Courbure moyenne – wikipedia

Le courbure moyenne En plus de la courbure gaussienne

${displaystyle mathbb {r} ^ {3}}$

, une zone de géométrie différentielle.

Il y a une zone régulière dans

${displaystyle mathbb {r} ^ {3}}$

Et un point de ce domaine. La courbure moyenne

${displaystyle h}$

La zone sur ce point est le moyen arithmétique des deux courbures principales

${displaystyle k_ {1}}$

et

${displaystyle k_ {2}}$

. C’est-à-dire que la courbure moyenne est définie comme

after-content-x4

${displayStyle h: = {frac {1} {2}} (k_ {1} + k_ {2}).}$

Les zones minimales appelées sont donc particulièrement intéressantes, pour lesquelles

${displayStyle h = 0}$

ou.

${displayStyle k_ {1} = – k_ {2}}$

est applicable.

Plus généralement, la courbure moyenne pour les hyperfaces à n dimensions de la

${displayStyle Mathbb {r} ^ {n + 1}}$

à travers

${displayStyle h: = {tfrac {1} {n}} opératorname {spur} (s)}$

définir. Y a-t-il

${DisplayStyle S}$

L’illustration de Weingarten et

${displayStyle Operatorname {Spur}}$

Décrit le sentier d’une matrice.

${displayStyle h = {frac {lg-2mf + ne} {2 (eg-f ^ {2})}}}$

Lorsque l’isotherme de zone est paramétré, c’est-à-dire si pour les coefficients de la première forme fondamentale

${displayStyle e = g}$

et

${displayStyle f = 0}$

Alors s’applique, alors cette formule

${displayStyle h = {frac {l + n} {2e}}.}$

• La zone est-elle à l’étude du graphique d’une fonction
  ${displaystyle f}$

  au-dessus de la zone des paramètres

  ${displaystyle u}$

  , aussi

  ${DisplayStyle x (u, v) = (u, v, f (u, v))}$

  pour tous

  ${DisplayStyle (u, v) dans u}$

  , ce qui suit s’applique à la courbure moyenne:

${displayStyle h = {frac {(1 + f_ {v} ^ {2}) f_ {uu} -2f_ {u} f_ {v} f_ {uv} + (1 + f_ {u} ^ {2}) f_ {vv}} {2 {sqrt {1 + f_ {u}} } ^ {2}}} ^ {3}}}}$

.

Décrire ici

${displayStyle f_ {u}}$

et

${displayStyle f_ {v}}$

Le premier et

${displayStyle f_ {uu}}$

,

${displayStyle f_ {uv}}$

et

${displayStyle f_ {vv}}$

Les deuxième dérivations partielles de

${displaystyle f}$

.

• La surface d’une balle avec rayon
  ${displaystyle r}$

  A la courbure moyenne

  ${displayStyle h = {tfrac {1} {r}}}$

  .

• En tout point sur la zone courbe d’un cylindre circulaire droit avec un rayon
  ${displaystyle r}$

  La courbure moyenne est la même

  ${displayStyle h = {tfrac {1} {2r}}}$

  

• Pour une zone
  ${DisplayStyle x = x (u, v)}$

  L’équation s’applique

${DisplayStyle h {vec {n}} = g ^ {ij} nabla _ {i} nabla _ {j} x,}$

Avec l’unité normale

${displayStyle {vec {n}}}$

,

${displayStyle g_ {ij}}$

Comme la première forme fondamentale et

${displayStyle nabla _ {i}}$

La dérivation covariante.

• Quand une zone
  ${DisplayStyle x = x (u, v)}$

  L’isotherme est paramétré, il rencontre donc le système Rellich H-surface

${displayStyle delta x = 2hx_ {u} fois x_ {v}.}$

• La zone est-elle comme un niveau d’une fonction
  ${displaystyle f}$

  donné, donc

${displayStyle 2h = -Operatorname {div} {vec {n}} = – operatorname {div} {frac {nabla f} {| nabla f |}}.}$

^[d’abord]

Y a-t-il

${displayStyle operatorname {div}}$

La divergence et

${displayStyle {vec {n}}}$

Le champ normal de l’unité

${displayStyle {tfrac {nabla f} {| nabla f |}}.}$

Cette formule est appelée formule de capot et s’applique généralement aux hyper-surfaces à n dimensions.

1. ↑ Philipp D. Lösel: Procédures basées sur le GPU pour la segmentation des données d’image biomédicales. (PDF) Université Heidelberg, 22. avril 2022, S. 42–43 , Consulté le 5 septembre 2022 . Preuve de la phrase 3.22.