Bill de rémunération – Wikipedia

Le Facture de rémunération (aussi Facture de rémunération, rémunération, estimation des paramètres ou Ajustement mentionné) est une méthode d’optimisation mathématique, avec l’aide desquels les paramètres inconnus de votre modèle géométrique-physique ou les paramètres d’une fonction donnée doivent être déterminés ou estimés pour un certain nombre de données de mesure. En règle générale, des problèmes excessifs sont résolus. La régression et l’ajustement (Ting) sont fréquemment utilisés des procédures de calcul compensatoire.

Le but de la compensation est que le modèle final ou la fonction s’adapte aux données et à ses petites contradictions inévitables de la meilleure façon possible. En général, le calcul est effectué en utilisant la méthode des plus petits carrés. Cette méthodologie minimise les carrés de résidus, c’est-à-dire H. La somme de la différence carrée entre les valeurs mesurées et les valeurs d’estimation. Les différences entre la mesure et les valeurs estimées sont appelées résidus et font des déclarations sur la précision et la fiabilité du modèle de mesure et de données.

Étant donné que les petites contradictions se produisent dans toutes les données redondantes testées pour la fiabilité (voir également sur la détermination), la gestion de ces écarts résiduels principalement distribués statistiquement est devenu une tâche importante dans diverses sciences et technologies. En plus de l’effet de lissage sur les données de diffusion, le calcul de l’égalisation est également utilisé pour atténuer les écarts, par exemple dans les sciences sociales.

Cette recherche des valeurs naturelles et très probablement des systèmes ou des séries de mesures dans le langage de la théorie de l’approche est l’estimation des paramètres inconnus d’un modèle mathématique. Les estimations obtenues en utilisant la plus petite estimation des carrés sont les «meilleures» au sens de la phrase de Gauß-markov. Dans le cas le plus simple, une égalisation vise à décrire un plus grand nombre de données de mesure empiriques ou d’enquête par une courbe et à minimiser les écarts résiduels (catégorie résiduelle). Un tel ajustement de la courbe peut également être effectué étonnamment avec soigneusement les yeux libres en visualisant la série de données, qui souligne les caractéristiques naturelles de la minimisation de la déviation carrée.

Vers 1800, le projet de loi sur l’égalisation a été développé par Carl Friedrich Gauß pour un réseau d’arpentage de géodésie et pour la détermination ferroviaire des planétoïdes. Depuis lors, la rémunération a été effectuée dans toutes les sciences naturelles et d’ingénierie, parfois aussi en sciences commerciales et sociales. La compensation selon le modèle Gauss-Markow fournit le meilleur résultat possible si les résidus sont aléatoires et suivent une distribution normale. Les mesures variables sont comparées par pondération.

Cependant, si les mesures ou les données contient également des influences systématiques ou des erreurs brutes, le résultat équilibré est falsifié et les résidus ont une tendance vers les influences d’interférence. Dans de tels cas, des analyses supplémentaires sont nécessaires, telles qu’une analyse de variance ou le choix d’une procédure d’estimation robuste.

Dans le cas le plus simple, c’est la comparaison des écarts de mesure (graines d’erreur) selon la méthode des plus petits carrés. Les inconnues (les paramètres) du modèle sont déterminées de telle manière que le carré des écarts de mesure de toutes les observations devient minime. Les paramètres estimés sont ensuite d’accord avec le modèle théorique. Alternativement, la compensation peut également être effectuée en fonction d’une fonction d’évaluation résiduelle différente, par ex. B. en minimisant la somme ou les quantités maximales des écarts de mesure (méthode des plus petits écarts absolus).

Il s’agit d’un problème d’optimisation. Les étapes informatiques d’une égalisation sont significativement simplifiées si l’erreur exprime peut être considérée comme normale et non corrélée. S’il y a une précision inégale des mesures, cela peut être pris en compte par pondération.

Modèle fonctionnel et stochastique [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Chaque compensation est précédée de la formation de modèles. En général, une distinction est faite entre le modèle fonctionnel et le modèle stochastique.

• Un modèle fonctionnel décrit les relations mathématiques entre les paramètres connus (constantes), inconnus et observés. Les observations représentent des tailles stochastiques (variable aléatoire), par ex. B. Mesures superposées avec des troubles aléatoires.
  • À titre d’exemple simple, un triangle est cité dans lequel les mesures excédentaires conduisent à des contradictions géométriques (par exemple l’angle des angles dans un inégal 180 °). Le modèle fonctionnel pour cela est les formules de la trigonométrie; Les troubles peuvent par exemple B. Petits écarts cibles à chaque mesure d’angle.
• Le modèle stochastique décrit les variances et les covariables des paramètres observés.

L’objectif de l’équilibre est une dérivation optimale des valeurs inconnues (paramètres, par exemple les coordonnées des points de mesure) et les dimensions pour leur précision et leur fiabilité au sens d’une fonction cible. Pour ce dernier, vous choisissez généralement la somme minimale des carrés de déviation, mais pour les cas spéciaux, il peut également être des valeurs absolues minimales ou d’autres fonctions cibles.

Procédure de solution [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Selon le modèle fonctionnel et stochastique, différents modèles d’égalisation sont utilisés.

La principale fonctionnalité de différence est

• si toutes les observations peuvent être représentées comme des fonctions inconnues et constantes,
• Que les observations soient stochastiquement indépendantes ou corrélées,
• si les relations n’ont que des observations et des constantes, mais ne contiennent pas de personnes inconnues,
• S’il y a aussi ceux qui sont sous la quantité de relations qui ne décrivent que des relations sous les constantes et les personnes inconnues et décrivent ainsi les restrictions entre des personnes inconnues.
• Lorsque la survenue de mesures très différentes est mixte – par exemple dans les mesures géométriques et physiques – les méthodes de calcul compensatoire ont été élargies par certains mathématiciens et géodes vers 1970 à la collocation si appelée. Il est utilisé pour la détermination géoïde, voir H. Moritz, H. Sünkel et C.C. Tscherning.

Les modèles d’égalisation sont:

• Compensation selon les observations médiatrices : Les observations individuelles sont des fonctions des paramètres inconnus.
• Compensation en fonction des observations médiatrices avec des conditions entre l’inconnu : Il existe des conditions supplémentaires entre les paramètres inconnus.
• Compensation selon des observations conditionnelles (égalisation conditionnelle) : Les conditions des observations dans lesquelles les paramètres inconnus ne se produisent pas sont configurées. Les paramètres inconnus peuvent ensuite être calculés à partir des observations équilibrées.
• Affaire générale de l’indemnisation : Les relations fonctionnelles entre les observations et les paramètres sont configurées dans lesquelles les observations ne se produisent pas explicitement en fonction des paramètres.

Procédure graphique [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Bien qu’un modèle doit être utilisé comme modèle, la procédure graphique est possible sans une telle hypothèse. Ici, une ligne d’équilibrage constamment incurvée est approchée des points de mesure. Selon les connaissances de base (attente du cours) ou l’évaluation personnelle (points de mesure individuels en tant que «valeur aberrante»), la ligne peut varier. La méthode est fondamentalement moins analytique, mais offre la possibilité de compenser les faits et les conditions aux limites difficiles à interpréter, ce qui est souvent difficile à formuler mathématiquement. Il existe des pochoirs (phrases) pour tracer de telles lignes, en particulier les modèles dits de Burmester sont courants.

Calcul de compensation générale [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Les points de mesure sont donnés

${displayStyle (t_ {i}, b_ {i}) dans mathbb {r} ^ {2},; i = 1, dotsc, m}$

. La fonction du modèle

${displaystyle phi}$

Avoir un paramètre

${displayStyle x_ {i} dans mathbb {r} ,; i = 1, dotsc, n}$

, par lequel

${displaystyle mgeq n}$

devrait s’appliquer. La fonction du modèle

${displaystyle phi}$

dépend des points de mesure

${displayStyle t_ {i}}$

et les paramètres

${displayStyle x_ {i}}$

et si les points de mesure

${displaystyle b_ {i}}$

approche. Brièvement écrit comme:

${displayStyle phi (t_ {i}; x_ {1}, dotsc, x_ {n}) sim b_ {i}, quad i = 1, dotsc, m.}$

Il y a maintenant des paramètres

${DisplayStyle s’il vous plaît mathbb {r} ^ {n}}}$

Recherché les points de mesure “bien”:

${DisplayStyle | b-phi (x) | = min _ {yin mathbb {r} ^ {n}}} | b-phi (y) |}$

,

Les définitions suivantes ont été faites:

${displayStyle {begin {aligned} b &: = (b_ {i}) _ {i = 1, dotsc, m} \ phi (x) &: = phi (t_ {i}; x_ {1}, dotsc, x_ {n}). end {alignement}}}$

Comment la “bonne” fonction du modèle avec les paramètres sélectionnés s’approche des points de mesure dépend de la norme sélectionnée

${displayStyle | CDOT |}$

loin. Les normes suivantes sont utilisées:

Calcul de compensation linéaire [ Modifier | Modifier le texte source ]]

La dépendance de la fonction du modèle sur les paramètres

${displaystyle x}$

Peut être accepté comme linéaire dans des cas spéciaux:

${DisplayStyle phi (x) = axquad {text {mit}}}; ain mathbb {r} ^ {mTimes n}.}$

Le Problème de compensation linéaire Lit maintenant: pour

${displaystyle bin mathbb {r} ^ {m}, ain mathbb {r} ^ {mtimes n}}$

chercher

${DisplayStyle s’il vous plaît mathbb {r} ^ {n}}}$

, de sorte que

${displayStyle | b-ax | _ {2} = min _ {yin mathbb {r} ^ {n}} | b-as | _ {2}}$

est applicable.

Cette définition est équivalente pour s’assurer que

${DisplayStyle s’il vous plaît mathbb {r} ^ {n}}}$

le Équations normales Satisfait:

${displayStyle a ^ {t} ax = a ^ {t} b.}$

L’existence d’une solution

${DisplayStyle s’il vous plaît mathbb {r} ^ {n}}}$

est toujours donné et le caractère unique si

${displaystyle a}$

Rang complet:

${displayStyle Mathrm {Rang} (a) = n}$

.

La preuve de l’équivalence de l’équation et de l’unicité normales peut être dans (Reusken, 2006) ^[d’abord] être lu.

La condition du problème de compensation linéaire dépend du numéro de condition de la matrice

${displaystyle a}$

De, comme d’une propriété géométrique du problème.

Être dans ce qui suit

${Displaystyle ain mathbb {r} ^ {mtimes n}, mgeq n}$

Avec un rang complet et

${displayStyle x ^ {*} dans Mathbb {r} ^ {n}}$

la solution au problème de compensation.
En raison de l’orthogonalité de l’adaptation:

${displayStyle b-ax ^ {*} perp ax ^ {*}}$

Y a-t-il un clair

${displaystyle thêta dans [0, {frac {pi} {2}}]}$

avec (selon Pythagore):

${displaystyle cos theta = {frac {| ax ^ {*} |} {| b |}} quad {text {und}} quad sin theta = {frac {| b-ax ^ {*} |} {| b |}}.}.$

Cela devrait être le géométrique Être une qualité du problème.

Côté droit perturbé [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Être

${displaystyle x ^ {*}}$

et

${displayStyle {Tilde {x}} ^ {*}}$

Les solutions du problème de compensation linéaire avec le côté droit

${displaystyle b}$

ou perturbé le côté droit

${displayStyle {Tilde {b}}}$

, aussi:

${displaystyle a ^ {t} ax ^ {*} = a ^ {t} Bquad {texte {und}} quad a ^ {t} a {tilde {x}} ^ {*} = a ^ {t} {Tilde {b}}.}.$

Le conditionnement de ce problème est maintenant:

${displaystyle {frac {|x^{*}-{tilde {x}}^{*}|_{2}}{|x^{*}|_{2}}}leq {frac {kappa _{2}(A)}{cos Theta }}{frac {|b-{tilde {b}}|_{2}}{|b|_{2}}}.}$

La preuve peut être dans (Reusken, 2006) ^[2] être lu.

Pour

${displayStyle thêta = 0}$

Si vous obtenez le conditionnement du système linéaire des équations

${displayStyle ax = b}$

et pour

${displayStyle theta = {frac {pi} {2}}}$

Toute sensibilité à l’interférence.

Matrice perturbée [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Être

${displaystyle x ^ {*}}$

ou.

${displayStyle {Tilde {x}} ^ {*}}$

La solution au problème de compensation linéaire pour la matrice

${displaystyle a}$

ou.

${displayStyle {Tilde {a}}}$

, aussi:

${displayStyle a ^ {t} ax ^ {*} = a ^ {t} bquad {text {und}} quad {Tilde {a}} ^ {t} {Tilde {a}} {Tilde {x}} ^ {*} = {Tilde {a}} ^} ^}$

Le conditionnement de ce problème est maintenant:

${displayStyle {frac {| x ^ {*} – {Tilde {x}} ^ {*} | _ {2}} {| x ^ {*} | _ {2}}} Leq Left (kappa _ {2} (a) + kappa _ {2} (a) ^ {2} {Tilde {a}} | _ {2}} {| a | _ {2}}}.}$

La preuve peut être dans (Deuflhard, 2002) ^[3] être lu.

Au début du 20e siècle, Harlow Shapley a calculé l’expansion de la Voie lactée et l’emplacement du niveau galactique dans la pièce. Pour ce faire, il avait besoin des coordonnées (euclidien) x ^d’abord , X ² , X ³ Une sélection représentative de n corps par rapport à un système de coordonnées fixe.

Est

${displayStyle ax ^ {1} + bx ^ {2} + cx ^ {3} -d = 0}$

avec

${displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} = 1}$

La forme normale Hessesche du niveau galactique que vous recherchez, la distance de ce niveau peut être calculée à partir de chaque “objet”. Dans le sens de la méthode des plus petits carrés, les coefficients A, B, C et D doivent être déterminés de telle manière que la valeur moyenne des distances carrées des

${displaystyle n}$

Les observations deviennent minimes:

${displayStyle {frac {1} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} {(ax_ {k} ^ {1} + bx_ {k} ^ {2} + cx_ {k} ^ {3} -d) ^ {2}}}$

(Avec l’état secondaire

${displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} = 1}$

), par lequel

${displaystyle k}$

est une observation.

Le centre du “nuage d’objet” p (

${displayStyle x_ {text {p}} ^ {1} / x_ {texte {p}} ^ {2} / x_ {texte {p}} ^ {3}}$

) avec

${DisplayStyle x_ {text {p}} ^ {i} = {frac {1} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} {x_ {k} ^}}}}}}}}}$

(Valeurs moyennes) devrait être la distance du niveau que vous recherchez

${displayStyle 0 = ax_ {text {p}} ^ {1} + bx_ {texte {p}} ^ {2} + cx_ {texte {p}} ^ {3} -d}$

ont.

Le coefficient peut être éliminé et vous obtenez

${displayStyle {frac {1} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} {(ax_ {k} ^ {1} + bx_ {k} ^ {2} + cx_ {k} ^ {3} – (ax_ {text {p}} ^ {{1} + bx } + cx_ {texte {p}} ^ {3})) ^ {2}}}$

devrait devenir minime (avec l’état secondaire

${displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} = 1}$

)

Transition vers le vectornotation [ Modifier | Modifier le texte source ]]

La facture supplémentaire sera facilitée si vous passez le vecteur et la notification de mise en place. La facture peut ensuite également être étendue à des dimensions plus élevées.

${displayStyle x_ {k} ^ {text {t}} = (x_ {k} ^ {1}, x_ {k} ^ {2}, x_ {k} ^ {3})}$

ainsi que

${displayStyle x_ {text {p}} ^ {text {t}} = (x_ {text {p}} ^ {1}, x_ {text {p}} ^ {2}, x_ {texte {p}} ^ {3})}$

. Les flèches vectorielles sont supprimées dans la notation; Les vecteurs sont traités comme une matrice 3×1 (dans la matrice transposée en 1×3).

Les coefficients du niveau deviennent un vecteur de mandrin appelé de niveau

${displayStyle e ^ {t} = (a, b, c)}$

résumé.

Avec ça:

$m tovey$

devrait devenir minime (avec l’état secondaire

${displayStyle | e | = {sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}} = 1}$

)

Avec les règles de calcul des matrices, en particulier

${displayStyle (ab) c = a (bc)}$

et

${displayStyle (ab) ^ {t} = b ^ {t} a ^ {t}}$

, vous obtenez

${displayStyle {frac {1} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} (e ^ {t} (x_ {k} -x_ {p})) ^ {2} = {frac {1} {n}}} (x_} -} {p})] [e ^ {t} (x_ {k} -x_ {p})]] = {frac {1} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} [e ^ {t} (x_ {k} -x_ {p})] [(x_ {k} -x_ {t}) }$

.
Dans le dernier support angulaire (

${displayStyle [(x_ {k} -x_ {p}) ^ {t} e]}$

) est une matrice 1×1 pour que la transformation puisse être laissée à la terre. Nous recevons ainsi:

${displayStyle {frac {1} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} [e ^ {t} (x_ {k} -x_ {p})] [(x_ {k} -x_ {p}) ^ {t} e] = {frac {1} {n} {k = 1} ^} ^} ^} ^} e ^ {t} [(x_ {k} -x_ {p}) (x_ {k} -x_ {p}) ^ {t}] e = e ^ {t} [{frac {1} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} (x_ {k} -x_ {p}). }) ^ {T}] e}$

Dans le dernier support angulaire, la fonction d’estimation du Kovarianzmatrix C:

${displayStyle {hat {c}} = {frac {1} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} (x_ {k} -x_ {p}) (x_ {k} -x_ {p}) ^ {t} = {frac {1} {n}} {Begin {Pmatrix} x_ {k} ^ {1} -x_ {texte {p}} ^ {1} \ x_ {k} ^ {2} -x_ {Text {p}} ^ {2} \ x_ {k} ^ {3} -x_ {text {p}} {3} End}$

(

${DisplayStyle x_ {k} ^ {1} -x_ {text {p}} ^ {1}, x_ {k} ^ {2} -x_ {text {p}} ^}, x_ {k} ^ {3} -x_ {text {p}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} }}$

) =

${displayStyle {frac {1} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} {begin {pmatrix} (x_ {k} ^ {1} -x_ {text {p}} ^ ^ {1}) ^ {2} & (x_ {k} ^ {1} -x_ {p {}) (x_ {k} ^ {2} -x_ {text {p}} ^ {2}) & (x_ {k} ^ {1} -x_ {text {p}} ^ {1}) (x_ {k} ^ {3} -x_ {Text}}} Texte {p}} ^ {2}) (x_ {k} ^ {1} -x_ {texte {p}} ^ {1}) & (x_ {k} ^ {2} -x_ {Text {p}} ^ {2}) ^ {2} & (x_ {k} ^ {2} – }) (x_ {k} ^ {3} -x_ {text {p}} ^ {3}) \ (x_ {k} ^ {3} -x_ {text {p}} ^ {3}) (x_ {k} ^ {1} -x_ {p}} ^ {1}) gens$

Aussi:

${displayStyle (a, b, c) {hat {c}} {begin {pmatrix} a \ b \ cend {pmatrix}}}$

devrait devenir minime (avec l’état secondaire

${displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} = 1}$

)

Vous avez maintenant affaire à une forme carrée et son minimum sur la sphère unitaire.

Le minimum est le propre vecteur standardisé de la plus petite particularité du Kovarianzmatrix ^[4] . Par conséquent, l’auto-vecteur de la matrice de covariance est la plus petite particularité du vecteur normal du niveau que vous recherchez.

• Wolfgang Niemeier: Calcul de compensation – Méthodes d’évaluation statistique. 2e édition. De Gruyter, Berlin / New York 2008, ISBN 978-3-11-019055-7.
• Helmut Wolf: Calcul de la rémunération I et II: Formules pour une application pratique . Bonn 1994 (2e édition)
• Excursions mathématiques: compensation selon les observations médiatrices
• R. Jäger, T. Müller, H. Saler, R. Schwäble: Procédures d’égalisation classiques et robustes – un guide pour la formation et la pratique des géodes et des géoinformatiques . Wichmann, Heidelberg 2005, ISBN 3-87907-370-8.
• T. Scturant: Ajustement des données et incertitude (une introduction pratique aux moindres carrés pondérés et au-delà). 2e édition, Springs Views, 2016, ISBN 978-3-658-11455.8.

1. ↑ Dahmen, Wolfgang; Reusken, Arnold: Numerics pour les ingénieurs et les scientifiques . Springer-Verlag, 2006, pp. 122ff (preuve phrase 4.5).
2. ↑ Dahmen, Wolfgang; Reusken, Arnold: Numerics pour les ingénieurs et les scientifiques . Springer-Verlag, 2006, p. 125 (preuve phrase 4.7).
3. ↑ Deuflhard, Peter; Hohmann, Andreas: Mathématiques numériques I. Une introduction algorithmique . 2002.
4. ↑ Formes quadratiques sur la sphère unitaire . Dans: Introduction aux statistiques stellaires . Elsevier, 1967, ISBN 978-0-08-010119-4, S. 158–161 .