Dedekindsche Etafunction – Wikipedia

Définition selon Dedekind [ Modifier | Modifier le texte source ]]

L’établissement est généralement défini comme un produit infini comme suit:

$MMS Slepent Yleves) :. Iyyyy K 12 M Remegy Hy Hym Hyo Hjoy Mjoy Mjoy Mjoy$

.

La définition suit immédiatement que

${DisplayStyle Eta}$

dans

${displaystyle mathbb {h}}$

n’a pas zéro.

La fonction est étroitement liée au discriminant

${DisplayStyle Delta}$

, C’est

${DisplayStyle Delta (tau), =, (2pi) ^ {12} eta ^ {24} (tau)}$

.

Définition selon Weber [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Selon le mathématicien Braunschweig Heinrich Weber ^[d’abord] défini dans ce qui suit:

${DisplayStyle eta _ {w} (x) = x ^ {1/24} prod _ {n = 1} ^ {infty} (1- x ^ {n}) = x ^ {1/24} (x; x) _ {infty}}}}$

${DisplayStyle eta _ {w} [exp (2pi itaU)] = eta (tau)}$

Weber a publié la définition montrée dans le troisième volume de son travail Manuel d’algèbre à partir de 1902 à la page 112. donc la fonction ETA selon la définition de Weisscher est directement le produit du produit Euler et de la fonction racine de vingt-quarts. Le symbole Pochhammer représente l’expression du support avec les deux entrées X

${DisplayStyle eta _ {w} (x) = 3 ^ {- 1/2} Vartheta _ {10} ({tfrac {1} {6}} pi; x ^ {1/6})}$

${DisplayStyle eta _ {w} (x) (x) = 2 ^^^ {- 1/6} Vartheta _ _ _ _ {10} (x) ^ {1/6} Vartha _ _ _ _ _ ^ ^ (x) ^ {1/6} Vartheta _ _ _ _ }$

${DisplayStyle eta _ {w} (x) (x) = 2 ^^ {- 1/3} Vartheta _ _ _ _ _ {10} (x ^^ {1/2}) ^ {1/3} vorthEta _ _ {^ {^ {1/2}) ^ {1/3} (1/3) {1/3} 2}) ^^ {1/3}}$

Ces trois formules qui viennent de s’afficher se correspondent. Dans ce qui suit, un exemple important est formulé:

${DisplayStyle eta (i) = eta _ {w} ({text {e}}} ^ {- 2pi}) = {text {e}} ^ {- Pi / 12} ({text {e}} ^} ^ {- 2pi};}}} {}}}}}}}}; texte {e}}} ^ {- pi / 3}) =})$

${DisplayStyle = 2 ^ {- 1/6} Vartheta _ {10} ({text {e}} ^ {- 2pi}) ^ {1/6} Vartheta _ {00} ({Text {e}} ^} ^} ^ {- 2pi}) ^ {1/6} VaRThe 2Pi} 2 ^ {- 1/3} Vartheta _ {10} ({texte {e}} ^ {- pi}) ^ {1/3} Vartheta _ {00} ({texte {e}} ^} ^} ^ {- Pi}) ^ {1/3}) / 3} =}$

${displayStyle = {tfrac {1} {2}} pi ^ {- 3/4} gamma ({tfrac {1} {4}}) = 2 ^ {- 1/4} {sqrt {g}}}$

Le symbole γ représente la fonction gamma et le g exprime la constante gaussienne.

Les définitions suivantes s’appliquent également aux fonctions thêta:

${displayStyle Vartheta _ {00} (x) = 1 + 2 {biggl (} sum _ {k = 1} ^ {infty} x ^ {k ^ {2}} {biggr)} = prod _ {n = 1} ^ {infty} (1-x ^ {2n}) (1 + x ^ {2n-1)$

${displayStyle vartheta _ {01} (x) = 1-2 {biggl [} sum _ {k = 1} ^ {infty} x ^ {(2k-1) ^ {2}} – x ^ {(2k) ^ {2}} {biggr]} = prod {n = 1} ^ {infty} (1 ^ {2n-1}) ^ {2}}$

${displayStyle vartheta _ {10} (x) = 2 {biggl [} sum _ {k = 1} ^ {infty} x ^ {(k- {frac {1} {2}}) ^ {2}} {biggr]} = 2x ^ {1-1/4} prod _ }) (1 + x ^ {2n}) ^ {2}}$

La fonction de son comportement de transformation sous les substitutions des producteurs du groupe de modules reçoit leur sens:

${displayStyle gamma: = mathrm {sl} _ {2} (mathbb {z}) = {{bigl (} {begin {smallmatrix} a & b \ c & dend {smallmatrix}} {bigr)} mid a, b, c, din mathbb {z}, ad-bc = 1}}$

,

Ce qui suit s’applique:

${DisplayStyle Eta (tau +1), =, e ^ {pi i / 12} eta (tau)}$

Et cela s’applique:

${displayStyle eta Left ({frac {-1} {tau}} droit) = {sqrt {frac {tau} {i}}}, eta (tau)}$

Numéros de financement et numéro de carte [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Le taux de nombres pentagonaux de Leonhard Euler peut être utilisé pour calculer la fonction de Dedekind ETA:

${displayStyle eta _ {w} (x) = x ^ {1/24} prod _ {n = 1} ^ {infty} (1-x ^ {n}) = x ^ {1/24} sum _ {M = 0} ^ {infty} {2m + 1) (3m + 1) } -x ^ {(2m + 1) (3m + 2)} + x ^ {(m + 1) (6m + 5)} {bigr]}}$

Les nombres pentagonaux généralisés constituent un double épisode du nombre de pentences et de numéros de maison.

Parce que la même formule peut également être exprimée comme suit:

${displayStyle eta _ {w} (x) = x ^ {1/24} sum _ {k = 0} ^ {infty} {bigl [} x ^ {{text {kr}} (2k)} – x ^ {{text {fn}} (2k + 1)} – x ^ {{text}} (2k + 1)} – x ^ {{text {fn}} (2k + 2)} {bigr]}}$

Voici FN (Z) pour le numéro pentagonal Z-TE et KR (Z) pour le numéro de carte Z-TE:

${displayStyle {text {fn}}} (z) = {tfrac {1} {2}} z (3z-1)}$

${Displastyle {text {kr}}} (z) = {tfrac {1} {2}} z (3z + 1)}$

Les nombres pentagonaux peuvent également être utilisés pour la synthèse de la séquence de partitions à l’aide d’une formule de récursivité.

Cette certaine partie intégrante découle des formules maintenant montrées:

${affichestyle int _ {0} ^ {1} eta _ {w} (x), mathrm {d} x = sum _ {k = -infty} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k}} {{tfrac {1} {2}}}}}}}}}}}}}}}} }}} = {sqrt {2}}, pi sinh ({tfrac {2} {3}} {sqrt {6}}, pi), {text {seh}} ({sqrt {6}}, pi) approx 0 {,} 3416968346LOTS}$

Numéros de partition normaux et stricts et numéros de partition supérieurs [ Modifier | Modifier le texte source ]]

À la suite des coefficients de la fonction suivante, la séquence de partitions P elle-même apparaît:

${displayStyle x ^ {1/24} eta _ {w} (x) ^ {- 1} = prod _ {n = 1} ^ {infty} (1-x ^ {n}) ^ {- 1} = sum _ {m = 0} ^ {infty} p (m) x ^ {m}}}$

Des conséquences similaires s’appliquent à la séquence de partitions strictes Q et à la séquence de numéro de partition supérieure

${displayStyle {overline {p}}}$

:

${affichestyle x ^ {- 1/24} eta _ {w} (x) Vartheta _ {01} (x) ^ {- 1} = prod _ {n = 1} ^ {infty} (1 + x ^ {n}) = sum _ {m = 0} ^ {infty} q (m) x ^ {m}}$

${displayStyle {frac {1} {Vartheta _ {01} (x)}}} = prod _ {n = 1} ^ {infty} {frac {1 + x ^ {n}} {1-x ^ {n}}} {p} (p} (m) }}$

Définitions du nombre de partitions [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Séquence de partitions normales P:

Avec un nombre naturel, les numéros de partition normaux indiquent le nombre d’options pour démonter le nombre affecté en résumés naturellement. L’ordre des Résumé respectifs n’est pas pris en compte dans le cas de ces décomposition.

Séquence de partitions strictes Q:

Si chaque résumé une seule fois ^[2] peut apparaître dans la partition et donc aucun résumé ne se produit à plusieurs reprises en montant de partition, puis les partitions strictes SO-calées sont disponibles, dont le nombre est décrit en fonction de la valeur de la somme par la séquence de nombres q.

Séquence de numéros de partition suprême

${displayStyle {overline {p}}}$

:

Si toutes les partitions sont configurées pour un nombre Z afin que la taille de résumé n’augmente jamais, et dans toutes ces partitions, tous ces résumés peuvent être marqués qui n’ont pas les mêmes résumés totaux sur la gauche, alors le nombre résultant de partitions marquées sera ^[3] En fonction de z à travers la fonction de partition supérieure

${displayStyle {overline {p}} (z)}$

décrit.

Formules de table et relationnelles des conséquences [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Tableau du nombre de nombres:

Avec	0	d’abord	2	3	4	5	6	7	8	9	dix	11	douzième	13	14	15
P (z)	d’abord	d’abord	2	3	5	7	11	15	22	30	42	56	77	101	135	176
Q (z)	d’abord	d’abord	d’abord	2	2	3	4	5	6	8	dix	douzième	15	18	22	27
${displayStyle {overline {p}} (z)}$	d’abord	2	4	8	14	24	40	soixante-quatre	100	154	232	344	504	728	1040	1472

Relations de somme importantes sur les séquences mentionnées les unes avec les autres:

${Affichestyt p (2n) = sum _ {{k = 0} ^ {n} p (2k) qu (2k)$

${DisplayStyle p (2n + 1) = sum _ {k = 0} ^ {n} s (2k + 1)}}.$

${displayStyle {overline {p}} (n) = sum _ {k = 0} ^ {n} p (n-k) q (k)}$

Ces relations s’appliquent entre le nom elliptique et l’intégrale elliptique complète du premier type:

${Displaytlele eta _ {w} [y} [q (Verepsion)] = 2 ^ {1/3} / 2} Verpsion ^ {1/1/1$

${DisplayStryle eta _ {w} [1/1/1/1/1/6} (12}) ^ {1/6} (12}) ^ {1/12}. ^ Long$

Ces relations s’appliquent à toutes les valeurs réelles ε dans l’intervalle 0 <ε <1.

Remarque importante sur le nom elliptique:

${DisplayStytle q (k) = exp [-pi k ({sqrt {1-k ^ {1-1}}) k (k)$

Les quotients suivants aboutissent aux valeurs suivantes:

${Displaytlele {eta {eta {eta {eta {{w} [1q (verrepsion) {{10}] {{w} [w} [willite) r5} (verrepsilon) +1] ^ {1/6}}$

${Displayst {{eta {eta {eta {eta {eta {eta {eta {eta {eta {eta {eta {eta {9}] {{w}]} {{w}] REPSION ^ {2}}] }} +1/6}}.$

Pour une fonction réduite du module Webersch

${displayStyle w_ {r5}}$

Ces formules s’appliquent:

${Displayst {{rpsion {respSilon) = {verc {2 [q (verrepsilon) ^ {10}] {{10}]}; q (Valrepsilon) ^ {10}] _ {infyth [q (varrepssion) ^ {2};$

${Displayst {{rpsion {respSsslan) {{frac {5, {{00}] _ {00}] {2} {5}} KK (Valrepsilon);$

$} {Bigr]}}$

Le mathématicien Michael Trott a traité dans son travail Équations modulaires de la fraction continue de Rogers-Ramanujan L’identité suivante pour la pause de la chaîne Rogers Ramanujan:

${displayStyle r (x) = tan {biggl {} {frac {1} {2}} opératorname {arccot} {biggl [} {frac {eta _ {w} (x ^ {1/5})} {2eta _ {w} (x ^ {5})} } {biggr]} {biggr}}}$

Ainsi, la rupture de la chaîne Rogers Ramanujan avec le théorème de moitié de la fonction de l’empinet peut être représentée.

Selon la définition de Weberscher, certaines valeurs de fonction ETA de Dedekind sont répertoriées ici:

Valeurs de puissances droites de la valeur de balayage de Gelfondschen ^[4] En permanence:

${displayStyle eta _ {w} ({text {e}} ^ {- 2pi}) = 2 ^ {- 1/4} {sqrt {g}}}$

${displayStyle eta _ {w} ({text {e}} ^ {- 4pi}) = 2 ^ {- 5/8} {sqrt {g}}}$

${displayStyle eta _ {w} ({text {e}} ^ {- 6pi}) = 2 ^ {- 1/4} 3 ^ {- 3/8} (2- {sqrt {3}}) ^ {1/12} {sqrt {g}}}$

${displayStyle eta _ {w} ({text {e}} ^ {- 8pi}) = 2 ^ {- 17/16} ({sqrt {2}} – 1) ^ {1/4} {sqrt {g}}}$

${displayStyle eta _ {w} ({text {e}} ^ {- 10pi}) = 2 ^ {- 3/4} 5 ^ {- 1/2} ({sqrt {5}} – 1) ^ {1/2} {sqrt {g}}}$

${displayStyle eta _ {w} ({text {e}} ^ {- 12pi}) = 2 ^ {- 15/8} 3 ^ {- 3/8} ({sqrt [{4}] {12}} – {sqrt {3}} + 1) (2+ {sqrt {3}) sqrt {g}}}$

Valeurs des puissances exposantes du destinataire du Gelfonde Konstante:

${displayStyle eta _ {w} ({text {e}} ^ {- pi}) = 2 ^ {- 1/8} {sqrt {g}}}$

${displayStyle eta _ {w} ({text {e} ^^ {- 3pi}) = 2 ^ {- 11/8} 3 ^ {- 3/8} ({sqrt [{4}} {sq ^ {1/12} {sqrt {g}}}$

${displayStyle eta _ {w} ({text {e}} ^ {- 5pi}) = 2 ^ {- 9/8} 5 ^ {- 1/2} ({sqrt [{4}] {5}} + 1) ({sqrt {5}} – 1) ^ {1/2}$

Découverte par Hermith [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Selon la phrase d’Abel-Ruffini, le cas général des équations ne peut être résolu avec des expressions mathématiques élémentaires. Mais ce relâchement de l’équation quintique générale est très possible via les fonctions du module elliptique du premier type. La formule de détermination du module elliptique basé sur une équation quintique sous forme de jerrard a été étudiée par le mathématicien français Charles Hermith. Il a constaté que pour une équation du modèle suivant, le module elliptique associé K pour la formule de solution de l’équation affectée peut être formé de la manière suivante:

${displayStyle x ^ {5} + x = t}$

${displayStyle k = {bigl (} 50 {sqrt {5}}, t ^ {2} + 32 + 2 {sqrt {3125, t ^ {4} +256}} {bigr)} ^ {- 1/2} {bigl (} {sqrt {{sqrt {3125, t ^} }} + 16}} + 5 {sqrt [{4}] {5}}, t {bigr)}}$

Avec l’aide de fonctions crévantes hyperboliques, le même module peut également être montré de cette manière:

${displayStyle k = {text {ctlh}} {bigl [} {tfrac {1} {2}} {text {aclh}} {bigl (} {tfrac {5} {4}} {sqrt [{4}] {5}}}, 2, T {}} }$

Cette transition du lien absolu de l’équation de Bring-Jerrard montrée au module elliptique était dans l’usine Sur la résolution de l’Équation du cinquiéme degré Comptes rendus Décrit exactement par Charles Hermith. La version italienne de cette œuvre de Charles Hermith avec le titre de Francesco Brioschi Sur la résolution des équations de cinquième année À la page 258, contient la formule à partir de laquelle la formule de détermination du module représenté.

Solution à Prasolov et Solovyev [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Les mathématiciens russes ^[5] Viktor Prasolov (Victor Prasolov) und Yuri Solovyev (Yuri Solovyov) Haben à Ihrem Werk Fonctions elliptiques et intégrales elliptiques (Fonctions elliptiques et intégrales elliptiques, Fonctions elliptiques et intégrales elliptiques ) À partir de 1997, la solution exacte de l’équation quintique générale en forme de jerrard apportée via la fonction dedekinde eta. Surtout dans le septième chapitre qui y contenait Les fonctions thêta et les solutions d’équations quintiques A expliqué la détermination des solutions avec les fonctions thêta des puissances du nom elliptique. Dans leur description, ils ont introduit plusieurs fonctions et également des fonctions avec des indices. La section mentionnée est située dans l’édition américaine de l’American Mathematical Society aux pages 155 à 169.

La première de ses fonctions, la fonction

${displayStyle u (q)}$

Avait cette définition:

${Displaytytle u (q) = q ^ {{n = 1} prod _ {n = 1} {yinfty} (1 + q ^ {2n-1/2 01} (q ^ {2}), eta _$

Cette fonction est exactement la même de la fonction Weberian suivante:

${displayStyle u (q) = {mathfrak {f}} _ {00} (q)}$

La seconde de leurs fonctions, la fonction

${displayStyle v_ {infty} (q)}$

Avait cette définition:

${AfficheSstyle v_ {infty} (q) = u (q ^ {15}) = {warac {{cronthes _ {10} (q ^ {10}), eta _ {w} (q ^ {w}}),$

Le troisième de l’usine était le groupe de fonctions

${displayStyle v_ {c}}$

Sont définis:

${displayStyle v_ {c} (q) = u {bigl [} exp {bigl (} {tfrac {2} {5}} pi ic {bigr)}, q ^ {1/5} {bigr]}}$

De plus, les deux relations égales suivantes avec les fonctions individuelles ont été mentionnées:

${displayStyle u (q) ^ {6} + v_ {c} (q) ^ {6} = u (q) ^ {5} v_ {c} (q) ^ {5} -4u (q) v_ {c} (q)}$

${displayStyle u (q) ^ {12} -64u (q) ^ {- 12} = w_ {z} (q) [w_ {z} (q) ^ {2} +5] ^ {2}}$

Enfin, le groupe de fonctions

${displayStyle w_ {z} (q)}$

Configurer à la page 166 de la version américaine:

${displayStyle w_ {z} (q) = 5 ^ {- 1/2} u (q) ^ {- 3} [v_ {infty} (q) -v_ {z} (q)] [v_ {z + 1} (q) -v_ {z-1} (q)] [v_ {z + 2} (q) -v_ {z-2} (q)]$

Dans la section de ce travail de Prasolov et Solovyev, qui dans la version américaine de la tête Le schéma général de la solution des équations quintiques Porte la formule de solution exacte pour l’équation sous forme de jerrard Bring-Jerrard:

${displayStyle x ^ {5} + x = t}$

${displayStyle k = {text {ctlh}} {bigl [} {tfrac {1} {2}} {text {aclh}} {bigl (} {tfrac {5} {4}} {sqrt [{4}] {5}}}, 2, T {}} }$

${displayStyle x_ {z} = {frac {5, t} {w_ {z} [q (k)] ^ {2} +5}}}$

Par exemple, la vraie solution doit être produite pour l’équation suivante:

${displaystyle x ^ {5} + x = 3}$

${displayStyle k = {text {ctlh}} {bigl [} {tfrac {1} {2}} {text {aclh}} {bigl (} {tfrac {15} {4}} {sqrt [{4}] {5}}} {bigr) {bigl (} 450 {sqrt {5}} + 32 + 2 {sqrt {253381}} {bigr)} ^ {- 1/2} {bigl (} {sqrt {{sqrt {253381}} + 16}} + 15 {sqrt [4} )}}$

${displayStyle q = q (k) approx {couleur {blueviolet} 0 {,} 452374059450344348576600264284387826}}$

${displayStyle u (q) approx {couleur {bleu} 1 {,} 6793766370329236781186109016896650381}}$

${displayStyle v_ {infty} (q) environ 1 {,} 2020565415447883054021628770857506625}$

${displayStyle v_ {0} (q) environ 13 {,} 357708459902567001594418100339414049}$

${displayStyle v_ {1} (q) -v _ {- 1} (q) environ 2 {,} 2170053111841250792834105052918488698, i}$

${displayStyle v_ {2} (q) -v _ {- 2} (q) environ 1 {,} 128047248197709704193957813801151475, i}$

${displayStyle w_ {0} (q) approx {couleur {cyan} 2 {,} 870403532491899703750395629829405173173}}$

${displayStyle x_ {0} = {frac {15} {{couleur {cyan} 2 {,} 870403532491899703750395629829405173173} ^ {2} +5}}}$

${displayStyle x_ {0} approx {couleur {vert} 1 {,} 1329975658850652667211416342885323798165}}$

• Tom M. Apostol: Fonctions modulaires et série Dirichlet en théorie des nombres . Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York (1990), ISBN 3-540-97127-0
• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Théorie fonctionnelle 1 . 4e édition. Springer-Verlag, Berlin (2006), ISBN 3-540-31764-3
• Max Koecher, la guerre d’Aloy: Fonctions elliptiques et formulaires de module . 2e édition. Springer-Verlag, Berlin (2007), ISBN 978-3-540-49324-2
• Michael Trott: Équations modulaires de la fraction continue de Rogers-Ramanujan . Mathematica J. 9,314-333, 2004.
• Charles Hermite: Sur la résolution de l’Équation du cinquiéme degré Comptes rendus , Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, Nr. 11, März 1858.
• F. Brioschi: Sul Cleal Resolution of the Femini Grado: Hermite – Sur la résolution du Rangelu Degré Degré compare les comphets – . N. 11. Mars. 1858. 1er décembre 1858, Doi: 10.1007 / bf03197334 .
• Viktor Prasolov, Yuri Solovyev: fonctions elliptiques et intégrales elliptiques. American Mathematical Society, Translation of Mathematical Monographs, vol. 170, Rhode Island, 1991, pp. 149–169.

1. ↑ Eric W. Pointerstein: DedAdd et fonction. Consulté le 15 mars 2022 (Anglais).
2. ↑ Code Golf – Partitions strictes d’un entier positif. Consulté le 9 mars 2022 .
3. ↑ A015128 – OEIS. Consulté le 24 avril 2022 .
4. ↑ Eric W. Pointerstein: La constante de Gelfond. Consulté le 15 mars 2022 (Anglais).
5. ↑ https://staff.math.su.se/mleites/books/prasolov-solovievv-1997-elliptic.pdf