-Didimensionnel de vrais vecteurs aléatoires
Se développer comme suit:
-
,
par lequel
le produit scalaire standard.
Définition des salles nucléaires [ Modifier | Modifier le texte source ]]
Le concept de fonction caractéristique existe également pour les salles nucléaires. La fonction
, défini dans l’espace nucléaire
, signifie la fonction caractéristique lorsque les propriétés suivantes s’appliquent:
est stable
est positif, c’est-à-dire H. pour chaque choix
est
-
est standardisé, d. H.
Dans ce cas, la phrase de Bochner-Minos indique que
Une mesure de probabilité sur le double espace topologique
induit.
Pour des dimensions aléatoires [ Modifier | Modifier le texte source ]]
La fonction caractéristique peut également être définie pour les dimensions aléatoires. Cependant, il est alors fonctionnel, donc ses arguments sont des fonctions. Est
une mesure aléatoire, la fonction caractéristique est donnée comme
-
pour toutes les fonctions limitées et mesurables en digne réelle
avec transporteur compact. Le niveau aléatoire est clairement déterminé par les valeurs de la fonction caractéristique sur toutes les fonctions stables positives avec des porteurs compacts. [d’abord]
En plus des fonctions caractéristiques, les fonctions génératrices de probabilité et les fonctions générateurs du moment jouent également un rôle important dans la théorie des probabilités.
La fonction générateurs de probabilité d’un
-Variable aléatoire
est défini comme
. En conséquence, la connexion s’applique
.
La fonction de génération de moment d’une variable aléatoire est définie comme
. En conséquence, la connexion s’applique
Si la fonction de génération de moment existe. Contrairement à la fonction caractéristique, ce n’est pas toujours le cas.
Il existe également la fonction générateurs de cumulants comme un logarithme de la fonction de génération de moment. Le concept de cumuling en est dérivé.
- ↑ Achim Klenke: Théorie des probabilités . 3. Édition. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 553 , est ce que je: 10 1007 / 978-3-642-36018-3 .
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