[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/determinant-fonctionnel-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/determinant-fonctionnel-wikipedia\/","headline":"D\u00e9terminant fonctionnel – Wikipedia","name":"D\u00e9terminant fonctionnel – Wikipedia","description":"before-content-x4 Le D\u00e9terminant fonctionnel ou D\u00e9termination de jacobi est une taille math\u00e9matique qui joue un r\u00f4le dans le calcul int\u00e9gral","datePublished":"2023-11-16","dateModified":"2023-11-16","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/9\/96\/Jacobian_determinant_and_distortion.svg\/400px-Jacobian_determinant_and_distortion.svg.png","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/9\/96\/Jacobian_determinant_and_distortion.svg\/400px-Jacobian_determinant_and_distortion.svg.png","height":"178","width":"400"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/determinant-fonctionnel-wikipedia\/","wordCount":11006,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Le D\u00e9terminant fonctionnel ou D\u00e9termination de jacobi est une taille math\u00e9matique qui joue un r\u00f4le dans le calcul int\u00e9gral multidimensionnel, c’est-\u00e0-dire le calcul de la surface et du volume-int\u00e9gral. En particulier, il est utilis\u00e9 dans la formule de surface et le taux de transformation de cette transformation exceptionnelle.  Une illustration non lin\u00e9aire f\u2192: R2\u2192 R2{displayStyle {vec {f}} colon mathbb {r} ^ {2} \u00e0 mathbb {r} ^ {2}}        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Transform\u00e9 un rectangle (\u00e0 gauche, en rouge) en une zone d\u00e9form\u00e9e (\u00e0 droite, en rouge). La matrice Jacobi en un point est la meilleure approximation lin\u00e9aire de la fonction autour de ce point        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4f\u2192( x\u2192) \u2248 f\u2192( x\u21920) + D F ( x\u21920) ( x\u2192– x\u21920) ) {DisplayStyle {thing {f}} ({thing {x}}) approx {thing {f}} ({thing {x}} _ {0}) + df ({x}} _ {0}) : Le rectangle d’origine serait transf\u00e9r\u00e9 au parall\u00e9logramme transparent blanc par la matrice Jacobi. Le d\u00e9terminant fonctionnel est le rapport des surfaces du parall\u00e9logramme approximatif et du rectangle d’origine. Le d\u00e9terminant fonctionnel fournit des informations importantes sur le comportement de la fonction \u00e0 un moment donn\u00e9 F {displaystyle f} Pr\u00e8s de ce point. Si, par exemple, le d\u00e9terminant fonctionnel d’une fonction r\u00e9guli\u00e8rement diff\u00e9renci\u00e9e en un point p {displaystyle p} est beaucoup z\u00e9ro, la fonction est dans un environnement de p {displaystyle p} invertable. De plus, ce qui suit s’applique qu’avec des d\u00e9terminants positifs        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4p {displaystyle p} La fonction maintient son orientation et, avec un d\u00e9terminant fonctionnel n\u00e9gatif, inverse l’orientation. La valeur absolue du d\u00e9terminant dans le point p {displaystyle p} indique la valeur avec laquelle la fonction proche p {displaystyle p} \u00e9largi ou r\u00e9tr\u00e9cit. Pour une fonction diff\u00e9renciable F : R n \u2192 R n {displayStyle fcolon mathbb {r} ^ {n} \u00e0 mathbb {r} ^ {n}} Le d\u00e9terminant fonctionnel est d\u00e9fini comme le d\u00e9terminant de la matrice Jacobi de F {displaystyle f} , ainsi que le D F ( X ) {DisplayStyle Det, df (x)} avec D F ( X ) = (\u2202fi\u2202xj(x))i,j=1,\u2026,n{displayStyle df (x) = Left ({frac {partiel f_ {i}} {partiel x_ {j}}} (x) droit) _ {i, j = 1, dotsc, n}} . Cette d\u00e9finition est suffisante pour la transformation des \u00e9l\u00e9ments de volume, une application importante en physique. La formule de surface de la th\u00e9orie dimensionnelle et de l’int\u00e9gration, en revanche, d\u00e9crit \u00e9galement comment les int\u00e9grales sont transform\u00e9es par des fonctions, qui repr\u00e9sentent des pi\u00e8ces de diff\u00e9rentes dimensions. Dans cette application est D F {DisplayStyle DF} Plus de matrice carr\u00e9e, de sorte que l’expression ci-dessus n’est plus d\u00e9finie. La d\u00e9finition suivante est ensuite utilis\u00e9e: Le d\u00e9terminant fonctionnel g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9 d’une fonction F : R n \u2192 R m {displayStyle fcolon mathbb {r} ^ {n} \u00e0 mathbb {r} ^ {m}} est d\u00e9fini comme JF ( X ) : = det((Df(x))T\u22c5Df(x)){displayStyle {Mathcal {j}}! f (x): = {sqrt {det Left (Left (df (x) droite) ^ {t} cdot df (x) droite)}}} D\u00e9crit D F ( X ) \u2208 R m \u00d7 n {displayStyle df (x) dans mathbb {r} ^ {mtimes n}} La matrice Jacobi et ( D F ( X ) ) T {displayStyle (df (x)) ^ {t}} leur transpos\u00e9. L’expression le ( (Df(x))T\u22c5 D F ( X ) ) {displayStyle det \u00e0 gauche (gauche (df (x) \u00e0 droite) ^ {t} cdot df (x) \u00e0 droite)} devient Gramy d\u00e9terminant de D F {DisplayStyle DF} appel\u00e9. Tant que l’image consid\u00e9r\u00e9e n’est pas un auto-exploration, il est commun au pr\u00e9fixe g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9 omettre. Cependant, en cas d’auto-formation, cela peut entra\u00eener des malentendus, car les deux d\u00e9finitions acceptent g\u00e9n\u00e9ralement diff\u00e9rentes valeurs. Il s’applique oui JF ( X ) = (detDf)2= | le D F | \u2260 le D F m toves empient patine pine max exblex) quy em \u00b6Deagates hupplate hupate hupate hupate hupates Cependant, dans le contexte de la zone ou de la formule de transformation, la quantit\u00e9 est toujours utilis\u00e9e de toute fa\u00e7on.  La quantit\u00e9 du d\u00e9terminant fonctionnel peut \u00eatre clairement interpr\u00e9t\u00e9e comme un produit spadminant des vecteurs de base (locaux). Ces vecteurs de base sont des vecteurs tangents aux lignes de coordonn\u00e9es et sont calcul\u00e9s \u00e0 partir de la transformation des coordonn\u00e9es par d\u00e9rivation partielle selon les nouvelles coordonn\u00e9es. Les composants d’un vecteur de base forment ainsi une colonne du d\u00e9terminant fonctionnel. L’\u00e9l\u00e9ment de volume du calcul int\u00e9gral peut \u00eatre d\u00e9termin\u00e9 avec le d\u00e9terminant fonctionnel. Pour les coordonn\u00e9es sph\u00e9riques, cela signifie: | le D F | = ( b\u2192r, b\u2192\u03b8, b\u2192\u03c6) = r 2p\u00e9ch\u00e9 \u2061 ( e ) {Affichestyle | enfant df | = ({thing {b}} _ {r}, {thing {b}} _ {theta}, {thing {b}} _ {varphi}) = r {2} sin (theta)} . Facture d\u00e9taill\u00e9e: voir ci-dessous. En int\u00e9gration via des objets g\u00e9om\u00e9triques, il n’est souvent pas pratique d’int\u00e9grer via des coordonn\u00e9es cart\u00e9siennes. En physique, l’int\u00e9grale peut \u00eatre int\u00e9gr\u00e9e via un champ de potentiel sym\u00e9trique radial, dont la valeur n’est qu’un rayon r {displaystyle r} d\u00e9pend, calculez beaucoup plus facilement dans les coordonn\u00e9es sph\u00e9riques. Pour ce faire, une transformation de coordonn\u00e9es est utilis\u00e9e Phi {displaystyle phi} \u00e0. Selon le taux de transformation, ce qui suit s’applique dans cet exemple: \u222b \u03a9DANS ( r\u2192) d DANS = \u222b \u03a6\u22121(\u03a9)DANS ( Phi ( r , e , Phi ) ) \u22c5 | detD\u03a6(r,\u03b8,\u03c6)| d r d e d Phi {Displaystyle Int _ {omga} u ({vec {r {r}) DV = int _ {phi {PHI ^{-1} (Omega)} U (PHI (R, Thata, Varphi)) Dphi (R, Theta, Varphi) RIGHT | {d} r, mathrm {d} Theeta, mathrm {d} varphi} Dans ce qui suit, les factures de trois syst\u00e8mes de coordonn\u00e9es sont r\u00e9pertori\u00e9es: Coordonn\u00e9es polaires [ Modifier | Modifier le texte source ]] Les formules de conversion des coordonn\u00e9es polaires dans les coordonn\u00e9es cart\u00e9siennes sont: X = r cos \u2061 Phi {displayStyle x = rcos varphi} et = r p\u00e9ch\u00e9 \u2061 Phi {displayStyle y = rsin varphi} Le d\u00e9terminant fonctionnel est donc: le \u2202(x,y)\u2202(r,\u03c6)= le (\u2202x\u2202r\u2202x\u2202\u03c6\u2202y\u2202r\u2202y\u2202\u03c6)= le (cos\u2061\u03c6\u2212rsin\u2061\u03c6sin\u2061\u03c6rcos\u2061\u03c6)= r \u22c5 ( cos \u2061 Phi ) 2+ r \u22c5 ( p\u00e9ch\u00e9 \u2061 Phi ) 2= r {displaystyle det {frac {partial (x,y)}{partial (r,varphi )}}=det {begin{pmatrix}{frac {partial x}{partial r}}&{frac {partial x}{partial varphi }}\\{frac {partial y}{partial r}}&{frac {partial y}{partial varphi }}end{pmatrix}}=det {begin{pmatrix}cos varphi &-rsin varphi \\sin varphi &rcos varphi end{pmatrix}}=rcdot (cos varphi )^{2}+rcdot (sin varphi )^{2}=r} En cons\u00e9quence, l’\u00e9l\u00e9ment de zone r\u00e9sulte d UN {displaystyle mathrm {d} a} : d UN = | det\u2202(x,y)\u2202(r,\u03c6)| d r d Phi = r d r d Phi . {DisplaySyLayStyle Mathrm {d} a = Left | det {frc {partial (x, y)}} droit |, mathrm} r, mathrm {d} r, mathrm {d} varphi.} Coordonn\u00e9es sph\u00e9riques [ Modifier | Modifier le texte source ]] Les formules de conversion des coordonn\u00e9es sph\u00e9riques ( r , e , Phi {Displaystyle r, thata, varphi} ) dans les coordonn\u00e9es cart\u00e9siennes: X = r p\u00e9ch\u00e9 \u2061 e cos \u2061 Phi {displaystyle x = rsin th\u00eata cos varphi} , et = r p\u00e9ch\u00e9 \u2061 e p\u00e9ch\u00e9 \u2061 Phi {Afficheystle y = rsin theta sin varphi} et Avec = r cos \u2061 e {displayStyle z = rcos th\u00eata quad} . Le d\u00e9terminant fonctionnel est donc: le \u2202(x,y,z)\u2202(r,\u03b8,\u03c6)= le (sin\u2061\u03b8cos\u2061\u03c6rcos\u2061\u03b8cos\u2061\u03c6\u2212rsin\u2061\u03b8sin\u2061\u03c6sin\u2061\u03b8sin\u2061\u03c6rcos\u2061\u03b8sin\u2061\u03c6rsin\u2061\u03b8cos\u2061\u03c6cos\u2061\u03b8\u2212rsin\u2061\u03b80)= r 2p\u00e9ch\u00e9 \u2061 e . } Rcos theta sain varpi & rsin theta cos varphi \\ cos theta & -rsin theta & 0nd {pmatrix}} = r ^^ {2} sin theta.} En cons\u00e9quence, l’\u00e9l\u00e9ment de volume r\u00e9sulte d DANS {displayStyle Mathrm {d} v} : d DANS = | det\u2202(x,y,z)\u2202(r,\u03b8,\u03c6)| d r d e d Phi = r 2p\u00e9ch\u00e9 \u2061 e d r d e d Phi . {DisplaySylyllllLlle Mathrm {d} v = Left | DET {frac {d} r, mathrm {d} r, mathrm {d} varphi = r {2} sin theta, mathrm {d} r, mathrm {d} theta, mathrm {d} varphi.} Parfois, il est plus pratique de travailler avec la convention suivante: X = r cos \u2061 e cos \u2061 Phi {displayStyle x = rcos theta cos varphi} , et = r cos \u2061 e p\u00e9ch\u00e9 \u2061 Phi {displayStyle y = rcos theta sin varphi} et Avec = r p\u00e9ch\u00e9 \u2061 e {displaystyle z = rsin th\u00eata quad} . Le d\u00e9terminant fonctionnel est donc: le \u2202(x,y,z)\u2202(r,\u03b8,\u03c6)= le (cos\u2061\u03b8cos\u2061\u03c6\u2212rsin\u2061\u03b8cos\u2061\u03c6\u2212rcos\u2061\u03b8sin\u2061\u03c6cos\u2061\u03b8sin\u2061\u03c6\u2212rsin\u2061\u03b8sin\u2061\u03c6rcos\u2061\u03b8cos\u2061\u03c6sin\u2061\u03b8rcos\u2061\u03b80)= – r 2cos \u2061 e . } Sin theta sin varphi & rcos theta cos varphi \\ sin th\u00eata & rcos theta & 0nd {Pmatrix} = -r ^ {2} cos theta.} Il y a donc un \u00e9l\u00e9ment de volume d DANS {displayStyle Mathrm {d} v} : d DANS = | det\u2202(x,y,z)\u2202(r,\u03b8,\u03c6)| d r d e d Phi = r 2cos \u2061 e d r d e d Phi . {DisplaySylyllllLlle Mathrm {d} v = Left | det {frac {d} r, mathrm {d} r, mathrm {d} varphi = r ^ {2} cos theta, mathrm {d} r, mathrm {d} theta, mathrm {d} varphi.} Coordonn\u00e9es du cylindre [ Modifier | Modifier le texte source ]] Les formules de conversion des coordonn\u00e9es du cylindre ( r {DisplayStyle Rho} , Phi {displaystyle varphi} , Avec {displayStyle avec} ) dans les coordonn\u00e9es cart\u00e9siennes: x=\u03c1cos\u2061\u03c6y=\u03c1sin\u2061\u03c6z=z.{displayStyle {begin {align\u00e9} x & = rho cos varphi \\ y & = rho sin varphi \\ z & = z, .end {align\u00e9}}} Le d\u00e9terminant fonctionnel est donc: le \u2202(x,y,z)\u2202(\u03c1,\u03c6,z)= le (cos\u2061\u03c6\u2212\u03c1sin\u2061\u03c60sin\u2061\u03c6\u03c1cos\u2061\u03c60001)= r . {DisplayStyle give {frac {partial (x, y, z)} {partial (rho, varphi, z)} = give {Beginno {Pmatrix} et 0 \\ if Valka & 0 & 1endatrix}} = rho.} En cons\u00e9quence, l’\u00e9l\u00e9ment de volume r\u00e9sulte d DANS {displayStyle Mathrm {d} v} : d DANS = | det\u2202(x,y,z)\u2202(\u03c1,\u03c6,z)| d r d Phi d Avec = r d r d Phi d Avec . Gens Vous auriez tout aussi bien pu choisir un ordre diff\u00e9rent des coordonn\u00e9es du cylindre. Le d\u00e9terminant fonctionnel lit alors, par exemple: le \u2202(x,y,z)\u2202(\u03c1,z,\u03c6)= le (cos\u2061\u03c60\u2212\u03c1sin\u2061\u03c6sin\u2061\u03c60\u03c1cos\u2061\u03c6010)= – r . {DisplayStyle give {frac {partial (x, y, z)} {partial (rho, z, vkogi)} = give {begin {pmatrix, cos varphi & 0 & z -rhi cos viflphi \\ 0 & 1 & 0endnatrix}}} = – rhbo.} Cependant, seule la quantit\u00e9 de d\u00e9terminant est incluse dans la loi de transformation, donc le r\u00e9sultat est alors ind\u00e9pendant de l’ordre choisi des variables, selon lequel est d\u00e9riv\u00e9. Herbert Federer: Th\u00e9orie des mesures g\u00e9om\u00e9triques . 1\u00e8re \u00e9dition. Springer, Berlin 1996, ISBN 3-540-60656-4 (anglais, pour la d\u00e9finition).  Wolfgang Nolting: M\u00e9canique classique . Dans: Physique th\u00e9orique du cours de base . 8. \u00c9dition. Groupe  d’abord . Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-34832-8.  (Pour les exemples et le cas sp\u00e9cial du R3{displaystyle mathbb {r} ^ {3}} ) K. Endl, W. Luh: Analyse . Groupe  d’abord . Academic Publishing Company, 1972, ISBN 3-400-00185-6.  K. Endl, W. Luh: Analyse . Groupe  2 . Academic Publishing Company, 1973, ISBN 3-400-00206-2.       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/determinant-fonctionnel-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"D\u00e9terminant fonctionnel – Wikipedia"}}]}]