Numéro albraique – Wikipedia

La racine carrée de 2 est un numéro algébrique, car c’est une solution à l’équation

{displaystyle x ^ {2} -2 = 0}

En mathématiques en est un numéro algébrique

{displaystyle x}

$x$ Un nombre réel ou complexe, le zéro d’un polynôme à partir du degré supérieur à zéro (polynôme non constant)

{DisplayStyle f (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + dotsb + a_ {1} x + a_ {0}}}}

Avec des coefficients rationnels

after-content-x4

{displayStyle a_ {k} dans mathbb {q}, k = 0, dotsc, n, a_ {n} neq 0}

${displaystyle a_{k}in mathbb {Q} ,k=0,dotsc ,n,a_{n}neq 0}$ , Solution de l’équation

{displayStyle f (x) = 0}

$f(x)=0$ , est. ^[d’abord]

Les nombres algébriques définis de cette manière forment un réel sous-ensemble

{displaystyle mathbb {a}}

$mathbb A$ les nombres complexes

{displaystyle mathbb {C} }

${displaystyle mathbb {C} }$ .
Apparemment, chaque numéro rationnel est

{displayStyle Q}

$q$ Algebraisch parce qu’ils sont l’équation

{displayStyle x-Q = 0}

$x - q = 0$ résout. Donc ça s’applique

{displayStyle mathbb {q} subsetneq mathbb {a} subsetneq mathbb {c}}

${displaystyle mathbb {Q} subsetneq mathbb {A} subsetneq mathbb {C} }$ .

Si un réel (ou un complexe général) n’est pas algébrique, il est appelé transcendant.

La définition également commune des nombres algébriques comme zéro de polynomes avec des coefficients entiers est équivalent à ce qui précède. ^[2]Chaque polynôme avec des coefficients rationnels peut être converti en un avec des coefficients complets par multiplication avec le capitaine des coefficients. Le polynôme résultant a les mêmes positions zéro que le polynôme de départ.

Le polynome avec des coefficients rationnels peut être trouvé NORMEN, En étant tous des coefficients à travers le coefficient

{displayStyle a_ {n}}

$a_{n}$ divisé. Zéro points de polynomes standardisés, dont les coefficients sont des complexes, est appelé Tous les nombres brisés ou Nombres algébriques entiers. Les chiffres tout abrégés forment un anneau inférieur des nombres algébriques, qui n’est pas factoriel. Pour le concept général de l’intégralité, voir l’intégralité (algèbre commutative).

Le concept du nombre algébrique peut être étendu à celui de l’élément algébrique par les coefficients du polynôme au lieu de

{displaystyle mathbb {q}}

$mathbb {Q}$ de tout corps.

Pour de nombreux examens des nombres algébriques, le degré défini ci-dessous et le polynôme minimal d’un nombre algébrique sont importants.

Est

{displaystyle x}

$x$ Un numéro algébrique qu’une équation algébrique

{DisplayStyle f (x) = x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + dotsb + a_ {1} x + a_ {0} = 0}

avec

{displaystyle ngeq 1}

$ngeq 1$ ,

{displayStyle a_ {k} dans mathbb {q}}

$a_k in mathbb{Q}$ accompli, mais pas une telle équation de moins d’équation, alors on est appelé

{displaystyle n}

$n$ le Diplômé depuis

{displaystyle x}

$x$ . Cela rend tous les nombres rationnels de grade 1. Toutes les racines carrées irrationnelles des nombres rationnelles proviennent de grade 2.

Le nombre

{displaystyle n}

$n$ est le degré de polynôme en même temps

{displaystyle f}

$f$ , la dite Minimalpolynoms depuis

{displaystyle x}

$x$ .

La quantité de nombres algébriques peut être compté ^[2]Et forme un corps.

Le corps des nombres algébriques a été achevé algébrique, c’est-à-dire. Autrement dit, chaque polynôme avec des coefficients algébriques n’a que zéro algébrique. Ce corps est un haut du corps algébrique minimal de

{displaystyle mathbb {q}}

$mathbb {Q}$ et c’est donc une conclusion algébrique de

{displaystyle mathbb {q}}

$mathbb {Q}$ . Vous l’écrivez souvent comme

{displayStyle {overline {mathbb {q}}}}

$overline{Q}$ (Pour «Conclusion algébrique de

{displaystyle mathbb {q}}

$mathbb {Q}$ “;; confondu avec d’autres termes finaux) ou comme

{displaystyle mathbb {a}}

$mathbb A$ (pour ” UN Nombres Lbreische »).

Au-dessus du corps des nombres rationnels et en dessous du corps des nombres algébriques, il y a un nombre infini de corps intermédiaire, comme la quantité de tous les nombres de la forme

{displaystyle a + bcdot q}

${displaystyle a+bcdot q}$ , par lequel

{displaystyle a}

$a$ et

{displaystyle b}

$b$ sont des nombres rationnels et

{displayStyle Q}

$q$ La racine carrée d’un nombre rationnel

{displaystyle r}

$r$ est. Aussi le corps avec boussole et règle

{DisplayStyle {0.1}}

${0,1}$ Les points constructibles du niveau du nombre complexe sont un corps intermédiaire algébrique.

Dans le contexte de la théorie des galoïstes, ces corps intermédiaires sont examinés afin d’obtenir des informations approfondies sur la solubilité ou la non-résolution des équations. Le résultat de la théorie du galoiste est que chaque nombre complexe qui peut être fabriqué à partir de nombres rationnels en utilisant l’arithmétique de base (addition, soustraction, multiplication et division) ainsi qu’en tirant n -Racines de température ( n Un nombre naturel) peut être préservé (nommé de telles figures “peut être représenté par des radicaux”), est algébrique, mais vice versa, mais il y a des nombres algébriques qui ne peuvent pas être représentés de cette manière; Tous ces nombres sont nuls de polynômes au moins 5 degrés.

↑ Numéro algébrique – Encyclopédie des mathématiques. Consulté le 5 décembre 2022 .
↑ ^un^b Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: Éléments de l’arithmétique et de l’algèbre . 6. Édition. Springer Spectrum, Berlin 2016, ISBN 978-3-662-48773-0, hier S. 168 .

[1] Numéro algébrique – Encyclopédie des mathématiques. Consulté le 5 décembre 2022 .

[Scheid-Schwarz-2] un^b Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: Éléments de l’arithmétique et de l’algèbre . 6. Édition. Springer Spectrum, Berlin 2016, ISBN 978-3-662-48773-0, hier S. 168 .

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