Air-Funktion – Wikipedia

Le Fonction aérée

${displayStyle operatorname {ai} (x)}$

Décrit une fonction spéciale en mathématiques. La fonction

${displayStyle operatorname {ai} (x)}$

et la fonction connexe

${displayStyle operatorname {bi} (x)}$

, qui est également appelé fonction aérée, sont des solutions à l’équation différentielle linéaire

${displaystyle y ” – xy = 0,}$

Également connu comme une équation aérée. Entre autres choses, il décrit la solution à l’équation de Schrödinger pour un pot potentiel linéaire.

La fonction aérée porte le nom de l’astronome britannique George Biddell Airy, qui a utilisé cette fonction dans son travail dans l’optique (Airy 1838). La désignation

${displayStyle operatorname {ai} (x)}$

a été présenté par Harold Jeffreys.

Fonctionnalité vraie aérée [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Pour les valeurs réelles

${displaystyle x}$

La fonction aérée est définie comme une intégrale de paramètre:

${displayStyle Mathrm {Ai} (x) = {frac {1} {pi}} int limites _ {0} ^ {infty} cos Left ({frac {t ^ {3}} {3}} + xtright), {rm {d}} t.}$

Une deuxième solution indépendante linéaire à l’équation différentielle est le Fonction aérée du deuxième type

${displaystyle mathrm {bi}}$

:

${displayStyle Mathrm {bi} (x) = {frac {1} {pi}} int limits _ {0} ^ {infty} Left (exp Left (- {frac {t ^ {3}} {3}} + xtright) + sin Left ({frac) {d}} t.}$

Fonction aérée complexe [ Modifier | Modifier le texte source ]]

La fonction aérée complexe est

${displayStyle OperatorName {ai} (z) = {frac {1} {2pi i}} int _ {c} exp Left ({tfrac {t ^ {3}} {3}} – ztright), dt,}$

MIT KONTOUR

${DisplayStyle C}$

depuis

${Déplastyle z_ {1} = infty}$

avec

${displayStyle Operatorname {arg} (z_ {1}) = – pi / 3}$

après

${Déplastyle z_ {2} = infty}$

avec

${displayStyle operatorname {arg} (z_ {2}) = pi / 3}$

.

Comportement asymptotique [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Pour

${displaystyle x}$

contre

${displaystyle + infty}$

peut être

${displayStyle Mathrm {ai} (x)}$

et

${displayStyle Mathrm {bi} (x)}$

Approximation à l’aide de l’approche WKB:

${displayStyle {begin {aligned} mathrm {ai} (x) & {} Simeq {frac {e ^ {- {frac {2} {3}} x ^ {3/2}}} {2 {sqrt {pi}, x ^ {1/4}} {bi} (bi} (bi}) & {1/4}}} } Simeq {frac {e ^ {{frac {2} {3}} x ^ {3/2}}} {{sqrt {pi}}, x ^ {1/4}}}. end {alignement}}}}$

Pour

${displaystyle x}$

contre

${displaystyle -infty}$

Les relations s’appliquent:

${displayStyle {begin {aligned} mathrm {ai} (x) & {} Simeq {frac {sin ({frac {2} {3}} (- x) ^ {3/2} + {frac {1} {4}} pi)} {{{sqrt {pi}, (x) }} \ mathrm {bi} (x) & {} Simeq {frac {cos ({frac {2} {3}} (- x) ^ {3/2} + {frac {1} {4}} pi)} {{sqrt {pi}}, (- x) ^ {1/4}. }}}$

zéro point [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Les fonctions aériennes n’ont aucun point zéro sur l’axe réel négatif. ^[d’abord] L’emplacement approximatif découle du comportement asymptotique pour

${displayStyle xto -infty}$

pour

${displayStyle operatorname {ai} (x) = 0quad rightarrow quad xapprox – {bigl (} textStyle {frac {3} {2}} pi (n- {frac {1} {4}}) {bigr)} ^ {2/3}, quad nin mathbb {n}}$

${displayStyle operatorname {bi} (x) = 0quad rightarrow quad xapprox – {bigl (} textStyle {frac {3} {2}} pi (n- {frac {3} {4}}) {bigr)} ^ {2/3}, quad nin mathbb {n}}$

Valeurs spéciales [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Les fonctions aérées et leurs dérivations ont pour

${displayStyle x = 0}$

Les valeurs suivantes:

${displaystyle {begin{aligned}mathrm {Ai} (0)&{}={frac {1}{{sqrt[{3}]{9}}cdot Gamma ({frac {2}{3}})}},&quad mathrm {Ai} ‘(0)&{}=-{frac {1}{{sqrt[{3}]{3}}cdot Gamma ({frac {1}{3}})}},\mathrm {Bi} (0)&{}={frac {1}{{sqrt[{6}]{3}}cdot Gamma ({frac {2}{3}})}},&quad mathrm {Bi} ‘(0)&{}={frac {sqrt[{6}]{3}}{Gamma ({frac {1}{3}})}}.end{aligned}}}$

Mentionné ici

${DisplayStyle Gamma (CDOT)}$

La fonction gamma. Il s’ensuit que le déterminant de Wronski de

${displayStyle Mathrm {ai} (x)}$

et

${displayStyle Mathrm {bi} (x)}$

même

${displayStyle {tfrac {1} {pi}}}$

est.

Directement à partir de la définition de la fonction aérée

${displayStyle operatorname {ai} (x)}$

(voir ci-dessus) suit leur Fourier transformé.

$Gens$

Notez la variante symétrique de la transformation de Fourier utilisée ici.

${displayStyle Mathrm {ai} (z) = {frac {1} {3 ^ {2/3} cdot gamma ({tfrac {2} {3}})}} cdot, {} _ {0} f_ {1} gauche (0; {tfrac {2}}}; }} z ^ {3} droit) – {frac {z} {3 ^ {1/3} cdot gamma ({tfrac {1} {3}})}} cdot, {} _ {0} f_ {1} Left (0; {tfrac {4} {3}}; ^ {3} à droite)}$

${displayStyle mathrm {bi} (z) = {frac {1} {3 ^ {1/6} cdot gamma ({tfrac {2} {3}})}} cdot, {} _ {0} f_ {1} gauche (0; {tfrac {2}}}; }} z ^ {3} droite) + {frac {3 ^ {1/6} cdot z} {gamma ({tfrac {1} {3}})}} cdot, {} _ {0} f_ {1} Left (0; {tfrac {4} {3}}; {3} à droite)}$

${affichestyle mathrm {ai} (x) = {frac {1} {3}} {sqrt {x}} Left [i _ {- 1/3} Left ({frac {2} {3}} x ^ {3/2} droite) -i_ {1/3} / 2} à droite) à droite]}$

${displayStyle mathrm {bi} (x) = {sqrt {frac {x} {3}}} gauche [i _ {- 1/3} Left ({frac {2} {3}} x ^ {3/2} droit) + i_ {1/3} gauche à droite]}$

• Une autre représentation intégrale infinie pour
  ${displayStyle Mathrm {ai}}$

  est le cas

${affichestyle mathrm {ai} (z) = {frac {1} {2pi}} int limites _ {- infty} ^ {infty} exp Left (mathrm {i} cdot left (zt + {frac {t ^ {3}} {3}} droit) droit) mathrm {d} t}$

• Il y a les rangées de lignes ^[2]

${displayStyle Mathrm {ai} (z) = {frac {1} {3 ^ {2/3} pi}} sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {gamma Left ({frac {1} {3}}} (n + 1) droite)} {n!}} {n} sin à gauche ({frac {2 (n + 1) pi} {3}} droit)}$

${displayStyle mathrm {bi} (z) = {frac {1} {3 ^ {1/6} pi}} sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {gamma Left ({frac {1} {3}}} (n + 1) droite)} {n!}} {gauche) n} gauche | sin à gauche ({frac {2 (n + 1) pi} {3}} à droite) à droite |}$

${displayStyle Mathrm {ai} (x)}$

et

${displayStyle Mathrm {bi} (x)}$

sont des fonctions complètes. Ils peuvent donc être poursuivis analytiquement sur l’ensemble du niveau complexe.

Définir

${affichestyle t_ {n} (t, alpha) = t ^ {n} {} _ {2} f_ {1} Left (- {frac {n} {2}}, {frac {1-n} {2}}; 1-n; – {frac {4alpha} {t ^ {2}}})$

par lequel

${displayStyle {} _ {2} f_ {1}}$

La fonction hypergéométrique est.
Ensuite, il y a les généralisations suivantes de l’intégrale aérée

${displayStyle OperatorName {Ci} _ {n} (alpha) = int _ {0} ^ {infty} cos (t_ {n} (t, alpha)) mathrm {d} t}$

${displayStyle OperatorName {Si} _ {n} (alpha) = int _ {0} ^ {infty} sin (t_ {n} (t, alpha)) mathrm {d} t}$

${displayStyle Operatorname {ei} _ {n} (alpha) = int _ {0} ^ {infty} exp (-t_ {n} (t, alpha)) mathrm {d} t}$

Fonction Airy-Zeta [ Modifier | Modifier le texte source ]]

En plus de la fonction aérée, la fonction Zeta Airysian peut être définie comme un analogue aux autres fonctions Zeta ^[3]

${displayStyle z (n) = sum _ {r} {frac {1} {r ^ {n}}},}$

La somme des points zéro réels (négatifs) de

${displayStyle Mathrm {ai}}$

va.

Fonctions SCORESCHE [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Parfois, les deux autres fonctions sont également

${displayStyle Mathrm {gi} (x)}$

et

${displayStyle Mathrm {hi} (x)}$

ajouté aux fonctions aérées. Les définitions intégrales sont ^[4]

${displayStyle Mathrm {gi} (x) = {frac {1} {pi}} int limites _ {0} ^ {infty} sin Left ({frac {t ^ {3}} {3}} + xtrigh$

${displayStyle mathrm {hi} (x) = {frac {1} {pi}} int limits _ {0} ^ {infty} exp Left (- {frac {t ^ {3}} {3}} + xtrigh$

Ils peuvent également être effectués par les fonctions

${displayStyle Mathrm {ai}}$

et

${displaystyle mathrm {bi}}$

représenter.

1. ↑ Eric W. Pointerstein: Zéros de fonction aérée . Dans: Mathworld (Anglais).
2. ↑ C. Banderier, P. Flajolet, G. Schaeffer, M. Soria: Cartes planes et phénomènes aérés. Dans Automates, langages et programmation. Actes du 27e colloque international (Icalp 2000) tenu à l’Université de Genève , Genève, 9.–15. Juli 2000 (éd. U. Montanari, J. D. P. Rolim, E. Welzl). Berlin: Springer, S. 388–402, 2000
3. ↑ Eric W. Pointerstein: Fonction de zeta aérée . Dans: Mathworld (Anglais).
4. ↑ Milton Abramowitz et Irene A. Stegun: Manuel des fonctions mathématiques avec des formules, des graphiques et des tables mathématiques , 1954, Page 447