ACT Matrix – Wikipedia

Le OnesMatrix est une matrice en mathématiques, dont les éléments sont tous du numéro un (ou la réduction de l’anneau sous-jacent). Une matrice unique qui ne se compose qu’une seule ligne ou colonne sera également Vecteur appelé. Chaque matrice peut être représentée comme un produit dyadique de seuls vecteurs. Dans l’anneau de matriculation avec le module complémentaire matrizationnel et le produit Hadamard, celui d’une matrice est l’élément neutre. Les figures clés et les puissances importantes d’une matrice peuvent être explicitement calculées. La matrice unique et le vecteur ne doivent pas être confondues avec la matrice unitaire et le vecteur unitaire.

Est

${displaystyle r}$

une bague avec un élément

${Displaystyle 1}$

, alors la seule matrice est

${displayStyle 1 !! 1_ {mn} dans r ^ {mtimes n}}$

défini comme

${displayStyle 1 !! 1_ {mn} = {begin {Pmatrix} 1 & cdots & 1 \ vdots & ddots & vdots \ 1 & cdots & 1end {Pmatrix}}}$

.

Une matrice composée d’une seule ligne ou colonne est également appelée vecteur et avec

${displayStyle 1 !! 1_ {n}}$

désigné. ^[d’abord] Si la dimension de la seule matrice devient claire du contexte et s’il n’y a pas d’options de confusion, les indices sont également laissés de côté et seulement

${Displaystyle 1 !! 1}$

écrit. Basé sur des matrices unitaires, qui sont courantes avec

${displayStyle i}$

sont également décrits par un matricer par

${displaystyle J}$

écrit.

Est

${displaystyle r}$

Le corps des nombres réels et dénote

${Displaystyle 1}$

Le numéro un est des exemples de vecteurs et matrices:

${displaystyle 1!!1_{2}={begin{pmatrix}1\1end{pmatrix}},1!!1_{3}={begin{pmatrix}1\1\1end{pmatrix}},1!!1_{22}={begin{pmatrix}1&1\1&1end{pmatrix}},1!!1_{33}={begin{pmatrix}1&1&1\1&1&1\1&1&1end{pmatrix}},1!!1_{24}={begin{pmatrix}1&1&1&1\1&1&1&1end{pmatrix}}}$

Peut être

${displaystyle r}$

L’anneau zéro, puis les matrices suivantes sont des exemples de matrices:

${displayStyle 1 !! 1_ {2} = {begin {Pmatrix} 0 \ 1end {PMATRIX}}, 1 !! 1_ {3} = {Begin {PMATRIX} 1 \ 0 \ 0end {PMATRIX}}, 1 !! 1_ {22} = {début {PMATRIX} 1 & 1 \ 0 & 0End {pmatrix}, 1! } = {begin {Pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0end {Pmatrix}}, 1 !! 1_ {24} = {begin {PMATRIX} 1 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 1end}$

Remarque: Dans l’anneau zéro, la matrice nulle des termes et une matrice s’effondrent. En fait, même chaque matrice au-dessus de l’anneau zéro est une matrice unique (et une matrice zéro).

Propriétés algébriques [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Une matrice peut également être représentée comme un produit dyadique d’un seul vecteur:

${displayStyle 1 !! 1_ {mn} = 1 !! 1_ {m} otimes 1 !! 1_ {n} = 1 !! 1_ {m} cdot (1 !! 1_ {n}) ^ {t}}$

.

La matrice transposée une matrice est à nouveau une matrice, donc

${displayStyle (1 !! 1_ {mn}) ^ {t} = 1 !! 1_ {nm}}$

.

La seule matrice

${displayStyle 1 !! 1_ {mn}}$

est également l’élément neutre dans l’anneau du matricer

${displayStyle (r ^ {mTimes n}, +, circ)}$

, par lequel

${displaystyle a + b}$

Le Matricer add -on et

${displaystyle acirc b}$

Le produit Hadamard est. Cela s’applique à toutes les matrices

${displaystyle ain r ^ {mtimes n}}$

${displayStyle acirc 1 !! 1_ {mn} = 1 !! 1_ {mn} circ a = a}$

.

Rang, déterminant, piste [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Est maintenant

${displaystyle r}$

un corps, puis s’applique au rang de matrice

${displayStyle OperatorName {Rang} (1 !! 1_ {mn}) = 1}$

.

Le déterminant d’une matrice carrée

${displayStyle det (1 !! 1_ {nn}) = {begin {Cas} 0 & {text {Falls}} ~ n> 1, \ 1 & {texte {chutes}} ~ n = 1.end {cas}}}$

${displayStyle Operatorname {Spur} (1 !! 1_ {nn}) = n}$

.

Valeurs propres [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Le polynôme caractéristique d’une matrice réelle ou complexe

${displayStyle 1_ {nn}}$

suit comme

${DisplayStyle Chi (Lambda) = Lambda ^ {n -1} (lambda -n)}$

.

Les propres valeurs sont en conséquence

${displaystyle lambda _ {1} = n}$

et

${displayStyle lambda _ {2} = ldots = lambda _ {n} = 0}$

.

Les auto-vecteurs associés sont

${displayStyle (1, ldots, 1) ^ {t}}$

et

${displayStyle (1, -1,0, ldots, 0) ^ {t}, ldots, (0, ldots, 0,1, -1) ^ {t}}$

.

Des produits [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Ce qui suit s’applique au produit de deux matrices réelles ou complexes de taille appropriée

${DisplayStyle 1 !! 1_ {mn} cdot 1 !! 1_ {no} = ncdot 1 !! 1_ {mo}}$

.

Cela calcule le

${displaystyle k}$

-Te puissance d’une matrice carrée pour

${DisplayStyle Kgeq 1}$

quand

${DisplayStyle (1 !! 1_ {nn}) ^ {k} = n ^ {k-1} 1 !! 1_ {nn}}}$

.

D’où la matrice

${displayStyle {tfrac {1} {n}} 1 !! 1_ {nn}}$

idempotent, c’est-à-dire,

${displayStyle {tfrac {1} {n}} 1 !! 1_ {nn} cdot {tfrac {1} {n}} 1 !! 1_ {nn} = {tfrac {1} {n}} 1 !! 1_ {nn}}$

.

La seule matrice s’applique à la matrice exponentielle

${displayStyle exp (1 !! 1_ {nn}) = sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(1 !! 1_ {nn}) ^ {k}} {k!}} = i_ {n} + sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {n ^ {k = 1} ^ {infty} {frac {n ^ {K-} 1 !! 1_ {nn} = i_ {n} + {frac {e ^ {n} -1} {n}} cdot 1 !! 1_ {nn}}$

,

par lequel

${displayStyle i_ {n}}$

La matrice unitaire de la taille

${displaystyle n}$

et

${displaystyle e}$

Le numéro d’Eulersche est.

Dans le progiciel numérique Matlab, la seule matrice est via la fonction ceux (m, n) généré. ^[2]

• Karsten Schmidt, Götz Trenkler: Introduction à l’algèbre de la matrice moderne . Springs, 2006, ISBN 3-540-33008-9.

1. ↑ Schmidt, Trenkler: Introduction à l’algèbre de la matrice moderne . S. 27-28 .
2. ↑ Christoph W. Vüber, Stefan Katzenbeisser, Dirk Praetorius: Matlab 7: une introduction . Springer, 2007, S. 18 .