Ensemble d’Euler – Wikipedia

Le Défini à partir d’Euler , même si Ensemble à partir d’Euler-Fermat Nommé d’après Leonhard Euler et Pierre de Fermat, met une généralisation de la petite phrase en ferry sur tous les modules (pas nécessairement privilégiés)

${Displaystyle nin mathbb {n}}$

mais.

La phrase d’Euler est: pour tout le monde

${Displaystyle a, nin mathbb {n}}}$

avec

${displayStyle operatorname {ggt} (a, n) = 1}$

est applicable

${displayStyle a ^ {varphi (n)} equiv 1 {pmod {n}}$

.

Y a-t-il

${displayStyle operatorname {ggt}}$

Le plus grand diviseur partagé des deux nombres naturels

${displaystyle a}$

et

${displaystyle n}$

, et

${displayStyle Varphi (n)}$

la fonction Eulersche φ, à savoir le nombre de

${displaystyle n}$

modulo restes non divorce

${displaystyle n}$

.

Pour les modules de premier ordre

${displaystyle p}$

est applicable

${DisplayStyle varphi (p) = p-1}$

, Donc pour vous, la phrase d’Euler passe dans la petite phrase de Fermat.

La phrase d’Euler sert à réduire le modulo exposant important

${displaystyle n}$

. À partir de celui-ci pour des nombres entiers

${displaystyle k}$

, ce

${displaystyle a ^ {x} équiv a ^ {x + kcdot varphi (n)} {pmod {n}}}$

. Il trouve une utilisation pratique à ce titre dans la cryptographie assistée par ordinateur, par exemple dans le processus de cryptage RSA.

Exemple [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Quel est le dernier numéro dans le système décimal de 7 ²²² , alors quel chiffre décimal est 7 ²²² Modulo congruent 10?

Nous remarquons d’abord que Ggt (7.10) = 1 et que φ (10) = 4. Ainsi, la phrase d’Euler livre

${displayStyle 7 ^ {4} équiv 1 {pmod {10}}}$

Et nous obtenons

${affichestyle 7 ^ {222} = 7 ^ {4cdot 55 + 2} = (7 ^ {4}) ^ {55} CDOT 7 ^ {2} équiv 1 ^ {55} CDOT 7 ^ {2} {PMOD {10}} Equiv 49 {pmod {10}} equiv 9 {pmod}}} {pmod {10}} Equiv 9 {pmod}}} {pmod {10}} Equiv 9 {pMod}}} {pmod {10}} Equiv 9 {pmod}}} {pmod {10}} Equiv 9 {pMod}$

.

En général:

${displayStyle a ^ {b} equiv a ^ {b {bMod {varphi}}} (n)} {pmod {n}} qquad a, b, nin mathbb {n} wedge operatorname {ggt} (a, n) = 1}$

Peut être

${displayStyle (mathbb {z} / nmathbb {z}) ^ {Times} = {r_ {1}, dots, r_ {varphi (n)}}}$

La quantité de modulo multiplicatif

${displaystyle n}$

Éléments invertibles. Pour chaque

${displaystyle a}$

avec

${displayStyle operatorname {ggt} (a, n) = 1}$

Est alors

${affichage xmapsto ax}$

Une permutation de

${displayStyle (mathbb {z} / nmathbb {z}) ^ {Times}}$

, parce que

${displaystyle axequiv ay {pmod {n}}}$

suit

${displaystyle xequiv y {pmod {n}}}$

.

Parce que la multiplication est commutative, suit

${displayStyle r_ {1} CDots r_ {Varphi (n)} equiv (ar_ {1}) cdots (ar_ {varphi (n)}) eqiv r_ {1} cdots r_ {varphi (n)} a ^ {Varphi (n)}}}$

,

Et là le

${displayStyle r_ {i}}$

sont invertibles pour tout le monde

${displayStyle i}$

, est applicable

${DisplayStyle 1equiv a ^ {varphi (n)} {pmod {n}}}$

.

La phrase d’Euler est une conclusion directe de la phrase de Lagrange de la théorie du groupe: dans chaque groupe

${displaystyle g}$

commande finie

${displaystyle m}$

est le

${displaystyle m}$

-Te La puissance de chaque élément est l’élément réel. Voici

${displayStyle g = {1leq aleq nmid opératorname {ggt} (a, n) = 1} = (mathbb {z} / nmathbb {z}) ^ {Times}}$

aussi

${displayStyle | g | = varphi (n)}$

, par lequel le fonctionnement de

${displaystyle g}$

Modulo de multiplication

${displaystyle n}$

est.