Fermi-Directeur-statistique – Wikipedia
Le Fermi-Dirac-statistics (Après le physicien italien Enrico Fermi [d’abord] (1901–1954) et le physicien britannique Paul Dirac [2] (1902–1984)) est un concept de statistiques quantiques physiques. Il décrit le comportement macroscopique d’un système qui se compose de nombreuses particules du type de fermion et s’applique. B. pour les électrons qui assurent la conductivité électrique dans les métaux et les semi-conducteurs.
Les points de départ des statistiques de Fermi-Dirac sont:
- Aucune des conditions des particules individuelles ne peut être occupée avec plus d’une particule (principe Pauli).
- Si vous échangez deux particules ensemble, vous n’obtenez pas un nouvel état (qui serait compté dans la considération statistique), mais le même qu’auparavant (principe d’indispensabilité de la même particule).
Le Distribution de Fermi indique quelle probabilité
Dans un fermigas idéal à une température absolue donnée
Un état d’énergie
est occupé par l’une des particules. En physique statistique, la distribution de Fermi des statistiques de Fermi-Dirac pour des fermions similaires pour l’important cas spécial de la Liberté d’interaction dérivé. [d’abord]
Pour la description complète des statistiques de Fermi-Dirac, voir les statistiques quantiques. Pour une dérivation simplifiée, voir Fermigas idéal.
Formule générale [ Modifier | Modifier le texte source ]]
Dans un système de température
La distribution Fermi est-elle
qui décrit la probabilité d’occupation:
avec
L’énergie
Calculé à partir de l’état une partie le plus bas possible, signifie
Aussi Fermi Energy. La probabilité d’occupation
Pour un état avec l’énergie du niveau de Fermi
Est de toutes les températures:
À l’énergie
densité partielle dominante
Pour calculer, par ex. B. Pour les électrons dans un métal, la distribution de Fermi doit encore être avec la densité d’état
sont multipliés:
Au point zéro de température absolue [ Modifier | Modifier le texte source ]]
Au point zéro de température absolue
Le gaz Fermi est-il dans son ensemble dans son état énergétiquement plus profond possible, c’est-à-dire dans l’état de base du système en plusieurs parties. Depuis (avec un nombre suffisant de particules), selon le principe Pauli, toutes les particules ne peuvent pas occuper l’état de base en une seule pièce, même au point zéro de la température absolue
Les pièces sont situées dans des états animés d’une partie. Cela peut être clairement fait avec l’idée d’un Fermi-vede Décrire: Chaque fermion ajouté occupe l’état énergétique le plus bas possible, qui n’est pas encore occupé par un autre fermion. La «hauteur de remplissage» est déterminée par la densité des conditions occupables et le nombre de particules à régler.
En conséquence, la distribution de Fermi pour la température
Un bon saut dans l’énergie de Fermi
, c’est pourquoi aussi Proches et ou Frontière de Fermi est mentionné (voir illustration).
- Toutes les conditions avec sont occupés car ici s’applique: , d. H. La probabilité de trouver l’un des fermions dans un tel état en est un.
- Aucune des conditions avec , d. H. La probabilité de trouver l’un des fermions dans un tel état est nul.
Le niveau de Fermi à
est donc défini par le nombre et la distribution énergétique des conditions et le nombre de fermions qui doivent être adaptés dans ces conditions. Seule une différence d’énergie apparaît dans la formule. Si vous spécifiez la taille de l’énergie de Fermi seule, c’est la différence d’énergie des plus élevés occupés à l’état en une partie le plus profond possible. Pour illustrer ou pour estimer rapidement les effets dépendants de la température, cette taille est souvent comme une valeur de température – le De modélisation de Fermi – Exprimé:
- .
Avec la température de Fermi, l’énergie thermique serait
égal à l’énergie de Fermi. Ce terme n’a rien à voir avec la température réelle des fermions, il ne sert qu’à caractériser les conditions énergétiques.
À des températures finies [ Modifier | Modifier le texte source ]]
La distribution de Fermi donne la probabilité d’occupation à l’état d’équilibre à la température
S’il y a du chauffage, des états au-dessus de l’énergie de Fermi
rempli de fermions. Pour cela, le même nombre de conditions reste vide sous l’énergie de Fermi et sont des trous désigné.
Le bord Fermi Sharp est autour d’un
Intervalle situé de la largeur globale
Arrondi (“adoucis”, voir Fig.). Les conditions avec des énergies plus petites sont encore presque entièrement occupées (
), les conditions pour les énergies supérieures seulement très faibles (
).
Puisque le même nombre de particules est toujours sur les conditions possibles avec la densité d’état
L’énergie de Fermi peut être distribuée avec la température: si la densité d’état dans la zone des particules excitées est plus petite qu’avec les trous, l’énergie de Fermi augmente, dans le cas opposé, il baisse.
Dans la plage de températures
Si le système est appelé Gas Fermi dégénéré, car l’occupation des conditions est largement déterminée par le principe Pauli (principe d’exclusion). Cela conduit à toutes les conditions avec
ont la même probabilité (de presque un) à occuper; Cela affecte un secteur énergétique, important par rapport à l’intervalle d’adoucissement.
Avec des énergies
D’au moins quelques-uns
au-dessus de
, d. H. pour
, la distribution de Fermi peut être approchée par la distribution classique de Boltzmann:
- .
À des températures très élevées [ Modifier | Modifier le texte source ]]
Les “températures très élevées” sont celles bien au-dessus de la température de Fermi, c’est-à-dire H.
. Parce que cela rend l’intervalle d’adoucissement très grand, de sorte que même pour les énergies bien au-dessus de l’énergie de Fermi, la probabilité d’occupation est sensiblement différente de zéro, les paiements de particules conduisent à l’énergie Fermi en dessous du niveau occupable le plus bas. Le gaz Fermi se comporte alors comme un gaz classique, il n’est pas dégénéré.
Pour les électrons de ligne dans un métal, l’énergie Fermi est
Pour un peu d’électron volt, selon une température Fermi
d’environ 10 000 K. Cela signifie que l’énergie thermique
est beaucoup plus petit que la largeur typique de la bande de ligne. Il s’agit d’une gaz électronique dégénéré . La contribution des électrons à la capacité thermique est donc déjà négligeable à température ambiante et peut être prise en compte de la théorie des perturbations. La dépendance à la température de l’énergie de Fermi est très faible (zone MEV) et est souvent négligée.
Pour les semi-conducteurs et les isolateurs, le niveau de Fermi réside dans la zone interdite. Il y a donc dans la zone du bord Fermi Non Conditions, dont la ligne peut dépendre clairement de la température. Cela signifie qu’à une température
La bande de valence entièrement occupée par les électrons et la bande de ligne est vacante, et qu’elle est à
De l’état qui dans le solde thermique (avec un fixe
et volume
) l’énergie libre
Un minimum accepte, les statistiques de Fermi-Dirac peuvent être dérivées d’une belle manière. Nous regardons ça
Fermions – par exemple les électrons – que sur les niveaux
sont distribués. Les niveaux ont des énergies
et sont chacun
– Train dégénéré (voir Fig.), Par conséquent, maximum
Electrons enregistrés (principe Pauli). Le nombre d’électrons dans
-Te le niveau est avec
désigné. Pour l’état macro du système, il n’est pas pertinent que le
Électrons dans
-PET NIVEAU est et lequel des
Conditions dedans. Le macro-état est donc entièrement dû à la conséquence des chiffres
certainement.
Ce qui suit s’applique à toute distribution des électrons au niveau:
L’équation (1) reflète le nombre total de particules, qui doit être maintenue constante, tandis que l’individu
à varier au minimum de
trouver. L’équation (2) donne l’énergie appartenant à la distribution actuelle
du système quant à la formule pour
doit être utilisé. L’équation (3) est (selon Ludwig Boltzmann) l’entropie de l’état du système (macro état), par lequel
La probabilité thermodynamique de la conséquence pertinente du nombre d’occupation
, indiqué, c’est-à-dire le nombre de distributions possibles (micro-états) de chaque
Électrons sur
Lieux pour tous les niveaux
ensemble.
Pour trouver la distribution dans laquelle par variation du
Dans l’état secondaire
L’énergie libre
Nous utilisons la méthode des multiplicateurs Lagrange. Il en résulte
- pour tous .
Dans elle
le (de
Indépendant) Lagrange Multiplicateur. La dérivation
- ,
Puisque chacun
Se produit exactement dans un linéaire. Pour calculer la dérivation
La formule explicite pour
nécessaire:
Y a-t-il
Le coefficient binomial, c’est-à-dire H. Le nombre de possibilités sous
Objets
pour sélectionner différent.
Avec l’aide de la formule Stirling simplifiée
SUIVANT SUIVANT
Et ainsi
L’équation globale (2) est trop
- .
Insérer le travers
Étant donné la probabilité d’occupation
et résultats de conversion:
- .
Il s’agit des statistiques de Fermi-Dirac. Le Lagrangemultiplier s’avère être leur potentiel chimique
.
Dans les corps solides, la distribution de Fermi peut être très bien observée si la densité de remplissage électronique de la bande de ligne est mesurée en fonction de l’énergie. Un exemple particulièrement bon des Fermigas idéaux a de l’aluminium. De telles études peuvent également être utilisées pour déterminer la résolution d’un appareil de mesure en mesurant l’évolution de la distribution à une certaine température et en comparant la formule pour la distribution de Fermi.
D’autres exemples du sens voir l’énergie de Fermi.
- Ellen Ivers-Tiffée, Waldemar von Münch: Matériaux de génie électrique . 10. Édition. Vieweg + Teubner, 2007, ISBN 978-3-8351-0052-7.
- Michael Reisch: Composants à demi-conducteurs . 2e édition. Springer-Verlag, Berlin 2004, ISBN 3-540-21384-8.
- U .. yre, a. On. Physique théorique de base – un aperçu concis . Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 2007, ISBN 978-3-540-36804-5 (anglais).
- ↑ un b Enrico Fermi: Pour quantifier le gaz idéal à un anthomisation. Dans: Magazine pour la physique. Band 36, 1926, S. 902–912, Deux: 10.1007 / BF01400221 .
- ↑ P.A.M. Dirac: Sur la théorie de la mécanique quantique. Dans: Actes de la Royal Society de Londres. Série A Band 112, 1926, S. 661–677, Deux: 10.1098 / rspa.1926.0133 .
Recent Comments