Eikonal – Wikipedia

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Quand Eikonal (Le grec ancien image Eikon = Image, image ) L’itinéraire d’un faisceau lumineux entre la sortie et le point final est mentionné dans l’aspect géométrique; En attendant, le terme fait généralement référence à cela Bruns-eikonal .

Le Bruns-eikonal ou Brunsche eikonal est une fonction qui décrit le moyen le plus court entre deux points séparés par des milieux optiques selon le principe de Fermatschen. Il a été publié par le mathématicien allemand Heinrich Bruns en 1895 et utilisé dans le look de rayonnement. Le nom Eikonal vient de Bruns, mais la procédure était déjà connue de William Rowan Hamilton, qui fonction caractéristique Appelé (équation de Hamilton-Jacobi) et l’a utilisé en optique et en mécanique.

Le Bruns-eikonal Utilisé dans les ondes acoustiques et autres phénomènes d’onde, par ex. B. en sismologie pour calculer la propagation des ondes sismiques.

Dans ce qui suit, l’équation spécifique à l’œuf doit être dérivée comme une proximité apop à haute fréquence de l’équation des ondes acoustiques. Une procédure similaire est utilisée dans la mécanique quantique, l’approche semi-lassique WKB.

Nous passons donc de l’équation des ondes acoustiques avec la pression

, le vecteur local

, la vitesse de propagation dépendante de l’emplacement

et densité constante

${affichestyle nabla ^ {2} p- {frac {1} {c ^ {2}}} {frac {partiel ^ {2} p} {partiel t ^ {2}}} = 0}$

Nous recherchons une approche à haute fréquence harmonieuse pour laquelle
Fréquence et amplitude indépendante du temps

et le terme fonction

peut être accepté. Il a la forme

${displayStyle p ({vec {x}}, t) = p ({vec {x}}) e ^ {mathrm {i} omega (t-phi ({vec {x}}))}}$

Premièrement, le leadership temporel de l’équation des vagues est calculé:

${displayStyle {frac {partiel p} {partial t}} = mathrm {i} omega p ({Vec {x}}) e ^ {iomega (t-phi ({Vec {x}}))}; quad {frac {partial ^ {2} p} {partalial t ^ {2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} ^}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {2} ») {2} p ({vec {x}}) e ^ {iomega (t-phi ({vec {x}}))}}$

Suivez maintenant les lignes d’emplacement:

${affichestyle nabla p = nabla pe ^ {mathrm {i} omega (t-phi ({vec {x}}))} – mathrm {i} omega pe ^ {mathrm {i} omega (t-phi ({vec {x}})) ga pnabla phi) e ^ {mathrm {i} omega (t-phi ({vec {x}}))}}$

En raison de l’identité vectorielle

continue:

${displaystyle nabla ^ {2} p = nabla cdot nablak p}$

${DisplaySyLyle = nabla cdot (nbla p-mathrm {i + {mathrm {i {mathrm {i {mathrm {i} omega (t-phi ({vec}}}}}} {mathrm {{{{{{{{{T- T- iphi {iphi {{Mathrm {i {{{T- T- PHI {T- phi {ip {x}}}$

${Disg (nabla ^ {2} p-Mathrm {2} p-Mathrm {i {owga nabla pcdot nabla pcdot nabla pnibla pnibla pnibla pnibla. {2} p-Mathrm {i} omg a panot nabla phi) (T-phi ({vec {x}}$

${DisplayStyle = Left (nabla ^ {2} p -2mathrmm {i} omega nabla pcdot nabla phi -mathrm {i} omega pnabla ^ {2} phi -omega ^ {2} p (nabla phi) ^ {2} droit) et ^ {mathm {i} }))}}$

Les deux dérivations utilisées dans l’équation des ondes entraînent une division

$gens$

Une division à travers

alors mène à

${displayStyle Left ((nabla phi) ^ {2} – {frac {1} {c ^ {2}}} droit) + {frac {Mathrm {i}} {omega p}} Left (2Nabla pcdot nabla phi + pnabla ^ {2} phi droit de } P}} Left (nabla ^ {2} Pright) = 0.}$

Étant donné que la partie réelle et imaginaire de l’équation doit être nulle indépendamment les unes des autres, suit:

${displayStyle Left ((nabla phi) ^ {2} – {frac {1} {c ^ {2}}} droit) – {frac {1} {omega ^ {2} p}} Left (nabla ^ {2} pright) = 0}$

L’approximation est supposée que l’amplitude

seulement faiblement dépendante,

Il est donc limité. Puisque ni le terme

Toujours l’amplitude

sont dépendants de la fréquence, le deuxième terme pour les très hautes fréquences est faible par rapport au premier terme et l’équation simplifie:

${displayStyle gauche (nabla phi droit) ^ {2} = {frac {1} {c ^ {2}}}}$

La solution

L’équation des œufs attribue la durée de la vague à chaque point de la région de la ville. Les lignes de même durée peuvent être interprétées en conséquence comme des fronts d’onde.