Baker Transformation-Wikipedia

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Le Transformation de boulanger (Anglais Carte de boulanger ) a été nommé d’après le processus de pâte: une pâte est tirée sur deux fois la longueur puis pliée ensemble. Cette procédure est répétée jusqu’à ce qu’un bon mélange soit survenu. Deux particules hypothétiques dans la pâte («raisins secs» perforées), qui étaient à l’origine, sont éloignées après que cette transformation ait été utilisée plusieurs fois.

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Avec la transformation de la boulangerie, il peut être facilement illustré comment de l’interaction de extensible et Pli Le comportement chaotique survient.

Diverses formules pour la transformation de la boulangerie peuvent être trouvées dans la littérature. Les formules diffèrent dans ce

  • Le type de pliage et
  • La considération de la pâte comme une épaisseur infiniment mince ou finie.

Pâte infiniment mince [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Les 50 premières itérations de la transformation de la boulangerie (inclinaison infiniment mince en pente) pour la valeur initiale 0,0123456789

Par souci de simplicité, vous regardez une pâte à une dimension (puisque la pâte n’est étirée que dans une direction, la deuxième direction n’a pas d’importance en parallèle à la surface de la table). Formellement, nous pouvons faire ce morceau de pâte à travers l’intervalle unitaire

X ∈ [ 0 , d’abord ]] {displayStyle xin [0,1]}

représenter. La transformation de la boulangerie est alors une illustration de l’intervalle unitaire, c’est-à-dire H.

F : [ 0 , d’abord ]] → [ 0 , d’abord ]] {displayStyle fcolon [0,1] rightarrow [0,1]}

.

La forme la plus simple de la transformation de la boulangerie se traduit lorsque vous déploiez la pâte à deux fois plus la longueur, puis se pliez de sorte que les deux extrémités viennent les unes aux autres. Cette transformation peut être décrite mathématiquement comme suit:

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Ce chiffre est également appelé représentation de tente.

Vous obtenez une forme alternative de transformation de boulanger lorsque vous coupez la pâte déployée au milieu et les deux moitiés sans les retourner les uns contre les autres placé un les uns des autres. Pour cela, la description mathématique est

Cette figure est également appelée illustration de Bernoulli.

Pâte d’épaisseur finie [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Si nous regardons une pâte d’épaisseur finie, nous devons introduire une deuxième variable qui décrit la distance verticale de notre particule hypothétique du haut de la table. Dans la littérature, les variables sont généralement

X {displaystyle x}

et

et {displaystyle y}

utilisé; Ici, la hauteur à travers la variable

Avec {displayStyle avec}

s’avèrent permettre une compréhension plus intuitive des formules.

Par souci de simplicité, vous regardez une pâte de hauteur 1, de sorte que la transformation du boulanger est désormais une image du carré unitaire, i. H.

F : [ 0 , d’abord ]] 2→ [ 0 , d’abord ]] 2{displayStyle fcolon [0,1] ^ {2} rightarrow [0,1] ^ {2}}

. L’illustration dans

X {displaystyle x}

Est le même que ci-dessus; L’illustration dans

Avec {displayStyle avec}

Il résulte de la considération que l’épaisseur de la pâte est divisée par deux pendant deux fois la longueur lors du déploiement et de l’opération de pliage respective.

Si la pâte est repliée après le déploiement, la description mathématique est

( X n+1, Avec n+1) : = F ( X n, Avec n) : = {(2xn,zn2)falls xn∈[0,1/2](2−2xn,1−zn2)falls xn∈(1/2,1]{displayStyle (x_ {n + 1}, z_ {n + 1}): = f (x_ {n}, z_ {n}): = {begin {case} (2x_ {n}, {frac {z_ {n}} {2}}) & {Mbox {Falls} 2} _ {n}, 1- {frac {z_ {n}} {2}}) & {Mbox {chutes}} x_ {n} dans (1 / 2,1] end {cas}}}

D’un autre côté, si la pâte est coupée et placée les unes sur les autres, vous obtenez

( X n+1, Avec n+1) : = F ( X n, Avec n) : = {(2xn,zn2)falls xn∈[0,1/2](2xn−1,1+zn2)falls xn∈(1/2,1]gens {n} -1, {frac {1 + z_ {n}} {2}}) & {Mbox {chutes}} x_ {n} dans (1 / 2,1] end {cas}}}

  • John H. Argyris, Gunter Faust, Maria Haase: La recherche du chaos . Vieweg, Braunschweig 1994, ISBN 3-528-08941-5.
  • Erich W. Weisstein: Carte de Baker. De Mathworld – une ressource Web Wolfram ( regarder ici )
  • Roman Worg: Chaos déterministe. Chemins vers la dynamique non linéaire . BI Science Publisher, Mannheim 1993, ISBN 3-411-16251-1.

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