[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/algebre-systeme-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/algebre-systeme-wikipedia\/","headline":"Alg\u00e8bre (syst\u00e8me) – Wikipedia","name":"Alg\u00e8bre (syst\u00e8me) – Wikipedia","description":"before-content-x4 En math\u00e9matiques est (My-) Alg\u00e8bre Un concept de base de la th\u00e9orie des mesures. 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Il d\u00e9crit un syst\u00e8me de quantit\u00e9 non vide qui n’est pas en mesure de combiner et de compl\u00e9ter.        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4La sous-zone de math\u00e9matiques, qui traite des quantit\u00e9s, est \u00e9galement appel\u00e9e alg\u00e8bre de quantit\u00e9. Le terme alg\u00e8bre, qui est utilis\u00e9 pour une sous-zone de math\u00e9matiques et \u00e9galement pour une structure alg\u00e9brique sp\u00e9ciale, est \u00e9galement ambigu. Le concept de l’alg\u00e8bre de quantit\u00e9 utilis\u00e9e ici est en connexion \u00e9troite avec celle de l’alg\u00e8bre bool\u00e9enne, c’est-\u00e0-dire une autre structure alg\u00e9brique sp\u00e9ciale. Peut \u00eatre Oh {displayStyle Omega} N’importe quel montant. Un syst\u00e8me        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4UN {displayStyle {Mathcal {a}}} de quantit\u00e9s partielles de Oh {displayStyle Omega} signifie un Apprenez \u00e0 conna\u00eetre le gr\u00e9 ou Alg\u00e8bre Oh {displayStyle Omega} Si les propri\u00e9t\u00e9s suivantes sont respect\u00e9es: A\u2260 \u2205 {displayStyle {Mathcal {a}} neq videset} ( A{displayStyle {Mathcal {a}}} n’est pas vide). UN , B \u2208 A\u21d2 UN \u222a B \u2208 A{DisplaySyle A, bin {Mathcal {a}} Rightrrow ACUP bin {Mathcal {a}}} (Stabilit\u00e9 \/ compl\u00e9tion de l’association). UN \u2208 A\u21d2 UN c\u2208 A{displayStyle ain {mathcal {a}} rightarrow a ^ {mathrm {c}} dans {mathcal {a}}} (Stabilit\u00e9 \/ compl\u00e9tion de la formation du compl\u00e9ment UN c= Oh \u2216 UN {displayStyle a ^ {mathrm {c}} = Omega setminus a} ). Chaque alg\u00e8bre de quantit\u00e9 A{displayStyle {Mathcal {a}}} au-dessus de Oh {displayStyle Omega} contient toujours Oh {displayStyle Omega} Et aussi le montant vide \u2205 {displaystyle videset} , alors A{displayStyle {Mathcal {a}}} Contient au moins un \u00e9l\u00e9ment UN {displaystyle a} Et avec cela Oh = UN \u222a ( Oh \u2216 UN ) = UN \u222a UN c\u2208 A{DisplayStyle omega = acup (Omega setminus a) = acup a ^ {mathrm {c}} dans {mathcal {a}}}} ainsi que  \u2205 = Oh \u2216 Oh = Oh c\u2208 A. {displayStyle videset = Omega setminus Omega = Omega ^ {Mathrm {C}} dans {Mathcal {a}}.} 6-Tupel ( A, \u222a , \u2205 , \u2229 , Oh , c) {displayStyle ({mathcal {a}}, tasse, picleset, cap, omega, {} ^ {mathrm {c}})} Avec l’alg\u00e8bre de quantit\u00e9 A\u2286 P( Oh ) {displayStyle {mathcal {a}} subseseq {mathcal {p}} (omega)} est une alg\u00e8bre de boolesche au sens de la th\u00e9orie de l’association, o\u00f9 UN \u2229 B = ( UN c\u222a B c) c\u2208 A{DisplayStyle acap b = (a ^ {Mathrm {c} Cup B ^ {Mathrm {C}) ^ {Mathrm {Mathcal}} in}} pour tous UN , B \u2208 A{displayStyle a, bin {mathcal {a}}} (Stabilit\u00e9 \/ ach\u00e8vement de la moyenne). La quantit\u00e9 vide \u2205 {displaystyle videset} correspond \u00e0 l’\u00e9l\u00e9ment nul et Oh {displayStyle Omega} celui. Est l’inverse        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4A\u2286 P( Oh ) {displayStyle {mathcal {a}} subseseq {mathcal {p}} (omega)} un syst\u00e8me de quantit\u00e9 pour que ( A, \u222a , \u2205 , \u2229 , Oh , c) {displayStyle ({mathcal {a}}, tasse, picleset, cap, omega, {} ^ {mathrm {c}})} est une alg\u00e8bre de boolesche, alors A{displayStyle {Mathcal {a}}} \u00c9videmment \u00e9galement une alg\u00e8bre de quantit\u00e9. De l’unification et de la stabilit\u00e9 moyenne, il s’ensuit inductif que chaque association finie et chaque moyenne finie des \u00e9l\u00e9ments de l’alg\u00e8bre de quantit\u00e9 A{displayStyle {Mathcal {a}}} y est inclus, d. H. pour tous n \u2208 N {Displaystyle nin mathbb {n}} est applicable: UN 1, … , UN n\u2208 A\u21d2 UN 1\u222a \u22ef \u222a UN n\u2208 A{affichestyle a_ {1}, points, a_ {n} dans {mathcal {a}} rightarrow a_ {1} tas tots Cup a_ {n} dans {mathcal {a}}} et UN 1\u2229 \u22ef \u2229 UN n\u2208 A, {displayStyle a_ {1} Cap Dots cap a_ {n} dans {mathcal {a}},} \u22c3 \u2205 = \u2205 \u2208 A{displayStyle bigcup videset = videset dans {Mathcal {a}}} et \u22c2 \u2205 = Oh \u2208 A. {displayStyle bigcap videset = Omega dans {mathcal {a}}.} Si UN {displayStyle {Mathcal {a}}} Un syst\u00e8me de sous-quantit\u00e9s de Oh {displayStyle Omega} est et si UN , B {displaystyle a, b} Les quantit\u00e9s sont \u00e0 cause de UN \u2229 B = UN \u2216 ( UN \u2216 B ) {displayStyle souvent b = ac\u00e9tminus (ac\u00e9tmin b)} et UN \u2216 B = UN \u2216 ( UN \u2229 B ) {affichage ac\u00e9tminus b = ac\u00e9tminus (souvent b)} Les deux d\u00e9clarations suivantes \u00e9quivalent: UN , B \u2208 A\u21d2 UN \u2216 B \u2208 A. {displayStyle a, bin {mathcal {a}} rightarrow asetminus bin {mathcal {a}}.} UN , B \u2208 A\u21d2 UN \u2229 B \u2208 A{displayStyle a, bin {mathcal {a}} rightarrow acap bin {mathcal {a}}} et si B \u2286 UN {displaystyle bsubseteq a} aussi UN \u2216 B \u2208 A. {displaystyle asetminus bin {mathcal {a}}.} De plus, mentionn\u00e9 UN \u25b3 B = ( UN \u2216 B ) \u222a ( B \u2216 UN ) {Dislastyle Atriangle b = (asetminus b) tasse (bsetminus a)} La diff\u00e9rence sym\u00e9trique de UN {displaystyle a} et B , {displaystyle b,} Aussi \u00e0 cause de UN \u2216 B = UN \u2229 B c{displaystyle asetminus b = acap b ^ {mathrm {c}} et UN \u2216 B = UN \u25b3 ( UN \u2229 B ) {Dislastyle asetminus b = atriangle (acap b)} ainsi que  UN \u222a B = ( UN c\u2229 B c) c{displayStyle acup b = (a ^ {mathrm {c}} cap b ^ {mathrm {c}}) ^ {mathrm {c}}} \u00e9quivalent \u00e0: A{displayStyle {Mathcal {a}}} est une alg\u00e8bre de quantit\u00e9. A{displayStyle {Mathcal {a}}} est un volume de quantit\u00e9s et ce qui suit s’applique: UN \u2208 A\u21d2 UN c\u2208 A{displayStyle ain {mathcal {a}} rightarrow a ^ {mathrm {c}} dans {mathcal {a}}} . ( A, \u222a , \u2205 , \u2229 , Oh , c) {displayStyle ({mathcal {a}}, tasse, picleset, cap, omega, {} ^ {mathrm {c}})} est une alg\u00e8bre bool\u00e9enne. A{displayStyle {Mathcal {a}}} Est un anneau de quantit\u00e9 et Oh \u2208 A{displayStyle Omega dans {Mathcal {a}}} . A{displayStyle {Mathcal {a}}} est un d\u00e9potoir de quantit\u00e9 et ce qui suit s’applique: UN , B \u2208 A\u21d2 UN \u222a B \u2208 A{DisplaySyle A, bin {Mathcal {a}} Rightrrow ACUP bin {Mathcal {a}}} . ( A, \u25b3 , \u2229 , Oh ) {displayStyle ({mathcal {a}}, triangle, cap, om\u00e9ga)} Est un anneau unitaire au sens de l’alg\u00e8bre avec l’ajout \u25b3 , {Triangle DisplayStyle,} multiplication \u2229 {affichage Cap} et une Oh {displayStyle Omega} . ( A, \u25b3 , \u2229 , Oh ) {displayStyle ({mathcal {a}}, triangle, cap, om\u00e9ga)} est une bague Boolescher. ( A, \u25b3 , \u2299 , \u2229 , Oh ) {displayStyle ({Mathcal {a}}, triangle, odot, cap, om\u00e9ga)} Avec le scalarmultation \u2299 : F2\u00d7 A\u2192 A, ( 0 , UN ) \u21a6 \u2205 , ( d’abord , UN ) \u21a6 UN , {affichestyle odot colon mathbb {f} _ {2} fois {mathcal {a}} \u00e0 {mathcal {a}}, (0, a) mapsto videset, (1, a) mapsto a,} Est une alg\u00e8bre unitaire dans le sens de l’alg\u00e8bre sur le corps F2{displayStyle Mathbb {f} _ {2}} . Oh \u2208 A{displayStyle Omega dans {Mathcal {a}}} Et cela s’applique: UN , B \u2208 A\u21d2 UN \u2216 B \u2208 A{displaystyle a, bin {mathcal {a}} rightarrow asetminus bin {mathcal {a}}} . A\u2260 \u2205 {displayStyle {Mathcal {a}} neq videset} Et cela s’applique: UN , B \u2208 A\u21d2 UN \u2216 B \u2208 A{displaystyle a, bin {mathcal {a}} rightarrow asetminus bin {mathcal {a}}} et UN c\u2208 A{displayStyle a ^ {mathrm {c}} dans {mathcal {a}}} . A\u2260 \u2205 {displayStyle {Mathcal {a}} neq videset} Et cela s’applique: UN , B \u2208 A\u21d2 UN \u2229 B \u2208 A{displayStyle a, bin {mathcal {a}} rightarrow acap bin {mathcal {a}}} et UN c\u2208 A{displayStyle a ^ {mathrm {c}} dans {mathcal {a}}} . Table of ContentsCoupes d’albala [ Modifier | Modifier le texte source ]] Associations d’Albala [ Modifier | Modifier le texte source ]] Produits d’Albala [ Modifier | Modifier le texte source ]] Trace d’une alg\u00e8bre [ Modifier | Modifier le texte source ]] Coupes d’albala [ Modifier | Modifier le texte source ]] Coupes de deux albums Ad’abord {displayStyle {Mathcal {a}} _ {1}} et A2 {displayStyle {Mathcal {a}} _ {2}} , le syst\u00e8me de quantit\u00e9 A1\u2229 A2= { UN \u2282 Oh | UN \u2208 A1et UN \u2208 A2} {displayStyle {mathcal {a}} _ {1} cap {mathcal {a}} _ {2} = {asubset omega; |; ain {mathcal {a}} _ {1} {text {und}} ain {Mathcal {a}} {2}} ain {Mathcal {a}} {2}} sont toujours \u00e0 nouveau une alg\u00e8bre. Parce que c’est exemplaire UN \u2208 Ad’abord \u2229 A2 {displayStyle ain {mathcal {a}} _ {1} cap {mathcal {a}} _ {2}} , aussi Ainsi Oh \u2216 UN {displayStyle {Mathcal {Omega}} setminus a} aussi dans Ad’abord \u2229 A2 {displayStyle {mathcal {a}} _ {1} cap {mathcal {a}} _ {2}} , la coupe des syst\u00e8mes de quantit\u00e9 est donc compl\u00e9mentaire. La stabilit\u00e9 concernant les autres op\u00e9rations de quantit\u00e9 suit de mani\u00e8re analogue. La d\u00e9claration s’applique \u00e9galement \u00e0 la r\u00e9duction de n’importe quel nombre d’albala, car l’argument ci-dessus peut ensuite \u00eatre \u00e9tendu \u00e0 tous ces albala. Alors s’applique: c’est je {displayStyle i} Tout index et sont Aje {displayStyle {Mathcal {a}} _ {i}} Albala, le tout sur la m\u00eame quantit\u00e9 de base Oh {displayStyle Omega} sont d\u00e9finis, la coupe de tous ces aluminium est \u00e0 nouveau une alg\u00e8bre Aje {displayStyle {Mathcal {a}} _ {i}} : UN I: = \u22c2 i\u2208IAi{DisplayStyle a_ {i}: = bigcap _ {iin i} {mathcal {a}}} _ {i}} . Associations d’Albala [ Modifier | Modifier le texte source ]] L’union de deux Albala Ad’abord {displayStyle {Mathcal {a}} _ {1}} et A2 {displayStyle {Mathcal {a}} _ {2}} , le syst\u00e8me de quantit\u00e9 A1\u222a A2= { UN \u2282 Oh | UN \u2208 A1ou UN \u2208 A2} {DisplayStyle {mathcal {a}} _ {1} tasse {mathcal {a}} _ {2} = {asubset omega; n’est g\u00e9n\u00e9ralement plus d’alg\u00e8bre. Par exemple, si vous regardez les deux Albala A1= { \u2205 , { d’abord , 2 , 3 } , { d’abord } , { 2 , 3 } } {displayStyle {Mathcal {a}} _ {1} = {videset, {1,2,3}, {1}, {2,3}}} ainsi que  A2= { \u2205 , { d’abord , 2 , 3 } , { 3 } , { d’abord , 2 } } {displayStyle {Mathcal {a}} _ {2} = {videset, {1,2,3}, {3}, {1,2}}} , sur Oh = { d’abord , 2 , 3 } {displayStyle Omega = {1,2,3}} , aussi A1\u222a A2= { \u2205 , { d’abord , 2 , 3 } , { d’abord , 2 } , { 2 , 3 } , { d’abord } , { 3 } } {displayStyle {mathcal {a}} _ {1} cup {mathcal {a}} _ {2} = {videset, {1,2,3}, {1,2}, {2,3}, {1}, {3}}} . Cependant, ce syst\u00e8me de quantit\u00e9 n’est pas stable car il { d’abord } \u222a { 3 } = { d’abord , 3 } {displayStyle {1} tasse {3} = {1,3}} ne contient pas, et donc pas d’alg\u00e8bre. Produits d’Albala [ Modifier | Modifier le texte source ]] Sont Md’abord {displayStyle {Mathcal {m}} _ {1}} et M2 {displayStyle {Mathcal {m}} _ {2}} Syst\u00e8mes de quantit\u00e9 sur Oh d’abord {displayStyle Omega _ {1}} et Oh 2 {displayStyle Omega _ {2}} et devient le produit de Md’abord {displayStyle {Mathcal {m}} _ {1}} et M2 {displayStyle {Mathcal {m}} _ {2}} d\u00e9fini comme M1\u00d7 M2: = { UN \u00d7 B \u2282 Oh 1\u00d7 Oh 2| UN \u2208 M1, B \u2208 M2} {displayStyle {Mathcal {M}} _ {1} Times {Mathcal {M}} _ {2}: = {Atimes bsubset Omega _ {1} Times Omega _ {2}; |; ain {Mathcal {m}} _ {1},; }}} , Le produit de deux albums n’est donc g\u00e9n\u00e9ralement pas une alg\u00e8bre (sur Oh d’abord \u00d7 Oh 2 {displayStyle Omega _ {1} fois Omega _ {2}} ) plus, juste une moiti\u00e9. Parce que tu regardes l’alg\u00e8bre A= { \u2205 , { d’abord } { 2 } { d’abord , 2 } } {displayStyle {Mathcal {a}} = {videset, {1} {2} {1,2}}} , au-dessus de Oh = { d’abord , 2 } {displayStyle Omega = {1,2}} , donc contient le syst\u00e8me de quantit\u00e9 UN \u00d7 UN {displayStyle {mathcal {a}} fois {mathcal {a}}} Les deux quantit\u00e9s M 1= { d’abord , 2 } \u00d7 { d’abord , 2 } = { ( d’abord , d’abord ) , ( d’abord , 2 ) , ( 2 , d’abord ) , ( 2 , 2 ) } {displayStyle m_ {1} = {1,2} fois {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}} ainsi que M 2= { 2 } \u00d7 { 2 } = { ( 2 , 2 ) } {displayStyle m_ {2} = {2} fois {2} = {(2,2)}} . La quantit\u00e9 M 1\u2216 M 2= M 2c= { ( d’abord , d’abord ) , ( d’abord , 2 ) , ( 2 , d’abord ) } {displayStyle m_ {1} setminus m_ {2} = m_ {2} ^ {mathrm {c}} = {(1,1), (1,2), (2,1)}} Cependant, il n’est pas inclus, car il n’est pas comme un produit cart\u00e9sien de deux quantit\u00e9s UN {displayStyle {Mathcal {a}}} permet. Ainsi, le produit des syst\u00e8mes de quantit\u00e9 n’est pas compl\u00e9mentaire, il ne peut donc pas \u00eatre une alg\u00e8bre. Cependant, si vous d\u00e9finissez le produit de deux syst\u00e8mes de quantit\u00e9 comme M1\u22a0 M2: = {\u22c3 i=1nUN i\u00d7 B i| UN i\u2208 M1, B i\u2208 M2}{displayStyle {mathcal {m}} _ {1} boxtime {mathcal {m}} _ {2}: = {biggl {} bigcup _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} fois B_ {i}, |, a_ {i} dans {Mathcal {m} {i} dans {Mathcal {m}} _ {2} {biggl}}} , Ainsi, le produit de deux aluminium est \u00e0 nouveau une alg\u00e8bre. Entre autres choses, il est \u00e9galement utilis\u00e9 pour d\u00e9finir l’alg\u00e8bre produit-\u03c3. Il convient de noter que Md’abord \u00d7 M2 {displayStyle {Mathcal {M}} _ {1} Times {Mathcal {M}} _ {2}} Pas le produit cart\u00e9sien ici { ( UN , B ) \u2223 UN \u2208 Md’abord , B \u2208 M2 } {DisplayStyle {(a, b) mid ain {mathcal {m}} _ {1}, bin {mathcal {m}} _ {2}}}} , mais un syst\u00e8me de quantit\u00e9 de cart\u00e9sien UN \u00d7 B {AffichageStyle Atimes B} Des produits. Dans la th\u00e9orie de la mesure et des probabilit\u00e9s Md’abord \u00d7 M2 {displayStyle {Mathcal {M}} _ {1} Times {Mathcal {M}} _ {2}} Aussi, s’\u00e9carter de la notation s\u00e9lectionn\u00e9e ici, celle du syst\u00e8me de quantit\u00e9 { UN \u00d7 B \u2223 UN \u2208 Md’abord , B \u2208 M2 } {displayStyle {Atimes bmid ain {mathcal {m}} _ {1}, bin {mathcal {m}} _ {2}}} produit un {DisplayStyle Sigma} -Alg\u00e8bre. [d’abord] [2] [3] C’est le produit-\u03c3-alg\u00e8bre de Md’abord {displayStyle {Mathcal {m}} _ {1}} et M2 {displayStyle {Mathcal {m}} _ {2}} que surtout avec Md’abord \u2297 M2 {displayStyle {Mathcal {m}} _ {1} otimes {mathcal {m}} _ {2}} mentionn\u00e9. [4] Trace d’une alg\u00e8bre [ Modifier | Modifier le texte source ]] La trace d’une alg\u00e8bre UN {displayStyle {Mathcal {a}}} Concernant une quantit\u00e9 DANS {displaystyle u} , le syst\u00e8me de quantit\u00e9 A|U: = { UN \u2229 DANS | UN \u2208 A} {DisplayStyle {mathcal {a}} | _ {u}: = {acap u; |; ain {mathcal {a}}}}} est toujours une alg\u00e8bre, quel que soit le choix de DANS {displaystyle u} . \u00c9tant donn\u00e9 que les coupes arbitraires d’Albars sont \u00e0 nouveau Altema, l’op\u00e9rateur de manche peut A( E) : = \u22c2 E\u2286AiAi\u00a0AlgebraAi{displayStyle {mathcal {a}} ({mathcal {e}}): = bigcap _ {{mathcal {e}} subseseq {mathcal {a}} _ {i} atop {Mathcal {a}} {i} {text {alggebra}} {} {i} {text {alg\u00e8se}}} {}} {Texte {alg\u00e8se _ {i}} d\u00e9finir. Par d\u00e9finition, c’est la (en ce qui concerne l’inclusion de quantit\u00e9) la plus petite alg\u00e8bre que le syst\u00e8me de quantit\u00e9 ET {displayStyle {Mathcal {e}}} contient et est celui de ET {displayStyle {Mathcal {e}}}  alg\u00e8bre produite appel\u00e9. [5]  Hi\u00e9rarchie des syst\u00e8mes de quantit\u00e9 utilis\u00e9e dans la th\u00e9orie des mesures Les quantit\u00e9s sont exactement les anneaux de quantit\u00e9 que la quantit\u00e9 de base Oh {displayStyle Omega} contenir. Si vous mettez des anneaux de quantit\u00e9 comme un anneau dans le sens de l’alg\u00e8bre avec la diff\u00e9rence sym\u00e9trique comme ajout et la moyenne comme multiplication, les liaisons quantitatives sont pr\u00e9cis\u00e9ment les anneaux d’unit\u00e9 (c’est-\u00e0-dire avec un \u00e9l\u00e9ment) de cette forme. \u00c9tant donn\u00e9 que les quantit\u00e9s sont des anneaux, ils sont automatiquement \u00e9galement le nombre de la quantit\u00e9 et de la demi-nage Si une alg\u00e8bre de quantit\u00e9 est m\u00eame conclue en ce qui concerne l’Union, infini bon nombre de ses \u00e9l\u00e9ments, vous obtenez une alg\u00e8bre \u03c3 (quantit\u00e9). La classe monotone g\u00e9n\u00e9r\u00e9e par une alg\u00e8bre correspond \u00e0 celle produite par l’alg\u00e8bre un {DisplayStyle Sigma} -Alg\u00e8bre Chaque alg\u00e8bre est un semi-sur le semi-plus \u00e9troit et dans le sens plus large. Heinz Bauer: Th\u00e9orie de la mesure et de l’int\u00e9gration . 2e, sur -The -Counter \u00c9dition. De Gruyter, Berlin \/ New York 1992, ISBN 3-11-013626-0.  J\u00fcrgen Elstrodt: Th\u00e9orie de la mesure et de l’int\u00e9gration . 6., \u00e9dition corrig\u00e9e. Springer, Berlin \/ Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi: 10 1007 \/ 978-3-540-89728-6 .  Ernst Henze: Introduction \u00e0 la th\u00e9orie des mesures . 2. sur -Le -arb. \u00c9dition. Institut bibliographique, Mannheim \/ Zurich 1985, ISBN 3-411-03102-6.  Norbert Kusolitsch: Th\u00e9orie de la mesure et des probabilit\u00e9s . Une introduction. 2e \u00e9dition r\u00e9vis\u00e9e et \u00e9largie. Springer, Berlin \/ Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi: 10 1007 \/ 978-3-642-45387-8 .  \u2191  Patrick Billingsley: Probabilit\u00e9 et mesure . 3. \u00c9dition. Wiley, New York 1995, ISBN 0-471-00710-2, S.  231 .   \u2191  Galen R. 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