Trivial Knot – Wikipedia

Nœud trivial

Le nœud trivial (aussi: Décoller ) est le nœud mathématique le plus simple, à savoir une simple boucle fermée qui n’est pas nouée (c’est-à-dire sans coupe peut être séparée sur un anneau lisse).
Il joue un rôle dans la théorie des nœuds.

De nombreux nœuds se produisant dans la pratique, par exemple les nœuds de trompette et les nodules d’étranglement, sont
nœud trivial. ^[d’abord]

UN nœud non trivial Est un nœud qui ne peut pas être déformé dans le non-nœud.

Diagramme plus compliqué d’un nœud trivial

Une courbe représentant le nœud trivial est, par exemple

${displayStyle Left {(x, y, 0): x ^ {2} + y ^ {2} = 1Right} sous-ensemble Mathbb {r} ^ {3}}$

.

Un nœud est un nœud trivial s’il est régulièrement déformé
(sans «couper le cordon») peut être transféré sur la courbe ci-dessus.
Il y a des nœuds d’aspect assez compliqués qui sont en fait triviaux, un exemple montre l’image en bas à droite.

Le polynôme Jones du nœud trivial est:

${displayStyle quad v (t) = 1.}$

^[2]

Son Alexander Polynomial est également 1.

Un nœud K dans la sphère 3 est exactement trivial lorsque le complément

Homéomorphe est un objectif complet.

En 1961, le mathématicien Wolfgang Haken a développé un algorithme avec lequel on peut déterminer si un diagramme de nœuds montre ou non un nœud trivial. Pour ce faire, il a utilisé les zones de Seifert et la théorie des zones normales de Martin Kneser. ^{[3] [4] [5]} L’algorithme est complexe et n’a jamais été mis en œuvre. Le crochet a ainsi montré le facteur décisif du problème non noué. Avec un algorithme de crochet, vous pouvez généralement décider s’il y a deux hameçons. (Les diacts de Hook-Man sont des wains de 3-maniables irructibles qui contiennent une zone incompressible dans l’événement d’un complément de nœud, la zone Seifert est cette surface incompressible.)

Joel Hass, Jeffrey Lagarias et Nicholas Pippenger ont ramassé la théorie des crochets et ont montré que les zones normales peuvent être représentées comme des points intégrés sur un cône convexe (un polytop de haute dimension), par lequel une transformation non nue correspond à un jet extrême sur le cône. L’algorithme non noué peut ensuite être retracé à une liste du nœud de ce polytop. En 1999, ils ont démontré que non noué est dans la classe de complexité NP, i. H. Un «certificat» pour le fait qu’un nœud est trivial peut être vérifié à l’époque polynomiale. ^[6] Benjamin Burton en 2011 a montré l’utilité de l’algorithme pour le problème non noué, même s’il ne fonctionnait pas à l’époque polynomiale. ^[7]

En supposant que la présomption généralisée de Riemann est correcte, Greg Kuperberg a prouvé en 2011 qu’il y a aussi un engagement dans le NP. ^[8] Une preuve que la présomption de Riemann n’a pas utilisée a été donnée par Marc Lackenby en 2016. ^[9]

On ne sait pas si vous pouvez découvrir le nœud trivial avec le polynôme de Jones, c’est-à-dire H. si

ne s’applique qu’au nœud trivial. Cependant, cela fait l’homologie Heegaard Floer ou l’homologie de Khovanov. ^[dix]

Un algorithme pratiquement mis en œuvre vient de Joan Birman et Michael Hirsch ^[11] Et utilise des feuilles de tresses (foliations tresses). En 2001, Hass et Lagarias ont également approuvé le nombre de mouvements de Reidemeister pour l’émotion. ^[douzième]

1. ↑ Sujets noués ( Mémento des Originaux à partir du 17 juillet 2011 dans Archives Internet ) Info: Le lien d’archive a été utilisé automatiquement et non encore vérifié. Veuillez vérifier le lien d’origine et d’archiver en fonction des instructions, puis supprimez cette note. @d’abord @ 2 Modèle: webachiv / iabot / www.volkerschatz.com
2. ↑ Dénigrer (EN) a appelé Mathworld le 25 septembre 2012
3. ↑ Dans le royaume des non-nœuds . Dans: Daily Mirror . 25. Septembre 2012 ( En ligne ).
4. ↑ Théorème du jour: le théorème du non-nœud de Haken (PDF; 255 Ko)
5. ↑ Hook, Theory of Normal Area, Acta Mathematica, Volume 105, 1961, pp. 245–375
6. ↑ Hass, Joel; Lagarias, Jeffrey C.; Pippenger, Nicholas: La complexité de calcul des problèmes de nœud et de liaison , Journal de l’ACM quarante-six (2), 185–211 (1999). Arxiv
7. ↑ Benjamin A. Burton, Faces admissibles maximales et limites asymptotiques pour l’espace de solution de surface normale, Journal of Combinatorial Theory, Series A, Band 118, 2011, S. 1410–1435, Arxiv
8. ↑ Théorie des nœuds et complexité
9. ↑ Mar Marceenby: La certification Effizient de la nouette et de la norme Thurston
10. ↑ Peter Kronheimer, Tomasz Mrowka: L’homologie de Khovanov est un détecteur de méconnaissance , Publications mathématiques de l’IHÉS, Juni 2011, Volume 113, Issue 1, pp 97–208.
11. ↑ Joan Birman, Michael Hirsch: un nouvel algorithme pour reconnaître le Unknot, la géométrie et la topologie, groupe 2, 1998, S. 178-220, Arxiv
12. ↑ Hass, Lagarias, Le nombre de mouvements de Reidemeister nécessaires pour le désactif, Journal of the American Mathematical Society, Band 14, 2001, S. 399–428, Arxiv