Howor – wikipedia

UN Quantor ou Quantificateur , La ré-la-latisisation de l’expression “Quantifier” introduit par C. S. Peirce, ^[d’abord] est un opérateur de la logique de prédicat. En plus des jonctions, les signes quantiques de la logique de prédicat sont. COMMUNE À TOUS LES QUANTORS EST qu’ils lient les variables.

Les deux quanors les plus courants sont Exister (en langage naturel, par exemple, exprimé comme “au moins un”) et le Allquantor (En langue naturelle, par exemple comme “tous” ou “chacun / r / s”). D’autres types de quannors sont Nombre de quant Comme “un” ou “deux”, qui peut être retracée à l’existence ou à AllQuantor, et des quanors comme “certains”, “certains” ou “beaucoup”, qui ne sont pas utilisés dans la logique classique en raison de leur vague.

Orthographe et parler [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Le Quantor de moyens de subsistance est dû au signe ∃ (un “E” miroir horizontalement, principalement sans secteur) ou par le signe

${displaystyle bigvee}$

Montré, parfois (surtout dans les textes écrits à la machine) comme un “E” ordinaire qui cingle. L’AllQuantor est donné par le signe ∀ (un “A”, principalement installé) ou le signe

${displaystyle bigwedge}$

Ou simplement représenté par une variable définie entre parenthèses.

L’orthographe

${DisplayStyle existe}$

(pas l’existence Quantor lui-même) a conduit Giuseppe Peano en 1897 dans le premier volume de son Formulaire de mathématiques un; ^[2] Il a été réparti par son utilisation dans le Principia Mathematica, le travail de base de Russell et Whiteheads publié en 1910. L’orthographe

${displaystyle pour tout$

(Pas le Allquantor lui-même) a présenté Gerhard Gentzen en 1934. ^[3]

L’orthographe de l’AllQuantor dans la variante 1 est basée sur la logique et (si une instruction s’applique à tous les x, il s’applique à

${DisplayStyle x_ {1} {texte {” et ”}} x_ {2} {texte {” ‘et’ ‘}} Dots}$

), ainsi que l’orthographe de l’existence Quantor dans la variante 1 doit être logique ou basée (si un X s’applique à lequel l’instruction s’applique, l’instruction s’applique à

${displayStyle x_ {1} {text {” oder ”}} x_ {2} {text {” oder ”}} Dots}$

). À partir de cette analogie, vous pouvez recevoir les règles de négation d’une déclaration qui contient un quantitor tout ou existence en utilisant les lois de Morgans.

Certains auteurs comprennent une différence subtile entre l’orthographe

${DisplayStyle existe}$

,

${displaystyle pour tout$

Et la variante 1, qui, cependant, ne consiste qu’à le curry, c’est-à-dire non pas dans le résultat, mais dans l’ordre de la façon dont les quantiques affectent leurs arguments. Afin de faire l’unicité, les deux orthographes doivent donc être coupées différemment.

La quantité d’éléments X considérées est appelée «zone individuelle».

Conditions de vérité [ Modifier | Modifier le texte source ]]

La déclaration

${DisplayStyle existe xf (x)}$

Il est vrai s’il y a au moins un x qui a la propriété f. La déclaration est donc également vraie lorsque tous les X F sont et La quantité de base sur laquelle est quantifiée n’est pas vide. La déclaration

${displayStyle pour toute xf (x)}$

C’est vrai si tous les x F sont autrement faux.

Il semble évident de comprendre la quantité de moyens de subsistance comme une chaîne de disjonctions (“ou”) et l’Allquantor comme une chaîne de conjonctions (“et”). Si nous supposons que X peut supposer un nombre naturel en valeur, vous êtes essayé d’écrire:

${DisplayStyle existe xa (x) leftrightarrow a (0) lor a (1) lor a (2) lor points}$

${DisplayStyle pour toute xa (x) leftrightarrow a (0) terre a (1) terre a (2) points de terrain}$

La différence décisive est cependant que la variable du quantor peut potentiellement prendre un nombre infini de valeurs dans une grande surface infinie, tandis qu’une conjonction ou une disjonction ne peut jamais être infiniment longue. Par conséquent, lorsque l’exemple, vous devez vous aider avec des points (pour “etc.”) à la fin de la conjonction ou de la disjonction.

Exemples de formalisations [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Exemples de prédicats à un seul chiffre [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Si l’espace vide d’un prédicat unique est lié par un quantor, une instruction finie est déjà créée. Il n’y a donc que deux façons de convertir une note à un seul chiffre en une instruction en utilisant une quantification Quantor: All -quantification et les moyens de subsistance.

En utilisant l’exemple du prédicat à un seul indigit “_ est rose”, qui doit être formalisé ici comme “f (_)”:

Tous-Quantification

“Tout est rose” – “pour chaque” chose “c’est qu’il est rose” – “s’applique à chaque x: x est rose”.

${displayStyle pour toute xf (x)}$

Moyen de subsistance

“Quelque chose (au moins une” chose “) est rose” – “Il y a au moins une” chose “qui est rose” – “Il y a au moins un x, pour lequel: x est rose”.

${DisplayStyle existe xf (x)}$

Exemples de phrases complexes [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Lors de la formalisation des déclarations linguistiques, l’existence Quantor se combine naturellement avec le “et” (conjonction) et l’Allquantor avec le “if – alors” (implication du matériau)

Exister

Nous voulons formaliser la phrase:

Un homme fume.

Il est donc d’abord considéré comme:

Il y a quelqu’un qui est un homme et fume.

Ou – si, comme dans la formalisation, le coin de la connexion relative “quelqu’un … le” en utilisant une variable exprime:

Il y a au moins un X qui s’applique: X est un homme et X fume.

(Notez que “et”) puis formaliser comme suit:

${DisplayStyle existe x (m (x) land r (x))}$

,

Où m (x) signifie “x is man” et r (x) pour “x fumer”.

Allquantor

D’un autre côté, nous formalisons:

Tous les hommes fument.

Nous façonnons donc d’abord ceci par:

Ce qui suit s’applique à chaque “chose”: s’il s’agit d’un homme, il fume.

ou:

Ce qui suit s’applique à chaque x: si x est un homme, alors fume X.

(où nous utilisons le “if – alors”) puis formaliser:

${displayStyle pour toute x (m (x) rightarrow r (x))}$

Non-existence

Le langage naturel “non” peut être formalisé de différentes manières:

Aucun homme ne fume.

peut être décrit comme:

Il n’est pas vrai qu’il y a au moins une “chose” qui est un homme et qui fume.

ou:

Il n’est pas vrai qu’il y a au moins un X qui s’applique: X est un homme et X fume.

Ce que vous pouvez formaliser comme suit:

${DisplayStyle lnot existe x (m (x) land r (x))}$

Une formalisation différente peut être réalisée si vous comprenez l’énoncé “aucun homme ne fume” que “pour tout x: si x est un homme, x ne fume pas”.

Exemples de formules d’ensemble de quantitor [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Formules définies simplement quantifiées [ Modifier | Modifier le texte source ]]

${displayStyle pour toute x (s (x) rightarrow r (x))}$

Ce qui suit s’applique à toutes les choses X: Si le prédicat s s’applique à X, la notation R s’applique également à X. Ou: Tous sont R.

${displayStyle pour toute x (s (x) rightarrow lnot r (x))}$

Ce qui suit s’applique à toutes les choses X: Si le prédicat s s’applique à x, le prédicat R ne s’applique pas à X. Ou: Tous ne sont pas R. Ou: Non s est un R.

${DisplayStyle existe x (s (x) centre r (x))}$

Il y a (au moins) une chose x, ce qui suit s’applique: le prédicat s s’applique à x et le prédicat R s’applique à X. Ou: Certains sont R.

${DisplayStyle existe x (s (x) wedge lnot r (x))}$

Il y a (au moins) une chose x, ce qui suit s’applique: le prédicat s s’applique à x et le prédicat R ne s’applique pas à X. Ou: Certains ne sont pas R.

${displayStyle pour toute x (s (x) centre r (x))}$

Ce qui suit s’applique à tout ce qui concerne X: le prédicat s s’applique à x et le prédicat R s’applique à X. Ou: Tout est S et R.

${DisplayStyle existe x (s (x) rightarrow r (x))}$

Il y a (au moins) une chose X qui s’applique: si le prédicat s s’applique à x, le prédicat R s’applique à X. Ou: Tous les x ne sont pas S et non R.

${displayStyle pour toute x ({mattit {schwein}} (x) rightarrow {matt {rosa}} (x))}$

Tous les porcs sont roses (littéralement: pour tout s’applique: s’il s’agit d’un cochon, il est aussi rose.)

${displayStyle pour toute x ({matt {schwein}} (x) rightarrow lnot {matt {rosa}} (x))}$

Aucun cochon n’est rose (littéralement: pour tout s’applique: s’il s’agit d’un cochon, il n’est pas rose.)

${DisplayStyle existe x ({Mathit {schwein}} (x) wedge {matt {rosa}} (x))}$

Il y a au moins un cochon rose (littéralement: il y a au moins une chose qui est à la fois le cochon et le rose.)

${DisplayStyle existe x ({Mathit {schwein}} (x) wedge lnot {matt {rosa}} (x))}$

Il y a au moins un cochon non-pink (littéralement: il y a au moins une chose qui est à la fois le cochon et le non-pink)

${displayStyle pour toute x ({Mathit {schwein}} (x) wedge {matt {rosa}} (x))}$

Tout est un cochon rose (littéralement: pour tout ce qu’il s’applique, c’est à la fois un cochon et un rose).

${DisplayStyle existe x ({Mathit {Schwein}} (x) Rightarrow {Mathit {Rosa}} (x))}$

Cette déclaration rarement utilisée, dont la traduction littérale “il y a au moins une chose qui est un cochon, est également rose” est la conclusion que toutes choses ne sont pas des porcs non pink.

Plusieurs formules définies quantifiées [ Modifier | Modifier le texte source ]]

${DisplayStyle existe des xexistes y {matt {liebt}} (x, y)}$

${DisplayStyle existe des yexistes x {matt {liebt}} (x, y)}$

Les deux déclarations “au moins un en aime au moins une” et “au moins une est aimée par au moins un / m” sont synonymes.

$encore$

${DisplayStyle pour toute yforal x {matt {loves}} (x, y)}$

Les deux déclarations “Tout le monde aime tout le monde” et “tout le monde est aimé de tout le monde” sont synonymes.

$encore$

Il y a quelqu’un qui aime tout le monde (littéralement: il y a une chose, donc cela s’applique à tout ce que le premier aime le second); Rendre: quelqu’un aime tout le monde.

${DisplayStyle existe yforal x {matt {Loves}} (x, y)}$

Il y a quelqu’un qui est aimé de tout le monde (littéralement: il y a une chose, de sorte que pour toutes choses s’applique que ce dernier aime le premier); Rendre: quelqu’un est aimé de tout le monde (c’est-à-dire que tout le monde les aime ou les mêmes).

${DisplayStyle pour les xixistes yexistes y {matt {loves}} (x, y)}$

Il y a quelqu’un pour tout le monde, donc le premier aime le second (littéralement: il y a une chose pour tout, donc le premier aime le second), plus court: tout le monde aime n’importe qui (c’est-à-dire que tout le monde aime, mais tout le monde ne doit pas l’aimer / n).

${DisplayStyle pour tous les yexistes x {matt {liebt}} (x, y)}$

Pour tout le monde, il y a quelqu’un qui l’aime ou elle (littéralement: il y a une chose pour tout pour que ce dernier aime le premier); Perdu: personne n’est mal aimé.

Exemples complexes [ Modifier | Modifier le texte source ]]

${DisplayStyle existe x (f (x) cale pour toute y (f (y) rightarrow x = y))}$

“Il y en a exactement un F”, littéralement: “Il y a au moins une” chose “qui est F et pour laquelle tous les” autres “F y sont identiques.”

${DisplayStyle existe xf (x) cale pour toute xforall y ((f (x) centre f (y)) rightarrow x = y)}$

Un synonyme de la phrase susmentionnée, littéralement: “Il y a au moins un F, et pour toutes les« choses »x et toutes les« choses », y s’applique: si X et Y F sont tous les deux, alors X et Y sont identiques.”

Définition mutuelle des quantités [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Dans la logique classique, chacun des deux quantités peut être exprimé par l’autre:

1. Mourir allaud
   ${displayStyle pour alvarphi (x)}$

   («Tous sont x

   ${displaystyle varphi}$

   «) Est équivalent à une déclaration d’existence refusée,

   ${DisplayStyle lnot existe xlnot varphi (x)}$

   (“Il n’y a pas de x, pas ça

   ${displaystyle varphi}$

   est”); Y a-t-il

   ${displayStyle Varphi (x)}$

   Une déclaration dans laquelle la variable X peut être trouvée librement, mais n’a pas à le faire.

2. La déclaration d’existence
   ${DisplayStyle existe xvarphi (x)}$

   («Au moins un x est

   ${displaystyle varphi}$

   «) Est équivalent à une explication refusée,

   ${displaystyle lnot pour tout xlnot varphi (x)}$

   («Ce n’est pas le cas que tout x

   ${displaystyle varphi}$

   sont”).

Sur la base des équivalents ci-dessus, vous pouvez l’utiliser pour utiliser un seul des deux quantités comme signe de base dans un langage formel pour la logique de prédicat classique et pour définir l’autre quantor si nécessaire.

Exemple de (1)

Si tout est éphémère, rien n’est impérissable. Inversement: il n’y a rien d’impérissable, donc tout est éphémère.

Exemple de (2)

S’il y a quelque chose de vert, toutes choses ne sont pas vertes. Inversement: sinon toutes choses ne sont pas vertes, il doit y avoir quelque chose de vert.

Quannors modernes et syllogistique aristotélicienne [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Lors de la formation d’une explication all, il convient de noter que, selon la signification de AllQuantor et de l’implication, une déclaration “pour tous les x: si a (x), alors b (x)” est déjà vrai s’il n’y a pas de A. En conséquence, la déclaration est donc, par exemple:

Tous les cercles carrés sont dorés.

Vrai parce qu’il n’y a pas de cercles carrés.

En conséquence, certaines conclusions de la syllogistique aristotélicienne ne sont pas valables s’ils identifient toutes leurs déclarations avec les quannors modernes.

À titre d’exemple, le SO-calé Indigènes du modus Liste:

Tous les Munich sont la Bavière (encoche formelle avec quantum:

${displayStyle pour toute x (m (x) rightarrow b (x))}$

)

Tous les Schwabinger sont Munich (formellement:

${displayStyle pour toute x (s (x) rightarrow m (x))}$

) ça suit:

Certains Schwabinger sont la Bavière. (officiellement:

${DisplayStyle existe x (s (x) terre b (x))}$

)

Selon Modern Views, les locaux seraient tous deux vrais s’il n’y avait pas de Schwabinger et Munich. Ensuite, la conséquence serait erronée: comme il n’y avait pas de Schwabinger, il ne pouvait pas y avoir de Schwabinger Bavaria. Les locaux pourraient donc être vrais et la conséquence est toujours erronée, c’est-à-dire C’était, ce n’était pas une conclusion valable. Aristote a probablement toujours l’existence de comme dans une déclaration “tous a sont b”, de sorte que la traduction simple

${displayStyle pour toute x (m (x) rightarrow b (x))}$

Ses intentions ne rendent pas justice. Qui est l’interprétation et la traduction adéquates des lions syllogistes, fait toujours l’objet de la recherche; Le syllogisme de l’article fournit des informations et des références.

Cependant, le SO-called est également valable pour la traduction simple comme une implication all-qualifiée Modus Barbar un , suivi des locaux ci-dessus:

Tous les Schwabinger sont la Bavière (formellement:

${displayStyle pour toute x (s (x) rightarrow b (x))}$

).

Cette déclaration suit parce que, selon une vision moderne, il serait vrai s’il n’y avait pas de Schwabinger du tout.

En plus de toute l’existence et de l’existence, la logique Nombre de quant nécessaire. Il peut donc être exprimé qu’il ” Exactement un”, ” Exactement Deux «, … il y a des choses que quelque chose s’applique.

Contrairement à l’existence Quantor, qui dit qu’au moins un

${displaystyle x}$

donne à quoi quelque chose s’applique, cela signifie Quantum de clarté ou Secteur que c’est exactement un

${displaystyle x}$

donne (pas plus et pas moins). Pour lui tu écris

${DisplayStyle existe! x}$

ou

${DisplayStyle Text Style Bigvee _ {x} ^ {Bullet}}$

. Vous pouvez définir ce quart de médiation du quantitor tout et existence et le signe d’identité “=” comme suit:

${DisplayStyle existe! xb (x) = existe x {bigl (} b (x) Land pour toute y (b (y) rightarrow y = x) {bigr)}}$

,

dans les mots:

«Il y en a exactement un

${displaystyle x}$

, pour le

${displayStyle b (x)}$

s’applique équivalent au fait qu’un

${displaystyle x}$

a existé pour ça

${displayStyle b (x)}$

s’applique et pour tout le monde

${displaystyle y}$

s’applique: si

${displayStyle b (y)}$

s’applique, alors c’est

${displaystyle y}$

identique à

${displaystyle x}$

. ”

En général, analogue au seul quantum pour

${Displaystyle nin mathbb {n}}$

Aussi quantiques

${DisplayStyle existe ^ {= n} x}$

(ou.

${DisplayStyle Text Style Bigvee _ {x} ^ {n}}$

) Définissez qu’il dit exactement

${displaystyle n}$

différent

${displaystyle x}$

donne. En particulier

${DisplayStyle existe ^ {= 1} x}$

équivalent à

${DisplayStyle existe! x}$

.

${displayStyle existe ^ {= 0} x}$

on définit en conséquence comme

${displaystyle lnot existe x}$

Qu’est-ce que parfois le quantor

${DisplayStyle Nexist}$

Il est utilisé: «Il n’y a personne

${displaystyle x}$

avec …”

D’autres quanors, comme «la plupart

${displaystyle x}$

«Sont rarement traités en logique. Un domaine d’application pour ces quantités est la sémantique des langues naturelles.

1. ↑ “Quantor”, dans: Historical Dictionary of Philosophy, Volume 7, page 1830.
2. ↑ Florian Cajori: Une histoire de notations mathématiques. Volume II: Notations principalement en mathématiques plus élevées . Open Court, Chicago 1929, réimprimé en tant que groupe à Dover, ISBN 0-486-67766-4.
3. ↑ Nous sommes: Enquête sur la fermeture logique . Dans: Mathematical Magazine 39, 1934, 176–210.