Corps rigide – Wikipedia

Le corps rigide est une présentation de modèle idéalisée dans la mécanique classique qui commence à partir d’un corps non reformable. Le corps peut avoir une distribution de masse continue ou un système de points de masse discrets (par exemple les atomes, molécules). La non-flexibilité signifie que deux points du corps ont toujours la même distance les uns des autres, quelles que soient les forces externes. Les déformations telles que la déviation, la compression, l’étirement ou les vibrations internes sont ainsi exclues.

Le Mécanique du corps rigide ou Stéréomécanique (depuis grec solide Stéréords , Allemand ‘Raide, dur, ferme’ ^[d’abord] ) traite du mouvement du corps rigide sous l’influence des forces extérieures. Une sous-zone importante est la statistique des corps rigides qui traitent des corps rigides au repos. En tant que mouvements, la mécanique des corps rigides n’apparaît que dans une direction et les mouvements de rotation du corps autour d’un axe.
Des formes de mouvement supplémentaires, telles que les vibrations des points de masse individuelles ou des déformations du corps, sont traitées dans la mécanique plus générale des corps solides avec les méthodes de mécanique du continuum, de théorie de l’élasticité, de théorie de la plasticité ou de la théorie de la résistance.

En réalité, il n’y a pas de corps rigides car chaque corps est déformé sous l’influence des forces. Cependant, les déformations sont souvent si faibles qu’elles peuvent être négligées pour les calculs et cette idéalisation est probat.

La présentation du modèle du corps rigide est tellement utilisée, en particulier dans les domaines de la statistique et de la cinématique de la mécanique technique, ainsi que de l’utilisation en robotique, la conception du châssis et des moteurs, voir le système multibodée et la simulation multi-corps. La théorie circulaire est la science de la rotation du corps rigide.

Typologie du corps rigide et des systèmes de plusieurs corps rigides [ Modifier | Modifier le texte source ]]

En mécanique technique, il existe de nombreuses variantes du corps rigide qui diffèrent par son expansion et son stress. Il y a aussi des corps rigides. ^{[2] [3] [4]}

Près d’un corps de dimension sont des poutres et du personnel. Avec eux, la longueur est nettement plus grande que la largeur ou la profondeur.

• Seules les forces de traction ou de pression attaquent sur une tige.
• Les forces et les moments locaux peuvent également attaquer sur une barre qui le plient ou le calculait.
• Les barres incurvées sont appelées arc.
• Si plusieurs tiges ou poutres sont composées d’une connexion qui est également rigide, vous obtenez un cadre. Parfois, les connexions articulées des poutres sont également appelées cadre.

Les corps fariles sont:

• Le volet dans lequel toutes les forces ou moments qui se produisent se trouvent au niveau se trouvent dans laquelle la fenêtre est située, par exemple un mur chargé par son propre poids.
• La plaque où les forces ou les moments attaquent à n’importe quel angle. Cela comprend un plafond chargé par le chargement et a une certaine portée, ou un mur lorsque les vents latéraux les chargent.
• Le bol qui n’est pas plat, mais incurvé. Un cas spécial est la membrane.

Si les corps rigides individuels sont connectés par des articulations ou des éléments de puissance, on parle d’un système de corps rigide.

• Les œuvres de couteau sont faites de plusieurs bars. Cela inclut en particulier le spécialiste des travaux.
• Plusieurs tranches entraînent une connexion à disque

Si un axe de rotation est déterminé, une rotation continue est due à la vitesse angulaire

${displayStyle {vec {omega}}}$

décrit. C’est un vecteur dans le sens de l’axe de rotation, par lequel sa quantité indique la vitesse à laquelle l’angle de rotation se développe. Chaque point du corps se déplace à la vitesse du train

${DisplayStyle {thing {v}} = {Thing {Omega}} Times {Thing {R}}}$

À une distance constante de l’axe de rotation sur un cercle perpendiculaire à l’axe de rotation. Y a-t-il

${displayStyle {vec {r}}}$

Le vecteur local du point dans un système de coordonnées, dont l’origine

${displayStyle {vec {r}} = 0}$

se trouve sur l’axe de rotation. En direction du vecteur

${displayStyle {vec {omega}}}$

Vu, la rotation a lieu dans le sens des aiguilles d’une montre (comme avec la règle de tire-bouchon).

Déroge: à une vitesse de rotation constante, le point passe dans le temps

${displayStyle t = {tfrac {2pi} {omega}}}$

un cercle avec la portée

${déplastyle s = 2pi, r_ {1} = 2pi, rsin (varthea)}$

Ainsi a la vitesse

${DisplayStyle v = s / t = Omega, rsin (vartheta)}$

. Ceci est égal au montant du vecteur

${DisplayStyle {thing {omega}} fois {thing {r}}}$

(Produit croisé), qui est également la direction de

${DisplayStyle {thing {v}}}$

correctement indiqué.
Cette considération s’applique également à tout autre vecteur, par ex. B. Pour les vecteurs de base

${displayStyle {hat {e}} ‘_ {i}}$

d’un système de coordonnées à l’épreuve du corps. Leur vitesse de changement est

${displayStyle {frac {mathrm {d} {hat {e}} ‘_ {i}} {mathrm {d} t}}, =, {vec {omega}} fois {hat {e}}’ {i}}}$

.

Plusieurs mouvements rotatifs avec différentes vitesses angulaires

${DisplayStyle {Thing {Omega}} _ {1}; {Thing {Omega}} _ {2} ,, ldots}$

sont équivalents à un seul mouvement rotatif avec la vitesse angulaire

${displayStyle {vec {omega}}}$

, qui est la somme vectorielle de toutes les vitesses angulaires individuelles:

${DisplayStyle {Thing {Omega}} = {Thing {Omega}} _ {1} + {Thing {Omega}} _ {2} + ldots}$

. Il n’y a donc qu’une rotation bien déterminée autour d’un axe bien déterminé à tout moment.

Un certain axe et un certain angle de rotation font également partie de chaque rotation finie. Plusieurs tours de finition effectués successivement sont équivalents à une seule rotation finie, dont l’axe, cependant, ne peut cependant pas être déterminé avec la quantité vectorielle des axes rotatifs individuels. L’état final dépend également de différents axes de différents essieux sur la séquence. Cependant, cela ne s’applique pas aux rotations infinitésimales, voir l’entrée pour la commutation de l’ajout de vitesses d’angle. Par conséquent, la vitesse d’angle a

${displayStyle {vec {omega}}}$

Le caractère vectoriel, qui est essentiel pour la simple description mathématique. De plus, toutes les particules d’un corps rigide étendu ont la même vitesse angulaire, voir là-bas.

Au lieu d’un axe de rotation et de l’angle de rotation, une rotation finie est souvent paramétrée par les trois angles de hibou. Ils sont l’angle de rotation de trois rotations autour des axes de coordonnées définies, qui sont effectuées dans l’ordre défini et entraînent ainsi la rotation considérée. Cette représentation est souvent mieux adaptée aux calculs concrets. Il peut être converti en affichage avec un axe vectoriel de rotation et l’angle de rotation ^[5] Cependant, les formules ont peu d’importance pratique. D’autres options de paramétrage pour les virages peuvent être trouvées dans le quaternion des entrées, la formule Rodrigues, la formule Euler-Rodrigues et le tenseur orthogonal.

Le mouvement du corps peut être démonté dans une traduction uniforme de toutes les particules du corps (et donc aussi le centre de gravité) et une rotation, voir l’image. La traduction est faite en déplaçant un point de référence

${displayStyle {vec {s}} (t)}$

décrit (bleu sur l’image) autour duquel tourne le corps rigide.

Dans l’espace à trois dimensions, le calcul de la vitesse mène

${DisplayStyle {thing {v}} ({thing {x}}, t)}$

Un pour le moment t localement

${displayStyle {vec {x}}}$

particules du corps rigide sur le Équation de la vitesse d’Eulersche :

${DisplayStyle {thing {v}} ({thing {x}}, t) = {dot {so}}} (t) + {omega}} (t)$

L’accélération se traduit:

${DisplayStyle {thing {a}} ({thing {x}}, t) = {ddot {thing {s}}} {t) + {dot {omega}}} (t) thing {omega}} (t) fois [{thing {x}} – {thing}$

Y a-t-il

${displayStyle {vec {omega}}}$

La vitesse angulaire,

${displayStyle {dot {vec {omega}}}}$

L’accélération d’angle du corps rigide et

${displayStyle {ddot {vec {s}}}}$

l’accélération du point de référence. L’argument

${displayStyle {vec {x}}}$

Le champ de vitesse et d’accélération est un point spatial et ne doit pas être confondu avec la particule qui est là.

La dérivation de ces équations de mouvement disponibles à Eulersch à Eulerser réussit dans la représentation lagrangale comme suit.

Peut être

${DisplayStyle {thing {x}} = {thing {chi}} (p, t)}$

La fonction que le point d’espace

${displayStyle {vec {x}}}$

indiqué qu’une particule P du corps rigide en ce moment t s’arrête. Pour une particule attachée P décrit

${displayStyle {vec {chi}} (p, t)}$

sa ligne de chemin de fer à travers la pièce. Peut être S Le point de référence, la ligne de chemin de fer avec

${DisplayStyle {thing {s}} (t) = {thing {chi}} (s, t)}$

donné est. La ligne de connexion de la particule P Au point de référence S conduit à une rotation qui avec une illustration orthogonale

${displaystyle mathbf {q}}$

(Tournez la matrice dans la salle des coordonnées

${displayStyle Mathbb {r} ^ {n}}$

Ou en fait le tenseur orthogonal dans la salle vectorielle euclidienne

${displayStyle Mathbb {v} ^ {n}}$

) peut être décrit:

${displayStyle {vec {chi}} (p, t) – {vec {chi}}}}} (s, t) = mathbf {q} (t) cdot [{vec {chi}}} (p, t_ {0}) – {vec {chi}} (s, t_ {0}) =: Vec { {r}} _ {sp},.$

Le vecteur

${displayStyle {vec {r}} _ {sp}}$

(brièvement sur la photo

${displayStyle {vec {r}}}$

Décrit) à un certain moment dans le temps

${displaystyle t_ {0}}$

Du point de référence S à la particule P . Point de temps

${displaystyle t_ {0}}$

est arbitrairement choisi mais ferme. Est en conséquence

${displayStyle mathbf {q} (t_ {0}) = mathbf {1}}$

Avec la matrice unitaire d’abord Et pour chaque matrice rotative s’applique également

${displayStyle Mathbf {qcdot q} ^ {top} = mathbf {q ^ {top} cdot q} = mathbf {1}}$

, où

${displayStyle (cdot) ^ {top}}$

la transposition marquée. La fonction de mouvement de la particule P ça lit:

${displayStyle {begin {aligned} {vec {chi}} (p, t) = & {vec {chi}} (s, t) + [{vec {chi}} (p, t) – {vec {chi}}} (s, t)] = {vec {s}}}} (t) + kbf { ?$

La vitesse de la particule résulte de la dérivation après le temps qui est noté en notation de Newton avec une surpplication:

${displayStyle {begin {aligned} {dot {vec {chi}}} (p, t) = & {dot {vec {s}}} (t) + {dot {mathbf {q}}}} (t) cdot {Vec {r}} _ {sp} =} {s}}} {Sp} =} {s}} _ {Sp} =}) Dot {mathbf {q}}}} (t) cdot mathbf {q} ^ {top} (t) cdot [{vec {chi}}} (p, t) – {vec {s}} (t)] \ = & {dot {vec {s}}} (t) + mathbf {omega} ” } (P, t) – {vec {s}} (t)] end {aligné}}}$

Le Matrice d’achat

${DisplayStyle Mathbf {Omega} (t): = {Dot {Mathbf {q}} (t) cdot mathbf {q} ^ {q} ^ {q} ^ {t)$

est parce que

${Affichestyle mathbf {omega + mega} ^ {top} = {dot {mathbf {q}}} cdot mathbf {q} ^ {q} cdot {dot {dot {dot {dost {q}}} ^ {mathrm {d}} {}}}} (mathrm {d}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}. } cdot mathbf {q} ^ {top}) = {mathrm {d}} {mathrm {d} t} t}} mathbf {1} mathbf {0} = mathbf {0}}$

Sympathique et a un double vecteur dans l’espace tridimensionnel

${displayStyle {vec {omega}}}$

Ce qui suit s’applique:

${DisplayStyle Mathbf {Omega} cdot {Thing {x {x}} = {Thing {Omega}} Times {x}} quad {Text {für alle}} quad {x}},.}}$

Avec ce double vecteur, qui représente la vitesse d’angle ici, le champ de vitesse dans les lagranges est présenté:

${DisplayStyle {dot {thing {chi}}}}} (p, t) = {dot {thing {s}}} (t) + mathbf {omega} (t) cdot [{thing {chi}}}}} (p, t) – {s)}}}}}}} (T) {Thing {s}} (t)],.}$

La vitesse de la particule P localement

${DisplayStyle {thing {x}} = {thing {chi}} (p, t)}$

est ainsi

${displayStyle {dot {vec {chi}}} (p, t)}$

Ce qui conduit à l’équation de la vitesse d’Eulersche dans la représentation d’Eulersch:

${DisplayStyle {thing {v}} ({thing {x}}, t) = {dot {so}}} (t) + mathbf {omega} (t) cdot [{thing {x}}}} – {thing}}}}}} (t) Times [{thing {x} .}$

La limite de temps du champ de vitesse dans la présentation de Lagrangescher se traduit par:

${DisplayStyle {begin {aligned} {ddot {vog {chi}}}}} (p, t) = & {ddon {vec {s)} (t) + {mathbf {omega}} (t) cdot [{Vec {c {ci {s}) (p, t) – t) + + p, t) + + mathb ) cdot [{dot {chi}}}} (p, t) – {dot {Devec {s}} (t)] \ = & {dondot {t) + {dot {omega {omega}} (t) cdot [{vec {chi {p,) (p,) (t)] Gens$

Ou en trois dimensions avec le double vecteur:

${DisplayStyle {ddot {thing {chi}}} (p, t) = {ddot {thing {s}}}} (t) + {dot {omega}}} (t) Times [{Thing {omega}}} (t) Times [{thing {chi}}}}) ,}$

L’accélération

${DisplayStyle {thing {a}} ({thing {x}}, t)}$

des Parikels P localement

${DisplayStyle {thing {x}} = {thing {chi}} (p, t)}$

est ainsi

${Déplasystle {dot {vec {chi}}} (p, t)}$

Ce qui peut être écrit dans la représentation d’Eulersch comme déjà spécifié ci-dessus:

${DisplayStyle {thing {a}} ({thing {x}}, t) = {ddot {thing {s}}} {t) + {dot {omega}}} (t) thing {omega}} (t) fois [{thing {x}} – {thing}$

Ici, la déclaration ci-dessus devient claire: l’argument

${displayStyle {vec {x}}}$

du champ de vitesse et d’accélération est un point spatial et non la particule P , qui est là.

Les degrés de liberté d’un n -La système partial constitue un soi-disant espace de configuration. Dans le cas de corps rigides, il s’agit de trois degrés de liberté en ce qui concerne la position et trois autres concernant l’orientation. En plus de divers systèmes de coordonnées locaux qui permettent une description de la position, les angles d’Euller offrent un moyen de décrire l’orientation, qui joue un rôle important, en particulier dans l’aérospatiale.

Pour la vue, un corps libre peut être utilisé comme un avion (aérobatique), qui a trois degrés de liberté d’un mouvement droit, car il peut se déplacer librement en dimensions de trois pièces. De plus, il y a trois autres degrés de liberté des rotations autour des axes rotatifs spatiaux (indépendants).

De toute évidence, toute restriction de la possibilité de mouvement réduit le nombre de degrés de liberté. Si, par exemple, un point de masse du corps rigide est fixe spatialement, l’origine du système de référence peut y être placée. Cela élimine les trois degrés de liberté de la traduction. Cela réduit le mouvement vers un pur changement d’orientation et il ne reste que trois degrés de liberté. Si un autre point est enregistré, le corps ne peut tourner que autour d’un axe de rotation résistant à l’espace et n’a donc qu’un degré de liberté, à savoir la rotation autour de cet axe. Si vous définissez enfin un troisième point du corps, qui n’est pas sur l’axe des deux premiers points, il perd également le dernier degré de liberté et est donc immobile. Toute autre fixation spatiale des points conduit désormais à une étermination statique si appelée statique, qui joue un rôle important dans la statistique.

Selon l’exigence du modèle, les distances constantes entre les particules s’appliquent.
Certaines conclusions peuvent désormais être tirées de l’ensemble de mise au point:

• Pour l’effet d’un système de forces externes sur un corps rigide, seule la force résultante est
  ${displayStyle {vec {f}}}$

  et le couple résultant

  ${DisplayStyle {thing {m}}}$

  décisif. Tous les systèmes de résistance avec le même résultat sont donc équivalents.

• L’inertie
  ${displaystyle mathbf {i}}$

  Un corps rigide est constant en ce qui concerne un système de mise au point résistant au corps.

Souvent, le modèle est également utilisé comme base pour d’autres idéalisations qui permettent d’introduire des taux de conservation ainsi appelés pour déterminer l’équation de mouvement:

Si un système terminé est supposé, il découle de l’ensemble de conservation des impulsions que l’impulsion vectorielle

${displayStyle {vec {p}}}$

du système concernant son objectif est constant:

${DisplayStyle {thing {p}} = m {dot {thing {s}}} (t) = {Thing {Mathrm {const.}}}}$

À partir du taux de préservation de l’impulsion rotative, il s’ensuit que l’impulsion de rotation globale vectorielle

${displayStyle {vec {l}}}$

du système concernant son objectif est constant:

${displayStyle {vec {l}} = mathbf {i} (t) cdot {vec {omega}} (t) = {vec {mathrm {const.}}}}$

Conception dans les deux formules

Dans les systèmes non conclus, le changement dans l’impulsion de la puissance externe et de la deuxième loi newtonienne s’applique:

${DisplayStyle {dot {thing {p}}} = m {ddot {thing {s}}} = {thing {f}}.}$

De plus, le changement dans l’impulsion rotative attaque également le moment résultant. En ce qui concerne l’objectif du corps ou un point de référence non-conforme, l’équation d’Eulersche s’applique:

${DisplayStyle {dot {l}}}} = {thing {omega}} fois mathbf {i} cdot {omega}} + mathf {i} cdot {dot {omega}}}$

Si un champ de puissance conservateur est utilisé, il découle de l’ensemble de conservation de l’énergie que l’énergie totale mécanique

${displaystyle e}$

est constant:

${displayStyle e = e_ {mathrm {trans}} (t) + e_ {mathrm {rot}} (t) + e_ {mathrm {pot}} (t) = mathrm {const.}}$

Faire référence à:

Une énergie de changement formelle qui serait encore ajoutée au cas des corps élastiques non rigoureux ne s’applique pas ici par définition.

La vitesse d’angle est indépendante de quel point est choisi comme point de référence du mouvement du corps rigide. Donc, si deux formulations différentes

${DisplayStyle {begin {alligned} {thing {v}} _ {1} ({thing {x}}}, t) = & {dot {so}}} _ {1} + {Omega}} _ {1} {1}.}}$

car le même mouvement est alors

${DisplayStyle {Thing {Omega}} _ {1} = {Thing {Omega} _ _ {2}}$

– au moins dans les corps non dimensionnels. Parce que la vitesse du premier point de référence peut être exprimée avec le deuxième champ de vitesse:

${DisplayStyle {dot {thing {s}} _ _ {1} = {thing {v}} _ {2} ({thing {s}} _ {1}, t) = {dot {s}}}}}} {1} – {Thing {s} _ _ {2})$

La comparaison des champs de vitesse montre:

${DisplayStyle {begin {alligned} {thing {v}} _ {1} ({thing {x}}}, t) = & {dot {so}}} _ {2} + {omega}} _ {2}}} _ _ {2}) + {}}}}} _ _ {2}) + {}}}}} _ _ {2}) + {}}}} _ Times ({Thing {x}} – {Thing {s} _ _ {1}) = {dot {s}}} Thing {s} _ _ {2}) = {Thing {v}} _ {2} ({Thing {x}}, t) \ droite {Thing {0} = {}} {s}} _ {1}) end {aligné}}}$

Avec différentes vitesses angulaires

${displayStyle {vec {omega}} _ {1,2}}$

Doit donc

${DisplayStyle ({Thing {x}} – {Thing {s} _ {1}) parallel ({Thing {Omega}} _ {1} – {Thing {Omega}} _ {2})}$

Pour tous les points

${displayStyle {vec {x}}}$

être dans le corps, ce qui ne peut être le cas que dans les corps unidimensionnels. Dans le cas de corps plats ou volumineux, les vitesses angulaires doivent correspondre:

${DisplayStyle {Thing {Omega}} _ {1} = {Thing {Omega} _ _ {2}}$

.

Le concept du corps rigide est incompatible avec les prédictions de la théorie de la relativité, car selon lui, tout le corps réagit toujours aux forces et aux couples en même temps, ce qui implique que ses effets se propagent dans le corps à une vitesse infinie, en particulier plus rapidement qu’avec la vitesse de lumière sous vide C. Dans le cas de corps réels, en revanche, les effets se propagent généralement avec la vitesse du son spécifique pour le corps, qui est bien en dessous de C.

1. ↑ DWDS- stéréo-Déclaration, grammaire, étymologie et bien plus encore m. Berlin-Brandenburg Academy of Sciences, consulté le 29 février 2020 .
2. ↑ Gross et al .: Mécanique technique , Springer, 11e édition, p. 117.
3. ↑ Mahnken: Mécanique technique , Springer, 2012, S. 224.
4. ↑ Dinkler: Fondamentaux de la statistique de la construction , Springer, 4e édition, pp. 15-18.
5. ↑ Albrecht Lindner: Turning des impulsions en mécanique quantique . Teubner étudie les livres, Stuttgart 1984, S. 77 .