Le Première forme fondamentale ou formulaire métrique de base est une fonction de la théorie des zones dans la zone euclidienne à trois dimensions, une sous-zone de géométrie différentielle classique en mathématiques. La première forme fondamentale permet le traitement des tâches suivantes:
- Calcul de la longueur d’une courbe sur la zone donnée
- Calcul de l’angle sous lequel deux courbes coupées sur la zone donnée
- Calcul de la zone d’une zone de zone de la zone donnée
De plus, les coefficients de la première forme fondamentale et leurs dérivations partielles peuvent être déterminés par la courbure de Gaussche (formule de Brioschi) et les symboles de Christoffels du deuxième type.
Les propriétés d’une zone qui peut être examinée à l’aide du premier formulaire Foundal est sous la désignation géométrie intérieure ensemble.
Une zone passe par un sous-ensemble ouvert
Illustration définie
-
donné, ainsi à travers
et
paramétré. Pour les valeurs des paramètres
et
Le certain point de la zone est le Coefficients de la première forme fondamentale défini comme suit:
-
-
-
Les vecteurs sont
-
Les premières dérivations partielles selon les paramètres
ou.
.
Les points de peinture indiquent le produit scalaire des vecteurs.
Pour le simplifier, les arguments sont souvent omis et n’écrit que
,
et
pour les coefficients.
La première forme fondamentale est alors la forme carrée
-
,
Parfois, l’orthographe avec des écarts est également utilisée:
-
Une autre orthographe (plus moderne) est:
-
Vous définissez
et
Alors s’applique
-
pour
.
Le paiement
sont les coefficients des co -variants
tenseurs métriques.
Donc cela a la présentation de la matrice
-
.
Souvent, ce tenseur, c’est-à-dire la forme bilinéaire montrée par cette matrice, est également appelée première forme formelle
Ce qui suit s’applique aux coefficients de la première forme fondamentale:
-
.
Y a-t-il
le Discriminant (c’est-à-dire le déterminant de la matrice de représentation) de la première forme fondée.
S’applique également
et
Linéaire sont indépendants.
Une zone avec une première forme fondale définie positive signifie différentiel géométriquement régulier ou Différentiel géométriquement régulier paramétré .
Une courbe sur la zone donnée peut être exprimée par deux fonctions réelles
et
: Chaque valeur possible du paramètre
Le point situé à la surface
attribué. Est-ce que tout le monde est impliqué
Fonctions constamment différenciées, donc la longueur du
courbe définie:
-
À l’aide de l’élément de chemin
exprimé:
-
Le contenu d’une plage de paramètres
L’espace étant donné peut être calculé par
-
.
La surface d’une balle avec rayon
peut être paramétré dans les coordonnées sphériques
-
.
Pour les coefficients de la première forme fondamentale, il y a:
-
-
-
La première forme fondamentale est donc
-
.
La zone est-elle à l’étude du graphique d’une fonction
au-dessus de la zone des paramètres
, aussi
pour tous
Alors s’applique: [d’abord]
-
Et ainsi
-
et
-
.
Décrire ici
et
Les dérivations partielles de
après
ou.
.
- ↑ A. Hartmann: Zones, courbure de Gauss, première et deuxième forme fondamentale, théorème égqueur. (PDF) 12. avril 2011, Consulté le 29 septembre 2016 . Page 6, preuve de phrase 3.4.
- Manfredo Perdigão do carmo: Géométrie différentielle des courbes et des surfaces. Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7.
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