Fonction caractéristique (stochastique) – Wikipedia

Posted on January 8, 2019 by lordneo

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Quand fonction caractéristique Dans la théorie des probabilités, on se réfère à une fonction complexe spéciale qui est attribuée à une mesure finie ou à une mesure de probabilité sur les nombres réels ou la distribution d’une variable aléatoire. La mesure finie est clairement déterminée par sa fonction caractéristique et vice versa, donc l’affectation est bijective.

after-content-x4

Un avantage significatif des fonctions caractéristiques est que beaucoup plus difficiles à atteindre les propriétés de la mesure finie peuvent être trouvés comme une propriété de la fonction caractéristique et sont plus facilement accessibles en tant que propriété d’une fonction. Par exemple, le repliement de la probabilité est réduit à la multiplication des fonctions caractéristiques correspondantes.

Il y a une mesure finie

{displaystyle mu}

$mu$ sur

{displayStyle (mathbb {r}, {mathcal {b}} (mathbb {r}))}

$(mathbb{R} ,{mathcal B}(mathbb{R} ))$ . Alors la fonction complexe est appelée

{displayStyle varphi _ {mu} colon mathbb {r} à mathbb {c}}

Défini par

Gens

La fonction caractéristique de

{displaystyle mu}

$mu$ . Est

{displayStyle mu = p}

${displaystyle mu =P}$ La définition suit une mesure de probabilité. Est particulièrement une variable aléatoire

{displaystyle x}

$X$ avec distribution

{displaystyle p_ {x}}

$P_{X}$ donné, la fonction caractéristique est donnée par

{displayStyle varphi _ {x} (t) = opératorname {mathbb {e}} (exp (mathrm {i} tx))}

Avec la valeur des attentes

{displaystyle mathbb {e}}

$mathbb {E}$ .

Cela se traduit par d’importants cas spéciaux:

A ${displaystyle p_ {x}}$

{displayStyle varphi _ {x} (t) = int _ {- infty} ^ {infty} f_ {x} (x) exp (mathrm {i} tx), mathrm {d} x}

A ${displaystyle p_ {x}}$

{displayStyle varphi _ _ {x} (t) = sum _ {k = 1 ^^ {infty} exp (mathrm {i} tx_ {k}) p_ {x} (x_ {k})}

Dans les deux cas, la fonction caractéristique est le Fourier (stable ou discret) transformé la fonction de densité ou de probabilité.

Comme une fonction d’estimation de la fonction caractéristique sur un échantillon

{displayStyle {x_ {1}, points x_ {n}}}

${displaystyle {x_{1},dots x_{N}}}$ sert la fonction caractéristique empirique:

{displayStyle {hat {varphi}} _ {x} (t) = {frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} exp (mathrm {i} tx_ {i})}

Est

{displaystyle x}

$X$ Poisson distribué, aussi

{displaystyle p_ {x}}

$P_{X}$ La fonction de probabilité

{DisplayStyle p_ {lambda} (k) = {frac {lambda ^ {k}}}}, mathrm {e} ^ {- lambda} quad {text {für}} quad kin mathbb {n}}}

Avec la représentation répertoriée ci-dessus pour la fonction caractéristique en utilisant des fonctions de probabilité

{displayStyle varphi {e ^^ {- Lambda} sum _ _ {k = 0} ^ {infty} {frac {Left (Labda e ^ {it} droit) ^^ {k} {k!}

Est

{displaystyle y}

$Y$ Exponentiel distribué au paramètre

{displaystyle lambda}

$lambda$ , donc possède

{displayStyle p_ {y}}

${displaystyle P_{Y}}$ La fonction de densité de probabilité

{displayStyle f_ {lambda} (x) = {begin {case} displaystyle lambda mathrm {e} ^ {- lambda x} & xgeq 0 \ 0 & x <0end {cas}}}

Il en résulte

{DisplayStyle varph _ {y} (t) = int _ {0} ^ {mathrm {i} tx} lambda mathrm {e} ^ {- Lamma x = Lamma {d} x = lamma {d} x = lambda int _ {0} ^ {x (mathrm {i} -Lambda} mathrm {i} t-lembda d} x = {frac {lamma lambda} {mathrm {i} t}}}

D’autres exemples de fonctions caractéristiques sont tabulaires ci-dessous dans l’article ou sont situés directement dans l’article sur les distributions de probabilité correspondantes.

La fonction caractéristique d’une variable aléatoire qui est constamment distribuée à (−1,1). En général, cependant, les fonctions caractéristiques ne sont pas de qualité réelle.

Table of Contents

existence [ Modifier | Modifier le texte source ]]

La fonction caractéristique existe pour toutes les dimensions finies et donc aussi les dimensions de probabilité ou les distributions de variables aléatoires, en raison de

{displayStyle gauche | e ^ {mathrm {i} tx} droit | = 1}

L’intégrale existe toujours.

Limite [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Chaque fonction caractéristique est toujours limitée, elle s’applique à une variable aléatoire

{displaystyle x}

$X$ , ce

{displayStyle gauche | varphi _ {x} (t) droite | leq varphi _ {x} (0) = 1}

Dans le cas général d’une mesure finie

{displaystyle mu}

${displaystyle mu }$ sur

{displayStyle (mathbb {r}, {mathcal {b}} (mathbb {r}))}

${displaystyle (mathbb {R} ,{mathcal {B}}(mathbb {R} ))}$ est applicable

{DisplayStyle Left | varphi _ {mu} (t) leq varphi _ {mu} (0) = mu (mathb {r}} à l’étranger.

symétrie [ Modifier | Modifier le texte source ]]

La fonction caractéristique

{displayStyle Varphi _ {x}}

${displaystyle varphi _{X}}$ est exactement réel lorsque la variable aléatoire

{displaystyle x}

$X$ est symétrique.

De plus,

{displayStyle Varphi _ {x}}

${displaystyle varphi _{X}}$ Toujours hermithèse, c’est-à-dire ça s’applique

{displayStyle varphi _ {x} (- t) = {overline {varphi _ {x} (t)}}}

Stabilité [ Modifier | Modifier le texte source ]]

{displayStyle Varphi _ {x}}

caractérisation [ Modifier | Modifier le texte source ]]

C’est particulièrement intéressant lorsqu’une fonction

{displayStyle fcolon mathbb {r} à mathbb {c}}

${displaystyle fcolon mathbb {R} to mathbb {C} }$ La fonction caractéristique d’une probabilité est. Le fournit une condition suffisante Satz von (après George Pólya):
Est une fonction

{displayStyle fcolon mathbb {r} à [0,1]}

et s’applique également

{displayStyle f (0) = 1}

${displaystyle f(0)=1}$ C’est donc la fonction caractéristique d’une mesure de probabilité.

La condition nécessaire et suffisante fournit Définir de Bochner (Selon Salomon Bochner):

Définir de Bochner [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Une fonction constante

{displayStyle fcolon mathbb {r} ^ {n} à mathbb {c}}

est alors la fonction caractéristique d’une mesure de probabilité

{displayStyle Mathbb {r} ^ {n}}

$mathbb {R} ^{n}$ , si

{displaystyle f}

$f$ Une fonction semi-fini positive est et

{displayStyle f (0) = 1}

${displaystyle f(0)=1}$ est applicable.

Transformation linéaire [ Modifier | Modifier le texte source ]]

{displayStyle varphi _ {ax + b} (t) = e ^ {mathrm {i} tb} varphi _ _ {x} (at)}

Réversibilité [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Est

{displayStyle Varphi _ {x}}

$varphi_X$ alors la densité de probabilité de

{displaystyle x}

$X$ reconstruire comme

{displayStyle f_ {x} (x) = {frac {1} {2pi}} int limites _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- mathrm {i} tx} Varphi _ {x} (t), mathrm {d} t,.}

Génération momentanée [ Modifier | Modifier le texte source ]]

{displayStyle Mathbb {e} (x ^ {k}) = {frac {varphi _ {x} ^ {(k)}

À ce titre, la fonction caractéristique est similaire à la fonction de génération de moment.

En particulier, il y a des cas particuliers

{displayStyle Mathbb {e} (x) = {frac {varphi _ {x} ‘(0)} {mathrm {i}}} ,,}

{DisplayStyle Mathbb {e} (x ^ {2}) = -varphi _ {x} ” (0),}

Si pour un nombre naturel

{Displaystyle nin mathbb {n}}

$nin mathbb {N}$ La valeur des attentes

{displayStyle Mathbb {e} (| x | ^ {n})}

${displaystyle mathbb {E} (|X|^{n})}$ Enfin, alors c’est

{displayStyle Varphi _ {x}}

$varphi_X$

{displaystyle n}

$n$ -Minois constamment différenciés et convertis en une série de Taylor

{DisplayStyle 0}

${displaystyle 0}$ développé:

{affichestyle varphi _ {x} (t) = limites de somme _ {k = 0} ^ {n} {frac {varphi _ {x} ^ {(k)} (0)} {k!}} t ^ {k} + r_ {n + 1} (t) = sum lits _ _ {k = 0} m {i} t) ^ {k}} {k!}} mathbb {e} (x ^ {k}) + r_ {n + 1} (t),.}

Un cas spécial important est le développement d’une variable aléatoire

{displaystyle x}

$X$ avec

{displayStyle Mathbb {e} (x) = 0}

${displaystyle mathbb {E} (X)=0}$ et

{displayStyle operatorname {var} (x) = 1}

$operatorname{Var}(X)=1$ :

{displayStyle varphi _ {x} (t) = 1- {frac {1} {2}} t ^ {2} + r_ {3} (t) quad {text {mit}} quad lits _ {trightarrow 0} {frac {r_ {3} (t) {t ^ {2} =.

Formule pliante pour la densité [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Avec des variables aléatoires indépendantes

{displayStyle x_ {1}}

$X_{1}$ et

{displayStyle x_ {2}}

$X_{2}$ s’applique à la fonction caractéristique de la somme

{displayStyle y = x_ {1} + x_ {2}}

$Y=X_1+X_2$

{displayStyle Varphi _ {y} (t) = varphi _ {x_ {1}} (t), varphi _ {x_ {2}} (t) ,,}

Parce qu’à cause de l’indépendance

{affichestyle varphi _ {y} (t) = mathbb {e} Left (e ^ {mathrm {i} t (x_ {1} + x_ {2})} droit) = mathbb {e} Left (e ^ {mathrm {i} tx_ {1}} e ^ {mathrm {i} tx_ bb {e} Left (e ^ {Mathrm {i} tx_ {1}} droit) mathbb {e} gauche (e ^ {mathrm {i} tx_ {2}} droit) = varphi _ {x_ {1}}} (t), Varphi _ {x_ {2}} (t),..

Fonction caractéristique des sommes aléatoires [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Sont

{DisplayStyle (x_ {i}) _ {iin mathbb {n}}}}

$(X_{i})_{{iin {mathbb {N}}}}$ répartis de manière indépendante des variables aléatoires et

{displaystyle n}

$N$ un

{displaystyle mathbb {N} _{0}}

${mathbb {N}}_{0}$ – variable aléatoire, laquelle de toutes

{displayStyle x_ {i}}

$X_{i}$ est indépendant, la fonction caractéristique de la variable aléatoire peut être

{displayStyle s: = sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}

En tant que chaîne de la fonction de génération de probabilité

{displayStyle m_ {n} (t)}

$m_{N}(t)$ depuis

{displaystyle n}

$N$ et la fonction caractéristique de

{displayStyle x_ {1}}

$X_{1}$ représenter:

{displayStyle varphi _ {s} (t) = m_ {n} (varphi _ _ {x_ {1}} (t))}

Ce qui suit s’applique clairement: si

{displaystyle x}

$X$ ,

{displaystyle y}

$Y$ Sont des variables aléatoires et

{displayStyle Varphi _ {x} (t) = varphi _ {y} (t)}

$varphi_X(t)=varphi_Y(t)$ pour tous

{displaystyle tin mathbb {r}}

$tinR$ s’applique, alors c’est

{displayStyle x {overset {d} {=}} y}

$Xoverset{d}{=}Y$ , d. h.

{displaystyle x}

$X$ et

{displaystyle y}

$Y$ Avoir la même fonction de distribution. En conséquence, le repliement de certaines distributions peut être facilement déterminé.

La peine constitutionnelle de Lévy peut être conclue du taux de dégagement: si

{DisplayStyle (x_ {n}) _ {nin mathbb {n}}}

$(X_n)_{ninN}$ Une séquence de variables aléatoires est alors

{displayStyle x_ {n} {stackrel {d} {rightarrow}} x}

$X_nstackrel{d}{rightarrow}X$ (Convergence dans la distribution) exactement quand

{displayStyle lim limits _ {nRightarrow infty} varphi _ {x_ {n}} (t) = varphi _ {x} (t)}

$limlimits_{nrightarrowinfty}varphi_{X_n}(t)=varphi_X(t)$ pour tous

{displaystyle tin mathbb {r}}

$tinR$ est applicable. Cette propriété peut être exploitée dans les ensembles de valeur de bordure centrale.

distribution	Fonction caractéristique ${displayStyle Varphi _ {x} (t)}$
Distributions discrètes
Distribution binomiale ${displayStyle xsim Operatorname {bin} (n, p)}$	${displayStyle varphi _ {x} (t) = Left (pe ^ {mathrm {i} t} + 1-pright) ^ {n}}$
Distribution de Poisson ${displayStyle xsim Operatorname {poi} (lambda)}$	${displayStyle varphi _ {x} (t) = e ^ {lambda gauche (e ^ {mathrm {i} t} -1Right)}}$
Distribution binomiale négative ${displayStyle xsim Operatorname {negbin} (r, p)}$	${displayStyle Varphi _ {x} (t) = Left ({frac {1-pe ^ {mathrm {i} t}} {1-p}} droit) ^ {- r}}$
Distribution absolue
${displayStyle xsim n (0,1)}$	${displayStyle varphi _ {x} (t) = e ^ {- {frac {t ^ {2}} {2}}}}$
${displayStyle xsim n (mu, sigma ^ {2})}$	${displayStyle varphi _ {x} (t) = e ^ {mathrm {i} tmU} e ^ {- {frac {sigma ^ {2} t ^ {2}} {2}}}}$
${Displaystyle xsim u (a, b)}$	${displayStyle varphi _ {x} (t) = {frac {e ^ {mathrm {i} bt} -e ^ {mathrm {i} at}} {mathrm {i} (b-a) t}}}$
${displayStyle xsim; c (0,1)}$	${displayStyle varphi _ {x} (t) = e ^ {- \| t \|}}$
${displayStyle xsim; g (p, b)}$	${displayStyle Varphi _ {x} (t) = Left ({frac {b} {b-Mathrm {i} t}} droit) ^ {p}}$

Définition des variables aléatoires multidimensionnelles [ Modifier | Modifier le texte source ]]

La fonction caractéristique peut être ouverte

{DisplayStyle Ell}

$ell$ -Didimensionnel de vrais vecteurs aléatoires

{DisplayStyle Mathbf {x} = (x_ {1}, DOTSC, x_ {ell})}

$mathbf{X} = (X_1, dotsc , X_ell)$ Se développer comme suit:

{DisplayStyle varph _ {mathbf {x}} (t) = varph _ {mathbf {x (t_ {1}, dos, t_ {l}) = mathb t, mathbf {x} ring}) {it_ {j} x_ {jj}} droite)}

par lequel

{displaystyle langle t,mathbf {X} rangle =sum limits _{j=1}^{ell }t_{j}X_{j}}

$langle t,{mathbf {X}}rangle =sum limits _{{j=1}}^{{ell }}t_{j}X_{j}$ le produit scalaire standard.

Définition des salles nucléaires [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Le concept de fonction caractéristique existe également pour les salles nucléaires. La fonction

{displayStyle varphi: nrightarrow mathbb {c}}

${displaystyle varphi :Nrightarrow mathbb {C} }$ , défini dans l’espace nucléaire

{displaystyle n}

$N$ , signifie la fonction caractéristique lorsque les propriétés suivantes s’appliquent:

${displaystyle varphi}$
${displaystyle varphi}$

{DisplayStyle sum _ {j, k = 1 ^^ {n} alpha _ {j {overline {alpha _ _ _ _ _

${displaystyle varphi}$

Dans ce cas, la phrase de Bochner-Minos indique que

{displaystyle varphi}

$varphi$ Une mesure de probabilité sur le double espace topologique

{displaystyle n ^ {prime}}

${displaystyle N^{prime }}$ induit.

Pour des dimensions aléatoires [ Modifier | Modifier le texte source ]]

La fonction caractéristique peut également être définie pour les dimensions aléatoires. Cependant, il est alors fonctionnel, donc ses arguments sont des fonctions. Est

{displaystyle x}

$X$ une mesure aléatoire, la fonction caractéristique est donnée comme

{displayStyle varphi _ {x} (f) = mathbb {e} Left (exp Left (iint fmathrm {d} xright) droit)}

pour toutes les fonctions limitées et mesurables en digne réelle

{displaystyle f}

$f$ avec transporteur compact. Le niveau aléatoire est clairement déterminé par les valeurs de la fonction caractéristique sur toutes les fonctions stables positives avec des porteurs compacts. ^[d’abord]

En plus des fonctions caractéristiques, les fonctions génératrices de probabilité et les fonctions générateurs du moment jouent également un rôle important dans la théorie des probabilités.

La fonction générateurs de probabilité d’un

{displaystyle mathbb {N} _{0}}

$mathbb{N}_0$ -Variable aléatoire

{displaystyle x}

$X$ est défini comme

{displayStyle m_ {x} (t) = mathbb {e} (t ^ {x})}

${displaystyle m_{X}(t)=mathbb {E} (t^{X})}$ . En conséquence, la connexion s’applique

{displayStyle m_ {x} (e ^ {it}) = varphi _ {x} (t)}

$m_{X}(e^{{it}})=varphi _{X}(t)$ .

La fonction de génération de moment d’une variable aléatoire est définie comme

{displayStyle m_ {x} (t): = mathbb {e} (e ^ {tx})}

${displaystyle M_{X}(t):=mathbb {E} (e^{tX})}$ . En conséquence, la connexion s’applique

{displayStyle m_ {ix} (t) = m_ {x} (it) = varphi _ {x} (t)}

$M_{{iX}}(t)=M_{X}(it)=varphi _{X}(t)$ Si la fonction de génération de moment existe. Contrairement à la fonction caractéristique, ce n’est pas toujours le cas.

Il existe également la fonction générateurs de cumulants comme un logarithme de la fonction de génération de moment. Le concept de cumuling en est dérivé.

↑ Achim Klenke: Théorie des probabilités . 3. Édition. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 553 , est ce que je: 10 1007 / 978-3-642-36018-3 .