Spectre (roue d’opératoire) – Wikipedia

Le spectre Un opérateur linéaire est un terme de l’analyse fonctionnelle, une sous-zone de mathématiques. ^[d’abord] Dans l’algèbre linéaire finalement dimensionnelle, les endomorphismes qui sont montrés par les matrices et leurs propres valeurs sont considérés. La généralisation dans l’infini dimensionnel est prise en compte dans l’analyse fonctionnelle. Le spectre d’un opérateur peut être imaginé comme une quantité de valeurs propres généralisées. Ce sera Valeurs spectrales appelé.

Connexion de la théorie spectrale avec la théorie de l’auto-valeur [ Modifier | Modifier le texte source ]]

La théorie spectrale des opérateurs linéaires de l’analyse fonctionnelle est une généralisation de la propre théorie de la valeur à partir de l’algèbre linéaire. Dans l’algèbre linéaire, les endomorphismes sont vus sur des salles de vecteur dimensionnelles finalement. Le paiement

${DisplayStyle Lambda dans MathBB {C}}$

, pour l’équation

${displayStyle ax = lambda x}$

solutions

${displayStyle xneq 0}$

, donc inégalement le vecteur zéro, est nommé en valeurs de profondeur, par laquelle

${displaystyle a}$

Une matrice de représentation de l’endomorphisme choisi est.
Désigné

${displayStyle i}$

La matrice de l’unité, donc elles sont inhérentes à

${displaystyle lambda}$

, pour le

${displaystyle a-lambda i}$

n’est pas injectif. Ceci est synonyme dans le finalement dimensionnel du fait que l’endomorphisme n’est pas une surjective ou non bijective, c’est-à-dire que la matrice est

${displaystyle a-lambda i}$

n’a pas d’inverse. Cependant, si l’on regarde les espaces infinis de dimension, il est nécessaire de distinguer si l’opérateur

${displaystyle a-lambda i}$

n’est pas invertible, pas injectif et / ou pas surjectif, car dans le cas de dimension infinie, l’injectivité d’un endomorphisme ne suit pas automatiquement la surjectivité. Le terme spectre de l’analyse fonctionnelle est expliqué ci-dessous.

Le spectre d’un opérateur

${displayStyle t}$

est le montant de tous les éléments

${displaystyle lambda}$

du corps numérique (principalement les nombres complexes) pour lesquels la différence de l’opérateur avec le

${displaystyle lambda}$

-Felles de l’illustration identique

${displayStyle t-Lambda, mathrm {id}}$

Il n’est pas limité, c’est-à-dire qu’il n’y a pas d’inverse ou qu’ils ne sont pas limités.

Le spectre de l’opérateur est avec

${DisplayStyle Sigma (t)}$

Décrit et les éléments du spectre sont appelés Valeurs spectrales .

La définition ci-dessus peut être utilisée dans différents contextes. Dans cette section, le spectre des opérateurs linéaires d’une salle vectorielle est considéré. Cependant, la théorie spectrale des opérateurs linéaires ne peut être étendue que dans une certaine mesure que si la quantité d’opérateurs à considérer est spécifiée. Par exemple, on pourrait vous limiter à des opérateurs limités, compacts ou auto-jungle. Ci-dessous est

${displayStyle t}$

Un opérateur linéaire dans une salle de banach complexe

${displaystyle x}$

.

Résolution [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Le montant des résolvants

${displaystyle varrho (t)}$

se compose de tous les nombres complexes

${displaystyle lambda}$

, donc il y en a un

${displaystyle x}$

Opérateur limité défini

${displayStyle r_ {lambda}}$

donner avec

${DisplayStyle r_ {lambda} (t-lambda, mathrm {id} = (t-lambda, mathrm {id}) r_ {lambda} = mathrm {id}}$

.

L’opérateur

${displayStyle r_ {lambda} = (t-Lambda, mathrm {id}) ^ {- 1}}$

signifie résolvant de l’opérateur

${displayStyle t}$

. Le complément au montant des résolvants est le montant des nombres complexes pour lesquels les résolvants n’existent pas ou sont illimités, c’est-à-dire le spectre de l’opérateur

${displayStyle t}$

, c’est-à-dire qu’il s’applique

${displayStyle Sigma (t) = mathbb {c} setminus {varrho (t)}}$

. La définition peut également être trouvée dans la littérature

${displayStyle r_ {lambda} = (lambda, mathrm {id} -t) ^ {- 1}}$

ce qui conduit à un signe différent du résolvant. ^{[2] [3]} La quantité de résolvants est indépendante de cette convention de signe, car un opérateur peut être inversé exactement si l’opérateur multiplié par −1 peut être inversé.

Distribution du spectre [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Le spectre peut être subdivisé en différentes actions. Une fois une subdivision dans le spectre de points, le spectre constant et le spectre résiduel sont fabriqués. Ces composantes du spectre diffèrent, pour ainsi dire, par la raison de la non-existence d’un résolvant limité. Une désintégration différente du spectre est celle dans le spectre discret et essentiel. Pour le spectre d’un opérateur autoproclamé, il y a toujours la troisième façon de la diviser en un point et un spectre constant, ceci est décrit dans la section aux opérateurs auto-émis. Le spectre constant d’un opérateur d’auto-jamed n’est pas équivalent au spectre constant, qui est défini dans la sous-section suivante.

Le spectre ponctuel (spectre d’auto-valeur, spectre discontinu) [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Si l’opérateur

${displayStyle t-Lambda, mathrm {id}}$

n’est pas injectif, c’est-à-dire,

${DisplayStyle ker (t-lambda, mathrm {id}) neq {0}}$

, alors

${displaystyle lambda}$

Un élément du spectre ponctuel

${displayStyle Sigma _ {p} (t)}$

depuis

${displayStyle t}$

. Les éléments du spectre ponctuel sont mentionnés.

Le spectre constant (spectre continu, spectre constant, spectre de route) [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Si l’opérateur

${displayStyle t-Lambda, mathrm {id}}$

injectif, mais pas une surjective, mais a une image dense, c’est-à-dire qu’il y a un inverse qui n’existe que sur une partie dense de la salle de Banach

${displaystyle x}$

est défini, alors est

${displaystyle lambda}$

Un élément du spectre constant

${displayStyle Sigma _ {c} (t)}$

depuis

${displayStyle t}$

.

Le spectre résiduel (spectre résiduel) [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Si l’opérateur

${displayStyle t-Lambda, mathrm {id}}$

est injectif, cependant Non Dans la salle de Banach

${displaystyle x}$

a une image dense, alors

${displaystyle lambda}$

Un élément du spectre résiduel

${displayStyle Sigma _ {r} (t)}$

depuis

${displayStyle t}$

. Dans ce cas, c’est

${displayStyle t-Lambda, mathrm {id}}$

Surtout pas de surf. Celui aussi

${displayStyle t-Lambda, mathrm {id}}$

L’opérateur inverse existe, mais se trouve uniquement sur un sous-espace non dense de

${displaystyle x}$

Sont définis.

Spectre discret et essentiel [ Modifier | Modifier le texte source ]]

La quantité de toutes les valeurs spectrales isolées avec diversité finie est appelée spectre discret et avec

${displayStyle Sigma _ {opératorname {dis}} (t)}$

écrit. Le complément

${displayStyle Sigma _ {opératorname {ess}} (t): = Sigma (t) setminus Sigma _ {operatorname {dis}} (t)}$

signifie le spectre essentiel de

${displayStyle t}$

. ^[4] Cependant, il existe également d’autres définitions du spectre essentiel et discret pour cette définition. ^[5]

Approximatives ponctuelles [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Si à un

${DisplayStyle Lambda dans MathBB {C}}$

un épisode

${displayStyle gauche (x_ {n} droit) _ {nin mathbb {n}}}$

dans

${displaystyle x}$

existé avec

${displayStyle gauche | x_ {n} droite | = 1quad gauche (nin mathbb {n} droit) quad {text {und}} quad gauche | t, x_ {n} -lambda, x_ {n} droite | droite inftare$

Alors appelle l’homme

${displaystyle lambda}$

une approximation de

${displayStyle t}$

. La quantité de toutes les approximations de valeurs particulières est en tant que spectre de points d’approximation ou approximation du spectre d’auto-valeur

${displayStyle Sigma _ {opératorname {app}} Left (tright)}$

désigné ^[6] . Ça s’applique:

${displayStyle Sigma _ {p} Left (tright) Cup Sigma _ {C} Left (tright) sous-ensemble Sigma _ {opératorname {app}} Left (tright) Sousset Sigma Left (tright);.$

Chutes

${displayStyle t}$

Un opérateur limité est également valable

${displayStyle partiel Sigma Left (tright) sous-ensemble Sigma _ {Operatorname {app}} Left (tright);.$

Exemples [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Opérateur de multiplication pour les fonctions [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Un exemple intéressant est l’opérateur de multiplication dans une salle fonctionnelle

${displayStyle f [0,1]}$

la fonction

${displaystyle tmapsto f (t)}$

sur la fonction

${displayStyle tmapsto tf (t)}$

représenté, donc

${DisplayStyle McOlon F [0,1] à f [0,1]}$

avec

${displayStyle (mf) (t) = tf (t)}$

.

• Si vous regardez
  ${displaystyle m}$

  Dans la salle des fonctions limitées

  ${displayStyle b [0,1]}$

  Avec la norme supernormale, son spectre est l’intervalle

  ${DisplayStyle [0.1]}$

  Et toutes les valeurs spectrales font partie du spectre ponctuel.

• Si vous le regardez sur le rêve Hilber des fonctions quadranginables
  ${displayStyle l ^ {2} [0,1]}$

  , donc le spectre est l’intervalle à son tour

  ${DisplayStyle [0.1]}$

  Et toutes les valeurs spectrales font partie du spectre continu.

• Tu le regardes enfin dans la pièce
  ${displayStyle c [0,1]}$

  les fonctions constantes, donc son spectre est à nouveau l’intervalle

  ${DisplayStyle [0.1]}$

  Et toutes les valeurs spectrales font partie du spectre résiduel.

Opérateur de multiplication pour les conséquences [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Est

${DisplayStyle (a_ {n}) _ {nin mathbb {n}}}$

Un épisode limité dans

${displaystyle mathbb {C} }$

, aussi

${Displaystyle t: ell ^ {2} droitetarrow ell ^ {2}, quad (xi _ {n}) _ {nin mathbb {n}} mapping (a_ {n} mpi _ {n}) _ {nin mathbb {n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Un opérateur stable et linéaire sur le rêve de Hilbert

${Displaystyle ell ^ {2}}$

les conséquences carrées et flées et c’est

${displayStyle Sigma (t) = {overline {{a_ {n};, nin mathbb {n}}}}}$

la fin du montant des épisodes. En particulier, chaque sous-ensemble compact vient de

${displaystyle mathbb {C} }$

également comme spectre d’un opérateur. Est

${displaystyle k}$

Une telle quantité, choisissez une quantité partielle dense et dénombrable

${displayStyle {a_ {n};, nin n} sous-ensemble k}$

Et considérez l’opérateur ci-dessus.

Spectres d’opérateurs compacts [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Les opérateurs compacts représentent des quantités limitées de la salle de Banach aux compacts relatifs de la même salle de Banach. Cette classe d’opérateurs constitue une Banachalgebra en soi, qui forme également un idéal idéal dans l’algèbre de tous les opérateurs limités.

Le spectre des opérateurs compacts est étonnamment simple dans le sens rapide ne se compose que de leurs propres valeurs. Ce résultat remonte à Frigyes Riesz et est précisément:

Pour un opérateur compact

${displayStyle t}$

Sur une salle de banach infinie-dimension

${displaystyle x}$

Applique que

${DisplayStyle 0}$

une valeur spectrale et chacun

${DisplayStyle Lambda dans Sigma (t) setminus {0}}$

un valeurs propres avec multiplicité finie est, c’est-à-dire le cœur de

${displayStyle t-Lambda, mathrm {id}}$

Est enfin dimensionnel, et

${DisplayStyle Sigma (t)}$

n’a aucun de

${DisplayStyle 0}$

Point de serrage différent.

Spectres d’opérateurs auto-coodés [ Modifier | Modifier le texte source ]]

En mécanique quantique, les opérateurs auto-jaqués apparaissent dans les salles d’aide comme formalisation mathématique des tailles observables, donc appelés observables. Les éléments du spectre sont des valeurs mesurées possibles. Par conséquent, les déclarations suivantes sont d’une importance fondamentale ^[7] :

Caractéristiques [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Le spectre d’un opérateur auto-coodé est en

${displayStyle Mathbb {r}}$

contenir. Est

${displayStyle t}$

Selbstadié et limité, son spectre est dans l’intervalle

${affichestyle gauche [-left | tright |, gauche | tright | droite]}$

et contient l’un des points de bord. Est

${displaystyle lambda dans mathbb {c} setminus mathbb {r}}$

Alors s’applique

${displaystyle gauche | gauche (t-lambda, mathrm {id} droit) ^ {- 1} droit | leq {frac {1} {gauche | mathrm {im}, lambda droite |}}}$

.

Les propres espaces sur différents propriétaires sont orthogonaux ensemble. Les opérateurs Selbstadiés sur un Hilbertraum séparable ont donc au plus dénombrable. Le spectre résiduel d’un opérateur auto-coodé est vide. ^[8]

Est

${displayStyle t}$

Un opérateur auto-coodé, qui peut également être un opérateur illimité, dans un rêve de Hilbert

${displaystyle h}$

, donc cet opérateur est un groupe spectral

${displayStyle {e_ {lambda}, |, lambda dans mathbb {mathbb {r}}}}$

Des projections orthogonales

${displaystyle e_ {lambda} colon hrightarrow h}$

attribué. Pour chaque

${Displaystyle s’il vous plaît$

Est la fonction

${displaystyle lambda mapsto languel e_ {lambda} x | xrangle}$

La fonction de distribution d’une mesure

${displayStyle mu _ {x}}$

sur

${displayStyle Mathbb {r}}$

. Les propriétés de ces dimensions donnent naissance à la définition des pièces partielles auxquelles l’opérateur peut être restreint. Les spectres de ces restrictions font alors partie du spectre de

${displayStyle t}$

. Cela vous donne de nouvelles descriptions des parties du spectre déjà mentionnées ci-dessus et d’autres subdivisions. ^[9]

Le spectre de points [ Modifier | Modifier le texte source ]]

${DisplayStyle h_ {p} (t): = {xin hmid {text {il y a un montant comptable}} asubset mathbb {r} {text {with}} mu _ {x} (mathbb {r} setminus a) = 0}}$

signifie un espace partiel instable de

${displaystyle h}$

concernant.

${displayStyle t}$

. Ça s’applique

${displayStyle Sigma (t | _ {h_ {p} (t)}) = {overline {sigma _ {p} (t)}}}$

c’est-à-dire que le spectre de la restriction est la conclusion du spectre ponctuel de

${displayStyle t}$

.

Est applicable

${displayStyle h = h_ {p} (t)}$

, aussi

${displayStyle Sigma (t) = {overline {Sigma _ {p} (t)}}}$

Et tu dis

${displayStyle t}$

Avoir un Reine Point .

Le spectre constant [ Modifier | Modifier le texte source ]]

${DisplayStyle h_ {c} (t): = {xin hmid mu _ {x} ({lambda}) = 0 {text {pour tout}} lambda en mathbb {r}}$

signifie une zone partielle constante de

${displaystyle h}$

concernant.

${displayStyle t}$

.

${displayStyle Sigma _ {c} (t) = Sigma (t | _ {h_ {c} (t)})}$

Est le spectre constant de

${displayStyle t}$

.

Est applicable

${displayStyle h = h_ {c} (t)}$

, aussi

${displayStyle Sigma (t) = Sigma _ {c} (t)}$

Et tu dis

${displayStyle t}$

Avoir un spectre purement stable .

Le spectre singulier [ Modifier | Modifier le texte source ]]

${DisplayStyle h_ {s} (t): = {xin hmid {text {il y a un lebesgue-nullmenge} nsubset mathbb} {text {with}} mu _ {x} (mathbb} setminus n) = 0}}$

signifie partie singulière de

${displaystyle h}$

concernant.

${displayStyle t}$

. La mesure

${displayStyle mu _ {x}}$

à un

${displayStyle xin h_ {s} (t)}$

est alors singulier par rapport au gars de la vie.

${displayStyle Sigma _ {s} (t) = Sigma (t | _ {h_ {s} (t)})}$

Est le spectre singulier de

${displayStyle t}$

.

Est applicable

${displayStyle h = h_ {s} (t)}$

, aussi

${displayStyle Sigma (t) = Sigma _ {s} (t)}$

Et tu dis

${displayStyle t}$

Avoir un spectre purement singulier .

Le spectre singulier [ Modifier | Modifier le texte source ]]

${displayStyle h_ {sc} (t): = h_ {s} cap h_ {c}}$

signifie une zone partielle singulière de

${displaystyle h}$

concernant.

${displayStyle t}$

.

${displayStyle Sigma _ {sc} (t) = Sigma (t | _ {h_ {sc} (t)})}$

Est le spectre singulier de

${displayStyle t}$

.

Est applicable

${displayStyle h = h_ {sc} (t)}$

, aussi

${displayStyle Sigma (t) = Sigma _ {sc} (t)}$

Et tu dis

${displayStyle t}$

Avoir un spectre régulier purement singulier .

Le spectre absolu [ Modifier | Modifier le texte source ]]

${DisplayStyle h_ {ac} (t): = {xin hmid mu _ {x} (n) = 0 {texte {pour chaque tasse de leesgue null} nsubset mathbb {r}}}$

signifie une zone partielle absolue de

${displaystyle h}$

concernant.

${displayStyle t}$

. La mesure

${displayStyle mu _ {x}}$

à un

${displayStyle xin h_ {ac} (t)}$

est alors absolument debout par rapport au gars de la vie.

${displayStyle Sigma _ {ac} (t) = Sigma (t | _ {h_ {AC} (t)})}$

est le spectre absolu de

${displayStyle t}$

.

Est applicable

${displayStyle h = h_ {ac} (t)}$

, aussi

${displayStyle Sigma (t) = Sigma _ {ac} (t)}$

Et tu dis

${displayStyle t}$

Avoir un Spectre des Absolutteties propres .

Relations des spectres [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Ça s’applique

${displayStyle h_ {c} = h_ {p} ^ {perp}}$

,

${displayStyle h_ {ac} = h_ {s} ^ {perp}}$

,

${displayStyle h_ {s} = h_ {p} oplus h_ {sc}}$

. Il en résulte

${displayStyle Sigma (t) = {overline {sigma _ {p} (t)}} Cup Sigma _ {sc} (t) Cup Sigma _ {AC} (t)}$

${displayStyle Sigma (t) = {overline {sigma _ {p} (t)}} Cup Sigma _ {C} (t)}$

${displayStyle Sigma (t) = Sigma _ {s} (t) Cup Sigma _ {AC} (t)}$

Les parties

${displayStyle Sigma _ {c} (t)}$

,

${displayStyle Sigma _ {s} (t)}$

,

${displayStyle Sigma _ {sc} (t)}$

et

${displayStyle Sigma _ {ac} (t)}$

sont complets car ce sont des spectres. Cela ne s’applique généralement pas au spectre de points.

Si l’on caresse l’exigence supplémentaire de la limitation de l’inverse, la définition ci-dessus peut également être appliquée aux éléments d’une algèbre opérationnelle. Une infusion opératoire est généralement comprise comme une Banachable Brae avec un seul et l’inversion des éléments n’a de sens que dans ce contexte que si l’inverse est un élément de l’algèbre. Étant donné que ces opérateurs ne sont définis par leur effet sur aucune salle vectorielle (c’est-à-dire en fait ne fonctionnent pas du tout), il n’y a pas non plus de concept A-priori de limitation de ces opérateurs. Cependant, cela peut toujours être utilisé comme opérateurs linéaires sur une salle vectorielle représenter , par exemple comme L’opérateur de multiplication Sur le Banachalgebra lui-même. Ensuite, ces opérateurs deviennent des opérateurs limités dans une salle de Banach. En particulier, le montant des opérateurs limités constitue l’exemple standard d’une algèbre opérationnelle. Les opérateurs compacts mentionnés précédemment forment également une algèbre d’opérateur. Par conséquent, la théorie spectrale des obligations banalables comprend ces deux classes d’opérateurs linéaires.

Exemples [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Matrices [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Dans l’algèbre linéaire, les matrices N × N avec des entrées complexes forment une algèbre en ce qui concerne l’addition et le scalmultation (composant) et la multiplication matricielle. Le

${displaystyle (ntimes n)}$

-Matzen peut donc à la fois à la fois comme exemple de Opérateurs réels en leur capacité d’images linéaires du

${displayStyle Mathbb {c} ^ {n} à mathbb {c} ^ {n}}$

peut être visualisé, ainsi qu’un exemple d’algèbre opérationnelle, bien que dans ce contexte, il n’est pas pertinent de quelle forme d’opérateur est choisie pour les matrices. Depuis toutes les images linéaires d’un espace finalement dimensionnel limité sont que ce terme peut être négligé dans la définition.

Une matrice

${displaystyle a}$

est invertable s’il y a une matrice

${displaystyle b}$

donne pour que

${displayStyle acdot b = bcdot a = i}$

(Une matrice unitaire). C’est exactement le cas si le déterminant ne disparaît pas:

${DisplayStyle it aneq 0}$

. D’où un nombre

${Displaystyle zin mathbb {c}}$

Puis un Valeur spectrale , si

${displayStyle det (a-zi) = 0}$

est applicable. Mais comme c’est précisément le polynôme caractéristique de la matrice

${displaystyle a}$

dans

${displayStyle avec}$

est est

${displayStyle avec}$

exactement alors une valeur spectrale si

${displayStyle avec}$

est une particularité de la matrice. Dans l’algèbre linéaire, le spectre d’une matrice fait donc référence à la quantité de la valeur propre.

Les fonctions [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Les fonctions constantes sur l’intervalle

${DisplayStyle [0.1]}$

Avec des valeurs dans les nombres complexes

${displaystyle mathbb {C} }$

Formez un BanachableGebra (par exemple avec la norme des Supremums comme norme, qui n’est pas de difficulté ici), avec la somme de deux fonctions et le produit de deux fonctions points de point est défini:

${displayStyle (f + g) (x) = f (x) + g (x) quad (fcdot g) (x) = f (x) cdot g (x).}$

Une fonction

${displaystyle f}$

Ensuite, inversez cette algèbre lorsqu’il existe une fonction différente

${displaystyle g}$

donne pour que

${displayStyle fcdot g, (= gcdot f) = 1}$

(Une fonction) est, c’est-à-dire si c’est une fonction

${displaystyle g}$

cadeau dont les valeurs sont les valeurs réciproques de

${displaystyle f}$

sont. Vous pouvez rapidement voir qu’une fonction est invertible quand elle pas La valeur de la fonction

${DisplayStyle 0}$

et dans ce cas, il a les valeurs fonctionnelles inverses (valeurs réciproques) de la fonction d’origine:

${displayStyle f ^ {- 1} (x) = (f (x)) ^ {- 1} = 1 / f (x)}$

, si

${displayStyle f (x) neq 0}$

global.

Un numéro

${Displaystyle zin mathbb {c}}$

Ainsi est un Valeur spectrale Si la fonction

${displaystyle f-z}$

n’est pas invertable, c’est-à-dire la valeur fonctionnelle

${DisplayStyle 0}$

possède. Bien sûr, c’est exactement le cas si

${displayStyle avec}$

Une valeur de fonction de

${displaystyle f}$

est. Le spectre d’une fonction est donc exactement votre image.

Caractéristiques [ Modifier | Modifier le texte source ]]

La théorie spectrale des éléments de la frontière banachable avec un est une abstraction de la théorie des opérateurs linéaires limités dans une salle de Banach. Les exemples d’introduction sont des cas particuliers de cette théorie, avec le premier exemple de spécification de la norme des fonctions considérées. Vous choisissez z. B. La pièce cubique des fonctions constantes dans un espace compact avec la norme des supramims, cet exemple fournit le cas le plus important de Abel Banachalgebra avec un. Le deuxième exemple trouve sa place dans cette théorie comme un exemple typiquement dimensionnel de Banachalgebra non en Aabel, selon lequel une norme appropriée pour les matrices doit être sélectionnée. Dans le premier cas, le spectre d’un opérateur était la plage de valeur et, puisque les fonctions considérées sont régulièrement sur un compact, un sous-ensemble compact dans

${displaystyle mathbb {C} }$

. Dans le deuxième cas, le spectre est une quantité finie de points dans

${displaystyle mathbb {C} }$

Et donc également compact. Ce fait peut également être prouvé dans le cas abstrait:

Le spectre

${DisplayStyle Sigma (a)}$

un élément

${displaystyle a}$

Une algèbre de Banach avec une est toujours non vide (voir la phrase de Gelfand-Mazur) et compacte.

De cette phrase suit immédiatement qu’il y a un montant de la plus grande valeur spectrale, car le supremum

${displayStyle r (a) = sup gauche {| z |: zin Sigma (a) droite}}$

est accepté sur le spectre compact. Cette valeur est appelée le rayon spectral de

${displaystyle a}$

. Dans l’exemple de l’algèbre des fonctions constantes, vous pouvez voir immédiatement que le rayon spectral correspond à la norme des éléments. Cependant, il est connu sur l’algèbre linéaire que cela ne s’applique pas aux matrices en général. B. la matrice

${displayStyle a = {begin {Pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0end {Pmatrix}}}$

Seul le Valon Eigen

${DisplayStyle 0}$

a, et donc est

${displayStyle r (a) = 0}$

, mais la norme de la matrice (peu importe laquelle) pas

${DisplayStyle 0}$

. Le rayon spectral est généralement plus petit que la norme, mais il s’applique

Phrase: dans une algèbre de Banach avec une pour chaque élément

${displaystyle a}$

La valeur limite

${Displaystyle lim | a ^ {n} | ^ {1 / n}}}$

et est le même Rayon spectral depuis

${displaystyle a}$

.

• En mécanique quantique, le spectre de l’opérateur de Hamilton est particulièrement traité. Ce sont les possibles Valeurs énergétiques qui peut être mesuré sur le système considéré. L’opérateur de Hamilton est (et parce qu’il détermine la dynamique du système, voir la structure mathématique de la mécanique quantique) un cas spécial particulièrement important pour la principalement illimité ^[dix] Opérateurs d’auto-jungle sur le rêve de Hilbert. Les éléments de cette pièce représentent les états mécaniques quantiques, tandis que les opérateurs auto-jaqués, en revanche, les observables (variables mesurables). Les garanties d’auto-cub de l’opérateur, comme déjà mentionné ci-dessus, que les valeurs mesurées possibles (valeurs spectrales) sont des nombres exceptionnellement réels. Peut être ajouté à ceci ou 2.), qui est lié au type spectral:

Premièrement, le spectre se désintègre en une proportion décrite par les physiciens comme discrets (Genauer mathématique: en cela Indiquer -1.) -, qui peut également être non discret, analogue aux nombres rationnels), ce qui correspond à la mesure ponctuelle (“différences finies”, contrairement au “différentiel”) d’une fonction monotone instable, une fonction dite de saut; et deuxièmement dans le spectre continu SO Spectre absolument continu , -2.) -, analogue au différentiel d’une fonction lisse strictement monotone strictement monotone.) La transition de 1.) après 2.) correspond à la transition de la sommation à l’intégrale,

${displayStyle sum _ {i} f_ {i} à int dlambda f (lambda) ,,}$

Qui peut être fait par les sommes de Riemann.

Dans de rares cas, par exemple avec des segments accidentels organisés hiérarchiquement d’énergie potentielle ou avec certains champs magnétiques, il existe également une troisième partie spectrale, le spectre soi-disant singulier-continu, analogue à une fonction du cantor monotone, une fonction qui se développe, mais nulle part, peut être différenciée (par exemple la soi-disant escaliers diable).

• Dans la théorie quantique algébrique, un résumé observable est introduit comme des éléments que l’on appelle C * albala (frontière banalable spéciale). Sans spécifier une représentation concrète de cette algèbre comme de nombreux opérateurs linéaires sur un rêve de Hilber, le calcaire spectral de ces albums permet ensuite les valeurs mesurées possibles des observables. Les conditions du système physique ne sont alors pas introduites comme vecteurs dans le Hilbertraum, mais comme fonctionnel linéaire sur l’algèbre. Les théories classiques, telles que les mécanismes classiques (statistiques), peuvent être considérées dans cette image comme des cas spéciaux dans lesquels l’algèbre C * est.

• David Borthwick: Théorie spectrale: concepts et applications de base (= Textes diplômés en mathématiques . Groupe 284 ). Springer, Cham, Suisse 2020, ISBN 978-3-03038001-4, doi: 10 1007 / 978-3-030-38002-1 (Anglais).
• Gilbert Helmberg: Introduction à la théorie spectrale dans l’espace Hilbert . Hrsg.: H. A. Lauwerier, W. T. Koiter (= Mathématiques et mécaniques appliquées . Groupe 6 ). North-Holland Publishing Company, Londres 1969 (Englisch, Elsevier.com ).
• Valter Moretti: Théorie spectrale et mécanique quantique (= Unitext . Groupe 110 ). Springer International Publishing, Cham 2017, ISBN 978-3-319-70705-1, doi: 10 1007 / 978-3-319-70706-8 .
• Barry Simon: Un cours complet en analyse. Partie 4: Théorie de l’opérateur . AMS, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island 2015, ISBN 978-1-4704-1103-9 (Englisch).
• Gerald Teschl: Méthodes mathématiques en mécanique quantique: avec des applications aux opérateurs de Schrödinger (= Études supérieures en mathématiques . Volume 157). 2e édition. American Mathematical Society, Providence 2014, ISBN 978-1-4704-1704-8 (anglais, Univie.ac.at ).

1. ↑ David Borthwick: Théorie spectrale: concepts et applications de base (= Textes diplômés en mathématiques . Groupe 284 ). Springer, Cham 2020, ISBN 978-3-03038002-1.
2. ↑ Reinhold Meise, Dietmar Vogt: Introduction à l’analyse fonctionnelle , Vieweg, Braunschweig 1992, ISBN 3-528-07262-8, §17
3. ↑ Włodzimierz mlak: Espaces Hilbert et théorie de l’opérateur , Polish Scientific Publishers (1991), ISBN 83-01-09965-8, chapitre 3.4
4. ↑ Hellmut Baumgärtel, Manfred Wollenberg: Théorie de la diffusion mathématique . Birkhäuser, Bâle 1983, ISBN 3-7643-1519-9, S. 54 .
5. ↑ Harro Heuser: Analyse fonctionnelle: théorie et application . 3e éd., B.G. Teubner, Stuttgart 1992. ISBN 3-519-22206-X, pp. 520–521.
6. ↑ Helmut Fischer, Helmut Kaul: Mathématiques pour les physiciens, volume 2: équations différentielles ordinaires et partielles, fondations mathématiques de la mécanique quantique . 2e édition. B.G. Teubner, Wiesbaden 2004, ISBN 3-519-12080-1, §21 Section 5.5 et §23 Section 5.2, S. 572–573, 665–666 .
7. ↑ H. Tricebel: Analyse plus élevée , Verlag Harri allemand, ISBN 3-87144-583-5, §18: Le spectre des opérateurs auto-coodés
8. ↑ Wlodzimierz mlak: Espaces Hilbert et théorie de l’opérateur , Polish Scientific Publishers (1991), ISBN 83-01-09965-8, Théorème 4.1.5
9. ↑ J. Wearmann: Opérateurs linéaires dans Hilber Dreams , Teubner-Verlag (1976), ISBN 3-519-02204-4, chapitre 7.4: Spectres d’opérateurs auto-coodés
10. ↑ C’est déjà une simplification significative si l’opérateur n’est qu’un côté, comme vers le haut, illimité, mais est limité après l’autre. Sinon, vous serez conduit à des constructions auxiliaires telles que le soi-disant Diracsee afin de donner certaines tailles de sens physique.