Doobsche Machly Complément – Wikipedia

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Le Doobsche Machly Complémenty est l’une des inégalités centrales des stochastes. En plus du burkholder, il s’agit de l’une des méthodes de calcul les plus courantes pour l’ampleur (stochastique) des martingals (réguliers). Il porte le nom de Joseph L. Doob et peut être trouvé dans la littérature sous différents noms ( Doobsche

Lp{displaystyle l ^ {p}}
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-Avitation , [d’abord] Dooshon Ungunder (s) , [2] Doobsche Extremal) , [3] Pêche maximale , [4] Doots maximum-ungoding [5] ) ainsi que dans des formulations légèrement différentes, qui diffèrent dans le nombre d’inégales et les conditions données. Le nom comme

L p{displaystyle l ^ {p}}

-Unchung découle de l’utilisation du

L p{displaystyle l ^ {p}}

-Norm, le nom comme “maximum”, car le supremum des premiers membres du processus est estimé. Il existe également des différences dans la notation, donc soit le

L p{displaystyle l ^ {p}}

-Som ou la valeur d’attente utilisée pour le libellé.

Peut être

( X n) n∈N{DisplayStyle (x_ {n}) _ {nin mathbb {n}}}

Un processus stochastique. Définir

Est

X {displaystyle x}

un sous-carton, puis s’applique à chaque

l > 0 {displaystyle lambda> 0}

l P ( Xn∗≥ l ) ≤ ET ⁡ ( Xn1{Xn∗≥λ}) ≤ ET ⁡ ( |Xn|1{Xn∗≥λ}) {displaystyle lambda p (x}} ^ {*} geq lambda) leq operatorname {e} (x_ {n} mathbf _ {1} ^ {*} geq lambda}}) leq opératorname)}

.

Est

X {displaystyle x}

un martingal ou un sous-cartingal positif et est

l > 0 {displaystyle lambda> 0}

p ≥ d’abord {displaystyle pgeq 1}

Alors s’applique

De plus, chaque

p > d’abord {displaystyle p> 1}

ET ⁡ ( |Xn|p) ≤ ET ⁡ ((|X|n∗)p)≤ (pp−1)pET ⁡ ( |Xn|p) {displayStyle operatorname {e} (| x_ {n} | ^ {p}) leq operatorname {e} Left (Left (| x | _ {n} ^ ^ {*} droit) ^ {p} droite) leq gauche (P} opérat {e} (x_ | {p})}

Il existe différentes différences dans le libellé. Donc certains auteurs ne sont pas la première inégalité [6] D’autres ne formulent que la première et la deuxième inégalité, et ce n’est que pour la sous-standale positive [7] , ne montre qu’un cas spécial pour les correctifs

p {displaystyle p}

[8] Ou appelez la première inégalité Ingonation d’établissement des Doots et le deuxième Doobsche

Lp{displaystyle l ^ {p}}

-Avitation . [9]

C’est

( M t) t≥0{displayStyle (m_ {t}) _ {tgeq 0};}

un sous-démarrage martingal ou non négatif et

p > d’abord {displaystyle p> 1}

( M t) {displayStyle (m_ {t})}

Juridique. Puis appliquer [dix] pour tous

T > 0 {displayStyle t> 0}

‖ supt≤T|Mt|‖p≤ pp−1‖ MT‖p{displayStyle | sup _ {tleq t} | m_ {t} |, | _ {p} leq {frac {p} {p-1}} | m_ {t} | _ {p}}

.

Décrit

‖ ⋅ ‖ p{displayStyle | cdot | _ {p}}

La norme LP. Noter que

q = pp−1{displayStyle q = {tfrac {p} {p-1}}}

Le nombre réel conjugué aussi

p {displaystyle p}

est, d. h., il s’applique

1p+ 1q= d’abord {displayStyle {tfrac {1} {p}} + {tfrac {1} {q}} = 1}

. En conséquence, la preuve centrale est l’application de l’enfer.

  • Achim Klenke: Théorie des probabilités . 3. Édition. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi: 10 1007 / 978-3-642-36018-3 .
  • David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastique . Théorie et applications. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi: 10.1007 / b137972 .
  • Norbert Kusolitsch: Théorie de la mesure et des probabilités . Une introduction. 2e édition révisée et élargie. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi: 10 1007 / 978-3-642-45387-8 .
  • Claus D. Schmidt: Mesure et probabilité . 2e, à travers l’édition. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, doi: 10 1007 / 978-3-642-21026-6 .
  1. ↑ Klenke: Théorie des probabilités. 2013, S. 222.
  2. ↑ Klenke: Théorie des probabilités. 2013, S. 484.
  3. ↑ Kusolitsch: Théorie de la mesure et de la probabilité. 2014, S. 284.
  4. ↑ Schmidt: Mesure et probabilité. 2011, S. 430.
  5. ↑ Meintrup, Schäffler: Stochastiques. 2005, S. 327.
  6. ↑ Klenke: Théorie des probabilités. 2013, S. 222.
  7. ↑ Meintrup, Schäffler: Stochastiques. 2005, S. 327.
  8. ↑ Schmidt: Mesure et probabilité. 2011, S. 430.
  9. ↑ Kusolitsch: Théorie de la mesure et de la probabilité. 2014, S. 284-286.
  10. ↑ Heinz Bauer: Théorie des probabilités. 5e édition. Manuel de gruyter, Berlin 2002, ISBN 3-11-017236-4, p. 412f

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