Fermi-Directeur-statistique – Wikipedia

Posted on April 3, 2018 by lordneo

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Le Fermi-Dirac-statistics (Après le physicien italien Enrico Fermi ^[d’abord](1901–1954) et le physicien britannique Paul Dirac ^[2](1902–1984)) est un concept de statistiques quantiques physiques. Il décrit le comportement macroscopique d’un système qui se compose de nombreuses particules du type de fermion et s’applique. B. pour les électrons qui assurent la conductivité électrique dans les métaux et les semi-conducteurs.

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Les points de départ des statistiques de Fermi-Dirac sont:

Aucune des conditions des particules individuelles ne peut être occupée avec plus d’une particule (principe Pauli).
Si vous échangez deux particules ensemble, vous n’obtenez pas un nouvel état (qui serait compté dans la considération statistique), mais le même qu’auparavant (principe d’indispensabilité de la même particule).

Le Distribution de Fermi indique quelle probabilité

{displayStyle in}

$W$ Dans un fermigas idéal à une température absolue donnée

{displayStyle t}

$T$ Un état d’énergie

{displaystyle e}

$E$ est occupé par l’une des particules. En physique statistique, la distribution de Fermi des statistiques de Fermi-Dirac pour des fermions similaires pour l’important cas spécial de la Liberté d’interaction dérivé. ^[d’abord]

Pour la description complète des statistiques de Fermi-Dirac, voir les statistiques quantiques. Pour une dérivation simplifiée, voir Fermigas idéal.

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Distribution de Fermi pour différentes températures,
augmentation de l’arrondissement avec l’augmentation de la température
(Ligne rouge: T = 0 k)

Table of Contents

Formule générale [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Dans un système de température

{displaystyle t!,}

$T!,$ La distribution Fermi est-elle

{displaystyle w (e)}

$W(E)$ qui décrit la probabilité d’occupation:

{displayStyle w (e) = {frac {1} {exp {Left ({frac {e-mu} {k_ {mathrm {b}} t}} droit)} + 1}}}

avec

L’énergie

{displaystyle e,}

$E,$ Calculé à partir de l’état une partie le plus bas possible, signifie

{displayStyle e_ {rm {f}},}

${displaystyle E_{rm {F}},}$ Aussi Fermi Energy. La probabilité d’occupation

{displayStyle in}

$W$ Pour un état avec l’énergie du niveau de Fermi

{displayStyle e = e_ {rm {f}}!,}

${displaystyle E=E_{rm {F}}!,}$ Est de toutes les températures:

{displayStyle w (e = e_ {rm {f}}) = {frac {1} {mathrm {e} ^ {0} +1}} = {frac {1} {2}}.}

À l’énergie

{displaystyle e,}

$E,$ densité partielle dominante

{displaystyle Langle n (e) Hangle}

$langle n(E)rangle$ Pour calculer, par ex. B. Pour les électrons dans un métal, la distribution de Fermi doit encore être avec la densité d’état

{displayStyle d (e)!,}

$D(E)!,$ sont multipliés:

{DisplayStyle Langle n (e) Hangle = w (e) cdot d (e).}

Au point zéro de température absolue [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Au point zéro de température absolue

{displayStyle t = 0, mathrm {k}}

$T=0,{mathrm {K}}$ Le gaz Fermi est-il dans son ensemble dans son état énergétiquement plus profond possible, c’est-à-dire dans l’état de base du système en plusieurs parties. Depuis (avec un nombre suffisant de particules), selon le principe Pauli, toutes les particules ne peuvent pas occuper l’état de base en une seule pièce, même au point zéro de la température absolue

{displayStyle t = 0, mathrm {k}}

$T=0,{mathrm {K}}$ Les pièces sont situées dans des états animés d’une partie. Cela peut être clairement fait avec l’idée d’un Fermi-vede Décrire: Chaque fermion ajouté occupe l’état énergétique le plus bas possible, qui n’est pas encore occupé par un autre fermion. La «hauteur de remplissage» est déterminée par la densité des conditions occupables et le nombre de particules à régler.

En conséquence, la distribution de Fermi pour la température

{displayStyle t = 0, mathrm {k}}

$T=0,mathrm {K}$ Un bon saut dans l’énergie de Fermi

{displayStyle e_ {mathrm {f}} = mu!,}

$E_{{mathrm {F}}}=mu !,$ , c’est pourquoi aussi Proches et ou Frontière de Fermi est mentionné (voir illustration).

Toutes les conditions avec ${displaystyle e$
Aucune des conditions avec ${displayStyle e> e_ {rm {f}}}$

Le niveau de Fermi à

{displayStyle t = 0, mathrm {k}}

$T=0,{mathrm {K}}$ est donc défini par le nombre et la distribution énergétique des conditions et le nombre de fermions qui doivent être adaptés dans ces conditions. Seule une différence d’énergie apparaît dans la formule. Si vous spécifiez la taille de l’énergie de Fermi seule, c’est la différence d’énergie des plus élevés occupés à l’état en une partie le plus profond possible. Pour illustrer ou pour estimer rapidement les effets dépendants de la température, cette taille est souvent comme une valeur de température – le De modélisation de Fermi – Exprimé:

{displayStyle t_ {mathrm {f}} = {frac {e_ {mathrm {f}}} {k_ {mathrm {b}}}}!,}

Avec la température de Fermi, l’énergie thermique serait

{displayStyle k_ {mathrm {b}} t!,}

$k_{{mathrm {B}}}T!,$ égal à l’énergie de Fermi. Ce terme n’a rien à voir avec la température réelle des fermions, il ne sert qu’à caractériser les conditions énergétiques.

À des températures finies [ Modifier | Modifier le texte source ]]

La distribution de Fermi donne la probabilité d’occupation à l’état d’équilibre à la température

{displayStyle t> 0, mathrm {k}}

${displaystyle T>0,mathrm {K} }”></span>à. A partir de <span class=$

{displayStyle t = 0, mathrm {k}}

$T=0,{mathrm {K}}$ S’il y a du chauffage, des états au-dessus de l’énergie de Fermi

{displayStyle e_ {mathrm {f}} (t = 0, mathrm {k})}

${displaystyle E_{mathrm {F} }(T=0,mathrm {K} )}$ rempli de fermions. Pour cela, le même nombre de conditions reste vide sous l’énergie de Fermi et sont des trous désigné.

Le bord Fermi Sharp est autour d’un

{displayStyle e_ {mathrm {f}}}

$E_{mathrm {F} }$ Intervalle situé de la largeur globale

{displayStyle environ 4k_ {mathrm {b}} t}

${displaystyle approx 4k_{mathrm {B} }T}$ Arrondi (“adoucis”, voir Fig.). Les conditions avec des énergies plus petites sont encore presque entièrement occupées (

{displayStyle wlessapprox 1}

${displaystyle Wlessapprox 1}$ ), les conditions pour les énergies supérieures seulement très faibles (

{DisplayStyle 0

${displaystyle 0<Wll 1}$ ).

Puisque le même nombre de particules est toujours sur les conditions possibles avec la densité d’état

{displayStyle d (e)!,}

$D(E)!,$ L’énergie de Fermi peut être distribuée avec la température: si la densité d’état dans la zone des particules excitées est plus petite qu’avec les trous, l’énergie de Fermi augmente, dans le cas opposé, il baisse.

Dans la plage de températures

{displayStyle tll t_ {mathrm {f}},}

${displaystyle Tll T_{mathrm {F} },}$ Si le système est appelé Gas Fermi dégénéré, car l’occupation des conditions est largement déterminée par le principe Pauli (principe d’exclusion). Cela conduit à toutes les conditions avec

{displaystyle e

${displaystyle E<E_{mathrm {F} }}$ ont la même probabilité (de presque un) à occuper; Cela affecte un secteur énergétique, important par rapport à l’intervalle d’adoucissement.

Avec des énergies

{displaystyle e}

$E$ D’au moins quelques-uns

{displayStyle k_ {mathrm {b}} t}

$k_{mathrm {B} }T$ au-dessus de

{displayStyle e_ {mathrm {f}}}

$E_{mathrm {F} }$ , d. H. pour

{displayStyle e-e_ {mathrm {f}} gg k_ {mathrm {b}} t}

${displaystyle E-E_{mathrm {F} }gg k_{mathrm {B} }T}$ , la distribution de Fermi peut être approchée par la distribution classique de Boltzmann:

{displayStyle w (e) propo exp {Left (- {frac {e-e_ {mathrm {f}}} {k_ {mathrm {b}} t}} droit)}}

À des températures très élevées [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Les “températures très élevées” sont celles bien au-dessus de la température de Fermi, c’est-à-dire H.

{displayStyle tgg t_ {mathrm {f}} leftrightarrow k_ {mathrm {b}} tgg e_ {mathrm {f}}}

${displaystyle Tgg T_{mathrm {F} }Leftrightarrow k_{mathrm {B} }Tgg E_{mathrm {F} }}$ . Parce que cela rend l’intervalle d’adoucissement très grand, de sorte que même pour les énergies bien au-dessus de l’énergie de Fermi, la probabilité d’occupation est sensiblement différente de zéro, les paiements de particules conduisent à l’énergie Fermi en dessous du niveau occupable le plus bas. Le gaz Fermi se comporte alors comme un gaz classique, il n’est pas dégénéré.

Pour les électrons de ligne dans un métal, l’énergie Fermi est

{displayStyle e_ {rm {f}}!,}

${displaystyle E_{rm {F}}!,}$ Pour un peu d’électron volt, selon une température Fermi

{displayStyle t_ {mathrm {f}}!,}

$T_mathrm{F} !,$ d’environ 10 000 K. Cela signifie que l’énergie thermique

{displayStyle k_ {mathrm {b}} t}

$k_{mathrm {B} }T$ est beaucoup plus petit que la largeur typique de la bande de ligne. Il s’agit d’une gaz électronique dégénéré . La contribution des électrons à la capacité thermique est donc déjà négligeable à température ambiante et peut être prise en compte de la théorie des perturbations. La dépendance à la température de l’énergie de Fermi est très faible (zone MEV) et est souvent négligée.

Pour les semi-conducteurs et les isolateurs, le niveau de Fermi réside dans la zone interdite. Il y a donc dans la zone du bord Fermi Non Conditions, dont la ligne peut dépendre clairement de la température. Cela signifie qu’à une température

{displayStyle t = 0, mathrm {k}}

$T=0,mathrm {K}$ La bande de valence entièrement occupée par les électrons et la bande de ligne est vacante, et qu’elle est à

{displayStyle t> 0, mathrm {k}}

${displaystyle T>0,mathrm {K} }”></span>Il y a très peu de trous ou d’électrons animés. En introduisant des atomes étrangers avec des porteurs de charge supplémentaires (donateur ou ordre d’acceptation), le niveau de Fermi peut être déplacé vers le bas ou vers le haut, ce qui augmente considérablement la conductivité. Dans ce cas, le niveau de Fermi se déplace également de manière significative avec la température. Travaille donc z. B. circuits électroniques basés sur des semi-conducteurs (comme dans l’ordinateur) uniquement dans une plage de températures étroites. </p> <div class=$

État schématique, diagramme d’énergie et d’occupation pour un système de 7 niveaux d’énergie

{displayStyle e_ {1} dots e_ {7}}

De l’état qui dans le solde thermique (avec un fixe

{displaystyle t, n}

$T,N$ et volume

{DisplayStyle V}

$V$ ) l’énergie libre

{displayStyle f = e-TS}

$F=E-TS$ Un minimum accepte, les statistiques de Fermi-Dirac peuvent être dérivées d’une belle manière. Nous regardons ça

{displaystyle n}

$N$ Fermions – par exemple les électrons – que sur les niveaux

{displayStyle i = 1,2,3dots i}

$i=1,2,3dots I$ sont distribués. Les niveaux ont des énergies

{displayStyle e_ {1}, e_ {2}, e_ {3} Dots e_ {i}}

$E_{1},E_{2},E_{3}dots E_{I}$ et sont chacun

{DisplayStyle d_ {1}, d_ {2}, d_ {3} DOTS D_ {i}}}

$D_{1},D_{2},D_{3}dots D_{i}$ – Train dégénéré (voir Fig.), Par conséquent, maximum

{displayStyle d_ {i}}

$D_{i}$ Electrons enregistrés (principe Pauli). Le nombre d’électrons dans

{displayStyle i}

$i$ -Te le niveau est avec

{displaystyle n_ {i}}

$N_{i}$ désigné. Pour l’état macro du système, il n’est pas pertinent que le

{displaystyle n}

$N$ Électrons dans

{displayStyle i}

$i$ -PET NIVEAU est et lequel des

{displayStyle d_ {i}}

$D_{i}$ Conditions dedans. Le macro-état est donc entièrement dû à la conséquence des chiffres

{displayStyle n_ {1}, n_ {2}, points}

$N_{1},N_{2},dots$ certainement.

Ce qui suit s’applique à toute distribution des électrons au niveau:

{displayStyle {begin {aligned} n & = sum _ {i = 1} ^ {i} n_ {i} & qquad (1) \ e & = sum _ {i = 1} ^ {i} n_ {i} e_ {i} & qquad (2) \ s & = k_ {rm {b} ignoré}}}

L’équation (1) reflète le nombre total de particules, qui doit être maintenue constante, tandis que l’individu

{displaystyle n_ {i}}

$N_{i}$ à varier au minimum de

{displaystyle f}

$F$ trouver. L’équation (2) donne l’énergie appartenant à la distribution actuelle

{displaystyle e}

$E$ du système quant à la formule pour

{displaystyle f}

$F$ doit être utilisé. L’équation (3) est (selon Ludwig Boltzmann) l’entropie de l’état du système (macro état), par lequel

{textstyle w = prod _ {i = 1} ^ {i} w_ {i}}

${textstyle W=prod _{i=1}^{I}W_{i}}$ La probabilité thermodynamique de la conséquence pertinente du nombre d’occupation

{displayStyle n_ {1}, n_ {2}, points}

$N_{1},N_{2},dots$ , indiqué, c’est-à-dire le nombre de distributions possibles (micro-états) de chaque

{displaystyle n_ {i}}

$N_{i}$ Électrons sur

{displayStyle d_ {i}}

$D_{i}$ Lieux pour tous les niveaux

{displayStyle i = 1,2,3dots i}

$i=1,2,3dots I$ ensemble.

Pour trouver la distribution dans laquelle par variation du

{displaystyle n_ {i}}

$N_{i}$ Dans l’état secondaire

{displayStyle n = mathrm {const}}

${displaystyle N=mathrm {const} }$ L’énergie libre

{displaystyle f}

$F$ Nous utilisons la méthode des multiplicateurs Lagrange. Il en résulte

{displayStyle {frac {partiel f} {partiel n_ {i}}} – lambda {frac {partiel n} {partiel n_ {i}}} = 0}

Dans elle

{displaystyle lambda}

$lambda$ le (de

{displayStyle i}

$i$ Indépendant) Lagrange Multiplicateur. La dérivation

{displayStyle {frac {partiel n} {partiel n_ {i}}} = 1}

Puisque chacun

{displaystyle n_ {i}}

$N_{i}$ Se produit exactement dans un linéaire. Pour calculer la dérivation

{displayStyle {tfrac {partial f} {partiel n_ {i}}}}

${tfrac {partial F}{partial N_{i}}}$ La formule explicite pour

{DisplayStyle S}

$S$ nécessaire:

{displayStyle s = k_ {rm {b}} ln w = k_ {rm {b}} ln prod _ {i = 1} ^ {i} w_ {i} = k_ {rm {b}} sum _ {i = 1} ^ {i} ln w_ {i}}}

Y a-t-il

{displayStyle {begin {aligné} w_ {i} & = {binom {d_ {i}} {n_ {i}}} \ & = {frac {d_ {i}!} {n_ {i}! [d_ {i} -n_ {i}]!

Le coefficient binomial, c’est-à-dire H. Le nombre de possibilités sous

{displayStyle d_ {i}}

$D_{i}$ Objets

{displaystyle n_ {i}}

$N_{i}$ pour sélectionner différent.

Avec l’aide de la formule Stirling simplifiée

{DisplayStyle Ln K! Environ Kln K-K}

$ln k!approx kln k-k$ SUIVANT SUIVANT

{displayStyle {begin {aligned} ln w_ {i} & approx d_ {i} ln d_ {i} -d_ {i} -n_ {i} ln n_ {i} + n_ {i} – [d_ {i} -n_ {i}] ln [d_ {i} – {i} -N_ {i}] \ & = d_ {i} ln d_ {i} -n_ {i} ln n_ {i} – [d_ {i} -n_ {i}] ln [d_ {i} -n_ {i}] end {alignement}}}}

Et ainsi

{displayStyle {begin {aligned} {frac {partial ln w_ {i}} {partiel n_ {i}}} & approx -ln n_ {i} -1 + ln [d_ {i} -n_ {i}] + 1 \ & = – ln n_ {i} + ln [d_ {i} ln ([d_ {i} / n_ {i} -1]). end {aligné}}}

L’équation globale (2) est trop

{displayStyle lambda = {frac {partial f} {partiel n_ {i}}} = {frac {partiel e} {partiel n_ {i}}} – t {frac {partiel s} {partial n_ {i}}} = e_ {i} -K_ {b} ln w_ {i}} {partiel n_ {i}}} = e_ {i} -k_ {rm {b}} tln ([d_ {i} / n_ {i} -1])}

Insérer le travers

{displayStyle f_ {i}: = {frac {n_ {i}} {d_ {i}}}}

$f_{i}:={frac {N_{i}}{D_{i}}}$ Étant donné la probabilité d’occupation

{displaystyle f_ {i}}

$f_{i}$ et résultats de conversion:

{displayStyle f_ {i} = {frac {1} {exp {frac {e_ {i} -lambda} {k_ {rm {b}} t}} + 1}}}

Il s’agit des statistiques de Fermi-Dirac. Le Lagrangemultiplier s’avère être leur potentiel chimique

{DisplayStyle mu = lambda}

$mu =lambda$ .

Dans les corps solides, la distribution de Fermi peut être très bien observée si la densité de remplissage électronique de la bande de ligne est mesurée en fonction de l’énergie. Un exemple particulièrement bon des Fermigas idéaux a de l’aluminium. De telles études peuvent également être utilisées pour déterminer la résolution d’un appareil de mesure en mesurant l’évolution de la distribution à une certaine température et en comparant la formule pour la distribution de Fermi.

D’autres exemples du sens voir l’énergie de Fermi.

Ellen Ivers-Tiffée, Waldemar von Münch: Matériaux de génie électrique . 10. Édition. Vieweg + Teubner, 2007, ISBN 978-3-8351-0052-7.
Michael Reisch: Composants à demi-conducteurs . 2e édition. Springer-Verlag, Berlin 2004, ISBN 3-540-21384-8.
U .. yre, a. On. Physique théorique de base – un aperçu concis . Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 2007, ISBN 978-3-540-36804-5 (anglais).

↑ ^un^b Enrico Fermi: Pour quantifier le gaz idéal à un anthomisation. Dans: Magazine pour la physique. Band 36, 1926, S. 902–912, Deux: 10.1007 / BF01400221 .
↑ P.A.M. Dirac: Sur la théorie de la mécanique quantique. Dans: Actes de la Royal Society de Londres. Série A Band 112, 1926, S. 661–677, Deux: 10.1098 / rspa.1926.0133 .

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