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Quand Sur-détermination Dans les sous-domaines des mathématiques et leurs applications, le problème est généralement décrit qu’un système est décrit par plus d’équations comme des inconnus. En général, les restrictions sur le système peuvent également être spécifiées sous forme d’inégalités et autres. Il y a donc plus d’informations que nécessaire pour déterminer les paramètres dans une description du modèle du système.

Les informations supplémentaires, éventuellement contradictoires, peuvent servir à diverses fins:

• Pour contrôler le système, par exemple lors de la combinaison de plusieurs opérations ou lorsqu’il existe différentes méthodes de traitement,
• Pour augmenter la précision, car chaque observation supplémentaire peut réduire l’effet de petits écarts de mesure inévitables,
• pour les déclarations sur la certitude et la fiabilité d’un système.

Les équations ou mesures supplémentaires conduisent souvent à des contradictions dans le système, ^[d’abord] qui conviennent souvent.

En géodésie, la présence ou la mesure de tailles supplémentaires, en particulier les tailles géométriques telles que les instructions ou les itinéraires, qui vont au-delà de la détermination nécessaire d’un modèle, est appelée «renversement». L’exemple le plus simple est la mesure d’un troisième angle dans le triangle, qui devrait compléter les deux à 180 °. Les cas plus complexes sont des corps géométriques ou des réseaux de mesure dans lesquels il existe des mesures ou des données en excès. Un exemple quotidien actuel est les systèmes de navigation: avec trois satellites de navigation réceptrice, la longueur géographique et la latitude peuvent être calculées directement, avec quatre satellites, la hauteur au-dessus du niveau de la mer, mais avec encore plus de satellites, le système est surestimé.

Dans de nombreux cas, les outils mathématiques pour le traitement correct de la surdétermination excessive sont le calcul de la compensation et l’analyse de variance. Ils sont basés sur la distribution statistique des influences imperceptibles (voir la distribution normale) et minimisent les contradictions entre les mesures excessives ou les informations en utilisant la méthode des plus petits carrés. En conséquence, vous obtenez les valeurs les plus probables des résidus inconnus et appelés SO (écarts résiduels) entre les valeurs finales et les variables de détermination individuelles. À partir de ces résidus, les partages d’erreur efficaces individuellement peuvent être compensées et utilisées pour le raffinement du modèle mathématique-physique.

Ont généralement systèmes excessifs Aucune solution exacte. Pour Systèmes excessifs d’équations linéaires Si alternativement, un problème de compensation linéaire approprié est résolu à la place du système d’origine, avec lequel un Vecteur de solution est déterminé qui rend l’erreur aussi petite que possible. Pour Systèmes excessifs d’équations non linéaires est souvent le So-Salled Méthode Gauss-Newton utilisé. ^{[2] [3] [4] [5]}

Le terme est également utilisé pour les systèmes d’équations différentielles. ^[6] Par exemple, les dérivations partielles d’une fonction sont en deux dimensions

À travers deux fonctions différentes

donné (qui sont régulièrement dans une zone et leurs dérivations partielles). Il y a donc plus d’équations que inconnues, le système d’équations différentielles est dépassé. L’un rend alors souvent la condition supplémentaire que la fonction F, y compris ses dérivations, devrait être stable, pour laquelle les dérivations partielles doivent être échangées, ce qui entraîne une condition d’intigabilité supplémentaire.

En général, dans le cas de systèmes excessifs d’équations différentielles, similaires aux équations linéaires, il faut clarifier la question de savoir s’ils décrivent le même système et comment il est spécifié. Dans le cas des équations linéaires, cela conduit à la question de savoir si toutes les équations sont indépendantes les unes des autres (détermination du rang de la matrice associée). Dans le cas de systèmes d’équations différentielles partielles, cela conduit à des conditions de compatibilité de l’interchangeabilité des dérivations partielles. On parle également d’une intégrité totale ici. Un exemple ici est la phrase de Frobenius en géométrie différentielle, qui indique quand un système d’équations différentielles partielles dans des équations différentielles partielles q Dimensions dans

à un q -Les espaces tangentiels de diversité. Pour Frobenius, la condition est que le commutateur du champ vectoriel du système se trouve à nouveau dans ce domaine.

Pour le terme excès (imprécision) dans la statistique, voir la certitude statique (contrairement aux cas considérés ci-dessus, il y a la situation qu’il y a moins d’équations linéaires que nécessaire pour déterminer les étrangers).

• Richard L. Branham, Jr .: Analyse des données scientifiques . Une introduction aux systèmes surdéterminés. Springer Verlag, New York 1990, ISBN 0-387-97201-3 ( MR1043632 ).
• Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas Meister, Gabriela Schranz-Kirchlinger, Thomas Sonar: Connaissances de base des mathématiques: analyse plus élevée, numérique et stochastique . Avec la participation de Daniel Rademacher. 1ère édition. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-642-45077-8, doi: 10 1007 / 978-3-342-45078-5 .
• Josef Stoer: Introduction aux mathématiques numériques I . En tenant compte des conférences de F. L. Bauer (= Brochées de Heidelberg . Groupe 105 ). 4e, édition améliorée. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York / Tokyo 1983, ISBN 3-540-12536-1.
• Guido Walz (rouge.): Lexique des mathématiques en six volumes . Deuxième volume. Spectrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2001, ISBN 3-8274-0434-7.
• Guido Walz (rouge.): Lexique des mathématiques en six volumes . Cinquième volume. Spectrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2002, ISBN 3-8274-0437-1.

1. ↑ On dit ensuite que les équations ou mesures supplémentaires “raidissent” le système.
2. ↑ Martin vous a fait le plein. un .: Connaissance de base des mathématiques: analyse plus élevée, numérique et stochastes. 2016, S. 584 ff.
3. ↑ Josef Stoer: Introduction aux mathématiques numériques I. 1983, S. 179 ff.
4. ↑ Lexique des mathématiques en six volumes. Cinquième volume. 2002, S. 258.
5. ↑ Lexique des mathématiques en six volumes. Deuxième volume. 2001, S. 252-253.
6. ↑ Bieberbach: Théorie des équations différentielles. Springer 1930, S. 276.