Phrase verte – Wikipedia

Le Set de vert (aussi Formule de Green-Riemann ou Lemme de vert , parfois aussi Phrase de Gauß-Green ) permet à l’intégrale d’exprimer l’intégrale sur une surface plane à travers une intégrale d’angle. La peine est un cas particulier de la peine Stokes. Pour la première fois, il a été formulé et prouvé en 1828 par George Green Un essai sur l’application de l’analyse mathématique aux théories de l’électricité et du magnétisme .

Peut être

${displayStyle d}$

Un compact au niveau xy avec des sections d’un bord lisse

${displayStyle partiel d = c}$

(voir figure). Continuer

${DisplayStyle F, gcolon dto mathbb {r}}$

Fonctions constantes avec le également sur

${displayStyle d}$

Dérivations partielles stables

${displayStyle {tfrac {partiel f} {partial y}} (x, y)}$

et

${displayStyle {tfrac {partial g} {partiel x}} (x, y)}$

. Ensuite, ce qui suit s’applique:

${affichestyle iint _ {d} gauche ({frac {partial g} {partiel x}} (x, y) – {frac {partial f} {partiel y}} (x, y) droit), mathrm {d} x, mathrm {d} y = orth y), mathrm {d} yright)}$

Ça veut dire

${displaystyle textstyle oint _ {c} f (x, y), mathrm {d} x}$

Le long de l’intégrale du coin

${DisplayStyle C}$

depuis

${displayStyle f (x, y) cdot e_ {x}}$

, aussi

${displaystyle textstyle oint _ {c} f (x, y), mathrm {d} x = int _ {a} ^ {b} f (gamma _ {x} (t), gamma _ {y} (t)) CDOT {dot {gamma}} _ {x} (t) mathrm {d}$

, chutes

${DisplayStyle C}$

Par un morceau de différentes façons de différencier la courbe

${displayStyle gamma = (gamma _ {x}, gamma _ {y}): [a, b] à c}$

est décrit. Analogique devient

${DisplayStyle Text Style Oint _ {C} g (x, y), Mathrm {d} y}$

Sont définis.

Pour le cas spécial que l’intégrand

${displayStyle f (x, y), mathrm {d} x + g (x, y), mathrm {d} y}$

Dans la courbe intégrale à droite, le différentiel total

${displayStyle Mathrm {d} u (x, y)}$

une fonction scalaire

${displayStyle u (x, y)}$

représente, d. H. C’est

${displayStyle f (x, y) = {tfrac {partial u} {partiel x}} (x, y)}$

et

${displayStyle g (x, y) = {tfrac {partial u} {partiel y}} (x, y)}$

suit après
Ensemble de noir (interchangeabilité de l’ordre des dérivations de

${displayStyle u (x, y)}$

après

${displaystyle x}$

et

${displaystyle y}$

), ce

${displayStyle {frac {partial} {partial x}} Left ({frac {partial} {partial y}} u (x, y) droit) = {frac {partial} {partial y}} Left ({frac {partial} {partiel x}} u (x, y) droite)}$

doit être. Avec cela devient

${displayStyle {tfrac {partiel g} {partiel x}} (x, y) = {tfrac {partial f} {partial y}} (x, y)}$

, de sorte que l’intégrale de surface à gauche et donc l’intégrale de la courbe à droite sur le chemin fermé devient nulle, i. H. La valeur de la fonction

${displayStyle u (x, y)}$

n’a pas changé.

De tels changements fonctionnels à deux dimensions indépendants se produisent, par exemple, dans la thermodynamique lors de l’examen des processus circulaires, où

${displaystyle u}$

Appuyez ensuite sur l’énergie intérieure ou l’entropie du système.

Pour les champs de potentiel scalaire à trois dimensions

${DisplayStyle u (x, y, z)}$

, comme ils sont en mécanique z. B. Le champ de puissance conservateur d’un potentiel gravitationnel newtonien

${displaystyle phi}$

Décrivez, l’indépendance du chemin peut être prouvée de manière similaire à la phrase plus générale de Stokes.

Zone [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Tu choisis

${displayStyle f (x, y) = 0,}$

et

${displayStyle g (x, y) = x,}$

, les dérivations partielles sont

${displayStyle {tfrac {partiel f} {partiel y}} (x, y) = 0}$

et

${displayStyle {tfrac {partiel g} {partiel x}} (x, y) = 1}$

. Les intégrales décrivent ensuite la zone de la zone de

${displayStyle d}$

, qui est clairement déterminé par le cours de la courbe de bord et peut être calculé par une intégrale d’angle au lieu d’une double intégrale:

${displayStyle a (d) = iint _ {d} 1, mathrm {d} x, mathrm {d} y = ut _ {c} x, mathrm {d} y}$

Tu choisis

${displayStyle f (x, y) = – y,}$

et

${displayStyle g (x, y) = 0,}$

Alors tu as analogue

$gens$

Si vous ajoutez les deux résultats, vous obtenez la formule sectorielle de Leibniz pour une courbe fermée:

${displayStyle a (d) = {frac {1} {2}} ut _ {c} (x, mathrm {d} y-y, mathrm {d} x)}$

Zone de la zone [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Tu choisis

${displayStyle f (x, y) = 0,}$

et

${displayStyle g (x, y) = x ^ {2} / 2,}$

, les dérivations partielles sont

${displayStyle {tfrac {partiel f} {partiel y}} (x, y) = 0}$

et

${displayStyle {tfrac {partiel g} {partiel x}} (x, y) = x}$

. Alors vous pouvez faire le

${displaystyle x}$

-Coordonnée de la zone de la région

${displayStyle d}$

Calculez par une intégrale d’angle:

${displayStyle x_ {s} = {frac {1} {a (d)}} iint _ {d} x, mathrm {d} x, mathrm {d} y = {frac {1} {2a (d)}} oint _ {c} x ^ {2}, mathrm {d} y}$

Par conséquent

${displayStyle f (x, y) = – y ^ {2} / 2,}$

et

${displayStyle g (x, y) = 0,}$

pour le

${displaystyle y}$

-Coordonnée de la zone de la région

${displayStyle d}$

:

${affichestyle y_ {s} = {frac {1} {a (d)}} iint _ {d} y, mathrm {d} x, mathrm {d} y = {frac {-1} {2a (d)}} oint _ {c} y ^ {2}, mathrm {d}$

Ce principe est également utilisé dans les planifications ou les intégrants pour déterminer la zone de l’espace et une zone d’ordre supérieur.

• Otto Forster: Analyse. Bande 3: Théorie de la mesure et de l’intégration, les taux intégraux dans R ⁿ et applications , 8. édition améliorée. Springer Spectrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.