Algèbre (système) – Wikipedia

En mathématiques est (My-) Algèbre Un concept de base de la théorie des mesures. Il décrit un système de quantité non vide qui n’est pas en mesure de combiner et de compléter.

La sous-zone de mathématiques, qui traite des quantités, est également appelée algèbre de quantité. Le terme algèbre, qui est utilisé pour une sous-zone de mathématiques et également pour une structure algébrique spéciale, est également ambigu. Le concept de l’algèbre de quantité utilisée ici est en connexion étroite avec celle de l’algèbre booléenne, c’est-à-dire une autre structure algébrique spéciale.

Peut être

${displayStyle Omega}$

N’importe quel montant. Un système

${displayStyle {Mathcal {a}}}$

de quantités partielles de

${displayStyle Omega}$

signifie un Apprenez à connaître le gré ou Algèbre

${displayStyle Omega}$

Si les propriétés suivantes sont respectées:

1. 
   ${displayStyle {Mathcal {a}} neq videset}$

   (

   ${displayStyle {Mathcal {a}}}$

   n’est pas vide).

2. 
   ${DisplaySyle A, bin {Mathcal {a}} Rightrrow ACUP bin {Mathcal {a}}}$

   (Stabilité / complétion de l’association).

3. 
   ${displayStyle ain {mathcal {a}} rightarrow a ^ {mathrm {c}} dans {mathcal {a}}}$

   (Stabilité / complétion de la formation du complément

   ${displayStyle a ^ {mathrm {c}} = Omega setminus a}$

   ).

• Chaque algèbre de quantité
  ${displayStyle {Mathcal {a}}}$

  au-dessus de

  ${displayStyle Omega}$

  contient toujours

  ${displayStyle Omega}$

  Et aussi le montant vide

  ${displaystyle videset}$

  , alors

  ${displayStyle {Mathcal {a}}}$

  Contient au moins un élément

  ${displaystyle a}$

  Et avec cela

  ${DisplayStyle omega = acup (Omega setminus a) = acup a ^ {mathrm {c}} dans {mathcal {a}}}}$

  ainsi que

  ${displayStyle videset = Omega setminus Omega = Omega ^ {Mathrm {C}} dans {Mathcal {a}}.}$

  

• 6-Tupel
  ${displayStyle ({mathcal {a}}, tasse, picleset, cap, omega, {} ^ {mathrm {c}})}$

  Avec l’algèbre de quantité

  ${displayStyle {mathcal {a}} subseseq {mathcal {p}} (omega)}$

  est une algèbre de boolesche au sens de la théorie de l’association, où

  ${DisplayStyle acap b = (a ^ {Mathrm {c} Cup B ^ {Mathrm {C}) ^ {Mathrm {Mathcal}} in}}$

  pour tous

  ${displayStyle a, bin {mathcal {a}}}$

  (Stabilité / achèvement de la moyenne). La quantité vide

  ${displaystyle videset}$

  correspond à l’élément nul et

  ${displayStyle Omega}$

  celui.

Est l’inverse

after-content-x4

${displayStyle {mathcal {a}} subseseq {mathcal {p}} (omega)}$

un système de quantité pour que

${displayStyle ({mathcal {a}}, tasse, picleset, cap, omega, {} ^ {mathrm {c}})}$

est une algèbre de boolesche, alors

${displayStyle {Mathcal {a}}}$

Évidemment également une algèbre de quantité.

• De l’unification et de la stabilité moyenne, il s’ensuit inductif que chaque association finie et chaque moyenne finie des éléments de l’algèbre de quantité
  ${displayStyle {Mathcal {a}}}$

  y est inclus, d. H. pour tous

  ${Displaystyle nin mathbb {n}}$

  est applicable:

${affichestyle a_ {1}, points, a_ {n} dans {mathcal {a}} rightarrow a_ {1} tas tots Cup a_ {n} dans {mathcal {a}}}$

et

${displayStyle a_ {1} Cap Dots cap a_ {n} dans {mathcal {a}},}$

${displayStyle bigcup videset = videset dans {Mathcal {a}}}$

et

${displayStyle bigcap videset = Omega dans {mathcal {a}}.}$

Si

${displayStyle {Mathcal {a}}}$

Un système de sous-quantités de

${displayStyle Omega}$

est et si

${displaystyle a, b}$

Les quantités sont à cause de

${displayStyle souvent b = acétminus (acétmin b)}$

et

${affichage acétminus b = acétminus (souvent b)}$

Les deux déclarations suivantes équivalent:

• 
  ${displayStyle a, bin {mathcal {a}} rightarrow asetminus bin {mathcal {a}}.}$

  

• 
  ${displayStyle a, bin {mathcal {a}} rightarrow acap bin {mathcal {a}}}$

  et si

  ${displaystyle bsubseteq a}$

  aussi

  ${displaystyle asetminus bin {mathcal {a}}.}$

  

De plus, mentionné

${Dislastyle Atriangle b = (asetminus b) tasse (bsetminus a)}$

La différence symétrique de

${displaystyle a}$

et

${displaystyle b,}$

Aussi à cause de

${displaystyle asetminus b = acap b ^ {mathrm {c}}$

et

${Dislastyle asetminus b = atriangle (acap b)}$

ainsi que

${displayStyle acup b = (a ^ {mathrm {c}} cap b ^ {mathrm {c}}) ^ {mathrm {c}}}$

équivalent à:

• 
  ${displayStyle {Mathcal {a}}}$

  est une algèbre de quantité.

• 
  ${displayStyle {Mathcal {a}}}$

  est un volume de quantités et ce qui suit s’applique:

  ${displayStyle ain {mathcal {a}} rightarrow a ^ {mathrm {c}} dans {mathcal {a}}}$

  .

• 
  ${displayStyle ({mathcal {a}}, tasse, picleset, cap, omega, {} ^ {mathrm {c}})}$

  est une algèbre booléenne.

• 
  ${displayStyle {Mathcal {a}}}$

  Est un anneau de quantité et

  ${displayStyle Omega dans {Mathcal {a}}}$

  .

• 
  ${displayStyle {Mathcal {a}}}$

  est un dépotoir de quantité et ce qui suit s’applique:

  ${DisplaySyle A, bin {Mathcal {a}} Rightrrow ACUP bin {Mathcal {a}}}$

  .

• 
  ${displayStyle ({mathcal {a}}, triangle, cap, oméga)}$

  Est un anneau unitaire au sens de l’algèbre avec l’ajout

  ${Triangle DisplayStyle,}$

  multiplication

  ${affichage Cap}$

  et une

  ${displayStyle Omega}$

  .

• 
  ${displayStyle ({mathcal {a}}, triangle, cap, oméga)}$

  est une bague Boolescher.

• 
  ${displayStyle ({Mathcal {a}}, triangle, odot, cap, oméga)}$

  Avec le scalarmultation

  ${affichestyle odot colon mathbb {f} _ {2} fois {mathcal {a}} à {mathcal {a}}, (0, a) mapsto videset, (1, a) mapsto a,}$

  Est une algèbre unitaire dans le sens de l’algèbre sur le corps

  ${displayStyle Mathbb {f} _ {2}}$

  .

• 
  ${displayStyle Omega dans {Mathcal {a}}}$

  Et cela s’applique:

  ${displaystyle a, bin {mathcal {a}} rightarrow asetminus bin {mathcal {a}}}$

  .

• 
  ${displayStyle {Mathcal {a}} neq videset}$

  Et cela s’applique:

  ${displaystyle a, bin {mathcal {a}} rightarrow asetminus bin {mathcal {a}}}$

  et

  ${displayStyle a ^ {mathrm {c}} dans {mathcal {a}}}$

  .

• 
  ${displayStyle {Mathcal {a}} neq videset}$

  Et cela s’applique:

  ${displayStyle a, bin {mathcal {a}} rightarrow acap bin {mathcal {a}}}$

  et

  ${displayStyle a ^ {mathrm {c}} dans {mathcal {a}}}$

  .

Coupes d’albala [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Coupes de deux albums

${displayStyle {Mathcal {a}} _ {1}}$

et

${displayStyle {Mathcal {a}} _ {2}}$

, le système de quantité

${displayStyle {mathcal {a}} _ {1} cap {mathcal {a}} _ {2} = {asubset omega; |; ain {mathcal {a}} _ {1} {text {und}} ain {Mathcal {a}} {2}} ain {Mathcal {a}} {2}}$

sont toujours à nouveau une algèbre. Parce que c’est exemplaire

${displayStyle ain {mathcal {a}} _ {1} cap {mathcal {a}} _ {2}}$

, aussi

Ainsi

${displayStyle {Mathcal {Omega}} setminus a}$

aussi dans

${displayStyle {mathcal {a}} _ {1} cap {mathcal {a}} _ {2}}$

, la coupe des systèmes de quantité est donc complémentaire. La stabilité concernant les autres opérations de quantité suit de manière analogue.

La déclaration s’applique également à la réduction de n’importe quel nombre d’albala, car l’argument ci-dessus peut ensuite être étendu à tous ces albala. Alors s’applique: c’est

${displayStyle i}$

Tout index et sont

${displayStyle {Mathcal {a}} _ {i}}$

Albala, le tout sur la même quantité de base

${displayStyle Omega}$

sont définis, la coupe de tous ces aluminium est à nouveau une algèbre

${displayStyle {Mathcal {a}} _ {i}}$

:

${DisplayStyle a_ {i}: = bigcap _ {iin i} {mathcal {a}}} _ {i}}$

.

Associations d’Albala [ Modifier | Modifier le texte source ]]

L’union de deux Albala

${displayStyle {Mathcal {a}} _ {1}}$

et

${displayStyle {Mathcal {a}} _ {2}}$

, le système de quantité

${DisplayStyle {mathcal {a}} _ {1} tasse {mathcal {a}} _ {2} = {asubset omega;$

n’est généralement plus d’algèbre. Par exemple, si vous regardez les deux Albala

${displayStyle {Mathcal {a}} _ {1} = {videset, {1,2,3}, {1}, {2,3}}}$

ainsi que

${displayStyle {Mathcal {a}} _ {2} = {videset, {1,2,3}, {3}, {1,2}}}$

,

sur

${displayStyle Omega = {1,2,3}}$

, aussi

${displayStyle {mathcal {a}} _ {1} cup {mathcal {a}} _ {2} = {videset, {1,2,3}, {1,2}, {2,3}, {1}, {3}}}$

.

Cependant, ce système de quantité n’est pas stable car il

${displayStyle {1} tasse {3} = {1,3}}$

ne contient pas, et donc pas d’algèbre.

Produits d’Albala [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Sont

${displayStyle {Mathcal {m}} _ {1}}$

et

${displayStyle {Mathcal {m}} _ {2}}$

Systèmes de quantité sur

${displayStyle Omega _ {1}}$

et

${displayStyle Omega _ {2}}$

et devient le produit de

${displayStyle {Mathcal {m}} _ {1}}$

et

${displayStyle {Mathcal {m}} _ {2}}$

défini comme

${displayStyle {Mathcal {M}} _ {1} Times {Mathcal {M}} _ {2}: = {Atimes bsubset Omega _ {1} Times Omega _ {2}; |; ain {Mathcal {m}} _ {1},; }}}$

,

Le produit de deux albums n’est donc généralement pas une algèbre (sur

${displayStyle Omega _ {1} fois Omega _ {2}}$

) plus, juste une moitié. Parce que tu regardes l’algèbre

${displayStyle {Mathcal {a}} = {videset, {1} {2} {1,2}}}$

,

au-dessus de

${displayStyle Omega = {1,2}}$

, donc contient le système de quantité

${displayStyle {mathcal {a}} fois {mathcal {a}}}$

Les deux quantités

${displayStyle m_ {1} = {1,2} fois {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}}$

ainsi que

${displayStyle m_ {2} = {2} fois {2} = {(2,2)}}$

.

La quantité

${displayStyle m_ {1} setminus m_ {2} = m_ {2} ^ {mathrm {c}} = {(1,1), (1,2), (2,1)}}$

Cependant, il n’est pas inclus, car il n’est pas comme un produit cartésien de deux quantités

${displayStyle {Mathcal {a}}}$

permet. Ainsi, le produit des systèmes de quantité n’est pas complémentaire, il ne peut donc pas être une algèbre.

Cependant, si vous définissez le produit de deux systèmes de quantité comme

${displayStyle {mathcal {m}} _ {1} boxtime {mathcal {m}} _ {2}: = {biggl {} bigcup _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} fois B_ {i}, |, a_ {i} dans {Mathcal {m} {i} dans {Mathcal {m}} _ {2} {biggl}}}$

,

Ainsi, le produit de deux aluminium est à nouveau une algèbre. Entre autres choses, il est également utilisé pour définir l’algèbre produit-σ.

Il convient de noter que

${displayStyle {Mathcal {M}} _ {1} Times {Mathcal {M}} _ {2}}$

Pas le produit cartésien ici

${DisplayStyle {(a, b) mid ain {mathcal {m}} _ {1}, bin {mathcal {m}} _ {2}}}}$

, mais un système de quantité de cartésien

${AffichageStyle Atimes B}$

Des produits. Dans la théorie de la mesure et des probabilités

${displayStyle {Mathcal {M}} _ {1} Times {Mathcal {M}} _ {2}}$

Aussi, s’écarter de la notation sélectionnée ici, celle du système de quantité

${displayStyle {Atimes bmid ain {mathcal {m}} _ {1}, bin {mathcal {m}} _ {2}}}$

produit

${DisplayStyle Sigma}$

-Algèbre. ^{[d’abord] [2] [3]} C’est le produit-σ-algèbre de

${displayStyle {Mathcal {m}} _ {1}}$

et

${displayStyle {Mathcal {m}} _ {2}}$

que surtout avec

${displayStyle {Mathcal {m}} _ {1} otimes {mathcal {m}} _ {2}}$

mentionné. ^[4]

Trace d’une algèbre [ Modifier | Modifier le texte source ]]

La trace d’une algèbre

${displayStyle {Mathcal {a}}}$

Concernant une quantité

${displaystyle u}$

, le système de quantité

${DisplayStyle {mathcal {a}} | _ {u}: = {acap u; |; ain {mathcal {a}}}}}$

est toujours une algèbre, quel que soit le choix de

${displaystyle u}$

.

Étant donné que les coupes arbitraires d’Albars sont à nouveau Altema, l’opérateur de manche peut

${displayStyle {mathcal {a}} ({mathcal {e}}): = bigcap _ {{mathcal {e}} subseseq {mathcal {a}} _ {i} atop {Mathcal {a}} {i} {text {alggebra}} {} {i} {text {algèse}}} {}} {Texte {algèse _ {i}}$

définir. Par définition, c’est la (en ce qui concerne l’inclusion de quantité) la plus petite algèbre que le système de quantité

${displayStyle {Mathcal {e}}}$

contient et est celui de

${displayStyle {Mathcal {e}}}$

algèbre produite appelé. ^[5]

• Les quantités sont exactement les anneaux de quantité que la quantité de base
  ${displayStyle Omega}$

  contenir. Si vous mettez des anneaux de quantité comme un anneau dans le sens de l’algèbre avec la différence symétrique comme ajout et la moyenne comme multiplication, les liaisons quantitatives sont précisément les anneaux d’unité (c’est-à-dire avec un élément) de cette forme.

• Étant donné que les quantités sont des anneaux, ils sont automatiquement également le nombre de la quantité et de la demi-nage
• Si une algèbre de quantité est même conclue en ce qui concerne l’Union, infini bon nombre de ses éléments, vous obtenez une algèbre σ (quantité).
• La classe monotone générée par une algèbre correspond à celle produite par l’algèbre
  ${DisplayStyle Sigma}$

  -Algèbre

• Chaque algèbre est un semi-sur le semi-plus étroit et dans le sens plus large.

• Heinz Bauer: Théorie de la mesure et de l’intégration . 2e, sur -The -Counter Édition. De Gruyter, Berlin / New York 1992, ISBN 3-11-013626-0.
• Jürgen Elstrodt: Théorie de la mesure et de l’intégration . 6., édition corrigée. Springer, Berlin / Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi: 10 1007 / 978-3-540-89728-6 .
• Ernst Henze: Introduction à la théorie des mesures . 2. sur -Le -arb. Édition. Institut bibliographique, Mannheim / Zurich 1985, ISBN 3-411-03102-6.
• Norbert Kusolitsch: Théorie de la mesure et des probabilités . Une introduction. 2e édition révisée et élargie. Springer, Berlin / Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi: 10 1007 / 978-3-642-45387-8 .

1. ↑ Patrick Billingsley: Probabilité et mesure . 3. Édition. Wiley, New York 1995, ISBN 0-471-00710-2, S. 231 .
2. ↑ Galen R. Shorack: Probabilité des statisticiens (= Textes Springer en statistiques ). 2e édition. Springer, Cham 2017, ISBN 978-3-319-52206-7, S. 25 , est ce que je: 10 1007 / 978-3-319-52207-4 .
3. ↑ P. H. Müller (éd.): Lexique des stochastes – calcul des probabilités et statistiques mathématiques . Mesure du produit. 5e édition. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, S. 210 .
4. ↑ Claus D. Schmidt: Mesure et probabilité . 2e, à travers l’édition. Springer, Berlin / Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 39 , est ce que je: 10 1007 / 978-3-642-21026-6 .
5. ↑ Kusolitsch: Théorie de la mesure et de la probabilité. 2014, S. 19.