[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/fonction-caracteristique-stochastique-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/fonction-caracteristique-stochastique-wikipedia\/","headline":"Fonction caract\u00e9ristique (stochastique) – Wikipedia","name":"Fonction caract\u00e9ristique (stochastique) – Wikipedia","description":"before-content-x4 Quand fonction caract\u00e9ristique Dans la th\u00e9orie des probabilit\u00e9s, on se r\u00e9f\u00e8re \u00e0 une fonction complexe sp\u00e9ciale qui est attribu\u00e9e","datePublished":"2019-01-08","dateModified":"2019-01-08","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/fonction-caracteristique-stochastique-wikipedia\/","wordCount":20687,"articleBody":" (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Quand fonction caract\u00e9ristique Dans la th\u00e9orie des probabilit\u00e9s, on se r\u00e9f\u00e8re \u00e0 une fonction complexe sp\u00e9ciale qui est attribu\u00e9e \u00e0 une mesure finie ou \u00e0 une mesure de probabilit\u00e9 sur les nombres r\u00e9els ou la distribution d’une variable al\u00e9atoire. La mesure finie est clairement d\u00e9termin\u00e9e par sa fonction caract\u00e9ristique et vice versa, donc l’affectation est bijective. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Un avantage significatif des fonctions caract\u00e9ristiques est que beaucoup plus difficiles \u00e0 atteindre les propri\u00e9t\u00e9s de la mesure finie peuvent \u00eatre trouv\u00e9s comme une propri\u00e9t\u00e9 de la fonction caract\u00e9ristique et sont plus facilement accessibles en tant que propri\u00e9t\u00e9 d’une fonction. Par exemple, le repliement de la probabilit\u00e9 est r\u00e9duit \u00e0 la multiplication des fonctions caract\u00e9ristiques correspondantes. Il y a une mesure finie m {displaystyle mu} sur (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4( R , B ( R ) ) {displayStyle (mathbb {r}, {mathcal {b}} (mathbb {r}))} . Alors la fonction complexe est appel\u00e9e Phi \u03bc: R \u2192 C {displayStyle varphi _ {mu} colon mathbb {r} \u00e0 mathbb {c}} D\u00e9fini par (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Phi \u03bc( t ) : = \u222b RExp \u2061 ( je t X ) m ( d X ) Gens La fonction caract\u00e9ristique de m {displaystyle mu} . Est m = P {displayStyle mu = p} La d\u00e9finition suit une mesure de probabilit\u00e9. Est particuli\u00e8rement une variable al\u00e9atoire X {displaystyle x} avec distribution P X {displaystyle p_ {x}} donn\u00e9, la fonction caract\u00e9ristique est donn\u00e9e par Phi X( t ) = E\u2061 ( Exp \u2061 ( je t X ) ) {displayStyle varphi _ {x} (t) = op\u00e9ratorname {mathbb {e}} (exp (mathrm {i} tx))} Avec la valeur des attentes ET {displaystyle mathbb {e}} . Cela se traduit par d’importants cas sp\u00e9ciaux: A P X{displaystyle p_ {x}} une fonction de densit\u00e9 de probabilit\u00e9 (concernant l’int\u00e9grale de Riemann) F X( X ) {displayStyle f_ {x} (x)} , donc la fonction caract\u00e9ristique est donn\u00e9e comme \u03c6X(t)=\u222b\u2212\u221e\u221efX(x)exp\u2061(itx)dx{displayStyle varphi _ {x} (t) = int _ {- infty} ^ {infty} f_ {x} (x) exp (mathrm {i} tx), mathrm {d} x} . A P X{displaystyle p_ {x}} Une fonction de probabilit\u00e9 p X{displaystyle p_ {x}} , donc la fonction caract\u00e9ristique est donn\u00e9e comme \u03c6X(t)=\u2211k=1\u221eexp\u2061(itxk)pX(xk){displayStyle varphi _ _ {x} (t) = sum _ {k = 1 ^^ {infty} exp (mathrm {i} tx_ {k}) p_ {x} (x_ {k})} . Dans les deux cas, la fonction caract\u00e9ristique est le Fourier (stable ou discret) transform\u00e9 la fonction de densit\u00e9 ou de probabilit\u00e9. Comme une fonction d’estimation de la fonction caract\u00e9ristique sur un \u00e9chantillon { X d’abord , … X N } {displayStyle {x_ {1}, points x_ {n}}} sert la fonction caract\u00e9ristique empirique: \u03c6^X( t ) = 1N\u2211 i=1NExp \u2061 ( je t X i) {displayStyle {hat {varphi}} _ {x} (t) = {frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} exp (mathrm {i} tx_ {i})} Est X {displaystyle x} Poisson distribu\u00e9, aussi P X {displaystyle p_ {x}} La fonction de probabilit\u00e9 p \u03bb( k ) = \u03bbkk!e\u2212\u03bbpour k \u2208 N {DisplayStyle p_ {lambda} (k) = {frac {lambda ^ {k}}}}, mathrm {e} ^ {- lambda} quad {text {f\u00fcr}} quad kin mathbb {n}}} . Avec la repr\u00e9sentation r\u00e9pertori\u00e9e ci-dessus pour la fonction caract\u00e9ristique en utilisant des fonctions de probabilit\u00e9 Phi X( t ) = \u2211 k=0\u221eExp \u2061 ( je t k ) \u03bbkk!e\u2212\u03bb= e\u2212\u03bb\u2211 k=0\u221e(\u03bbeit)kk!= e\u03bb(eit\u22121){displayStyle varphi {e ^^ {- Lambda} sum _ _ {k = 0} ^ {infty} {frac {Left (Labda e ^ {it} droit) ^^ {k} {k!} Est ET {displaystyle y} Exponentiel distribu\u00e9 au param\u00e8tre l {displaystyle lambda} , donc poss\u00e8de P ET {displayStyle p_ {y}} La fonction de densit\u00e9 de probabilit\u00e9 F \u03bb( X ) = {\u03bbe\u2212\u03bbxx\u226500x0\u221eC’est itxl e\u2212\u03bbxd X = l \u222b 0\u221eC’est x(it\u2212\u03bb)d X = \u03bb\u03bb\u2212it{DisplayStyle varph _ {y} (t) = int _ {0} ^ {mathrm {i} tx} lambda mathrm {e} ^ {- Lamma x = Lamma {d} x = lamma {d} x = lambda int _ {0} ^ {x (mathrm {i} -Lambda} mathrm {i} t-lembda d} x = {frac {lamma lambda} {mathrm {i} t}}} D’autres exemples de fonctions caract\u00e9ristiques sont tabulaires ci-dessous dans l’article ou sont situ\u00e9s directement dans l’article sur les distributions de probabilit\u00e9 correspondantes. La fonction caract\u00e9ristique d’une variable al\u00e9atoire qui est constamment distribu\u00e9e \u00e0 (\u22121,1). En g\u00e9n\u00e9ral, cependant, les fonctions caract\u00e9ristiques ne sont pas de qualit\u00e9 r\u00e9elle. Table of Contentsexistence [ Modifier | Modifier le texte source ]] Limite [ Modifier | Modifier le texte source ]] sym\u00e9trie [ Modifier | Modifier le texte source ]] Stabilit\u00e9 [ Modifier | Modifier le texte source ]] caract\u00e9risation [ Modifier | Modifier le texte source ]] D\u00e9finir de Bochner [ Modifier | Modifier le texte source ]] Transformation lin\u00e9aire [ Modifier | Modifier le texte source ]] R\u00e9versibilit\u00e9 [ Modifier | Modifier le texte source ]] G\u00e9n\u00e9ration momentan\u00e9e [ Modifier | Modifier le texte source ]] Formule pliante pour la densit\u00e9 [ Modifier | Modifier le texte source ]] Fonction caract\u00e9ristique des sommes al\u00e9atoires [ Modifier | Modifier le texte source ]] D\u00e9finition des variables al\u00e9atoires multidimensionnelles [ Modifier | Modifier le texte source ]] D\u00e9finition des salles nucl\u00e9aires [ Modifier | Modifier le texte source ]] Pour des dimensions al\u00e9atoires [ Modifier | Modifier le texte source ]] existence [ Modifier | Modifier le texte source ]] La fonction caract\u00e9ristique existe pour toutes les dimensions finies et donc aussi les dimensions de probabilit\u00e9 ou les distributions de variables al\u00e9atoires, en raison de | eitx| = d’abord {displayStyle gauche | e ^ {mathrm {i} tx} droit | = 1} L’int\u00e9grale existe toujours. Limite [ Modifier | Modifier le texte source ]] Chaque fonction caract\u00e9ristique est toujours limit\u00e9e, elle s’applique \u00e0 une variable al\u00e9atoire X {displaystyle x} , ce | \u03c6X(t)| \u2264 Phi X( 0 ) = d’abord {displayStyle gauche | varphi _ {x} (t) droite | leq varphi _ {x} (0) = 1} . Dans le cas g\u00e9n\u00e9ral d’une mesure finie m {displaystyle mu} sur ( R , B ( R ) ) {displayStyle (mathbb {r}, {mathcal {b}} (mathbb {r}))} est applicable | \u03c6\u03bc(t)| \u2264 Phi \u03bc( 0 ) = m ( R ) {DisplayStyle Left | varphi _ {mu} (t) leq varphi _ {mu} (0) = mu (mathb {r}} \u00e0 l’\u00e9tranger. . sym\u00e9trie [ Modifier | Modifier le texte source ]] La fonction caract\u00e9ristique Phi X {displayStyle Varphi _ {x}} est exactement r\u00e9el lorsque la variable al\u00e9atoire X {displaystyle x} est sym\u00e9trique. De plus, Phi X {displayStyle Varphi _ {x}} Toujours hermith\u00e8se, c’est-\u00e0-dire \u00e7a s’applique Phi X( – t ) = \u03c6X(t)\u00af{displayStyle varphi _ {x} (- t) = {overline {varphi _ {x} (t)}}} . Stabilit\u00e9 [ Modifier | Modifier le texte source ]] Phi X{displayStyle Varphi _ {x}} est une fonction encore stable. caract\u00e9risation [ Modifier | Modifier le texte source ]] C’est particuli\u00e8rement int\u00e9ressant lorsqu’une fonction F : R \u2192 C {displayStyle fcolon mathbb {r} \u00e0 mathbb {c}} La fonction caract\u00e9ristique d’une probabilit\u00e9 est. Le fournit une condition suffisante Satz von (apr\u00e8s George P\u00f3lya):Est une fonction F : R \u2192 [ 0 , d’abord ]] {displayStyle fcolon mathbb {r} \u00e0 [0,1]} et s’applique \u00e9galement F ( 0 ) = d’abord {displayStyle f (0) = 1} C’est donc la fonction caract\u00e9ristique d’une mesure de probabilit\u00e9. La condition n\u00e9cessaire et suffisante fournit D\u00e9finir de Bochner (Selon Salomon Bochner): D\u00e9finir de Bochner [ Modifier | Modifier le texte source ]] Une fonction constante F : Rn\u2192 C {displayStyle fcolon mathbb {r} ^ {n} \u00e0 mathbb {c}} est alors la fonction caract\u00e9ristique d’une mesure de probabilit\u00e9 R n {displayStyle Mathbb {r} ^ {n}} , si F {displaystyle f} Une fonction semi-fini positive est et F ( 0 ) = d’abord {displayStyle f (0) = 1} est applicable. Transformation lin\u00e9aire [ Modifier | Modifier le texte source ]] Phi aX+b( t ) = C’est itbPhi X( un t ) {displayStyle varphi _ {ax + b} (t) = e ^ {mathrm {i} tb} varphi _ _ {x} (at)} pour tous un , b \u2208 R . {displaystyle a, bin mathbb {r},.} R\u00e9versibilit\u00e9 [ Modifier | Modifier le texte source ]] Est Phi X {displayStyle Varphi _ {x}} alors la densit\u00e9 de probabilit\u00e9 de X {displaystyle x} reconstruire comme F X( X ) = 12\u03c0\u222b \u2212\u221e\u221eC’est \u2212itxPhi X( t ) d t . {displayStyle f_ {x} (x) = {frac {1} {2pi}} int limites _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- mathrm {i} tx} Varphi _ {x} (t), mathrm {d} t,.} G\u00e9n\u00e9ration momentan\u00e9e [ Modifier | Modifier le texte source ]] ET ( X k) = \u03c6X(k)(0)ik{displayStyle Mathbb {e} (x ^ {k}) = {frac {varphi _ {x} ^ {(k)} Pour tous les naturels k \u2208 N {Displaystyle kin mathbb {n}} , chutes ET ( | X |k) < \u221e {displayStyle Mathbb {e} (| x | ^ {k}) Phi X” ( 0 ) . {DisplayStyle Mathbb {e} (x ^ {2}) = -varphi _ {x} ” (0),} Si pour un nombre naturel n \u2208 N {Displaystyle nin mathbb {n}} La valeur des attentes ET ( | X | n ) {displayStyle Mathbb {e} (| x | ^ {n})} Enfin, alors c’est Phi X {displayStyle Varphi _ {x}} n {displaystyle n} -Minois constamment diff\u00e9renci\u00e9s et convertis en une s\u00e9rie de Taylor 0 {DisplayStyle 0} d\u00e9velopp\u00e9: Phi X( t ) = \u2211 k=0n\u03c6X(k)(0)k!t k+ R n+1( t ) = \u2211 k=0n(it)kk!ET ( X k) + R n+1( t ) . {affichestyle varphi _ {x} (t) = limites de somme _ {k = 0} ^ {n} {frac {varphi _ {x} ^ {(k)} (0)} {k!}} t ^ {k} + r_ {n + 1} (t) = sum lits _ _ {k = 0} m {i} t) ^ {k}} {k!}} mathbb {e} (x ^ {k}) + r_ {n + 1} (t),.} Un cas sp\u00e9cial important est le d\u00e9veloppement d’une variable al\u00e9atoire X {displaystyle x} avec ET ( X ) = 0 {displayStyle Mathbb {e} (x) = 0} et \u00c9tait \u2061 ( X ) = d’abord {displayStyle operatorname {var} (x) = 1} : Phi X( t ) = d’abord – 12t 2+ R 3( t ) avec lim t\u21920R3(t)t2= 0 . {displayStyle varphi _ {x} (t) = 1- {frac {1} {2}} t ^ {2} + r_ {3} (t) quad {text {mit}} quad lits _ {trightarrow 0} {frac {r_ {3} (t) {t ^ {2} =. Formule pliante pour la densit\u00e9 [ Modifier | Modifier le texte source ]] Avec des variables al\u00e9atoires ind\u00e9pendantes X d’abord {displayStyle x_ {1}} et X 2 {displayStyle x_ {2}} s’applique \u00e0 la fonction caract\u00e9ristique de la somme ET = X d’abord + X 2 {displayStyle y = x_ {1} + x_ {2}} Phi Y( t ) = Phi X1( t ) Phi X2( t ) , {displayStyle Varphi _ {y} (t) = varphi _ {x_ {1}} (t), varphi _ {x_ {2}} (t) ,,} Parce qu’\u00e0 cause de l’ind\u00e9pendance Phi Y( t ) = ET ( eit(X1+X2)) = ET ( eitX1eitX2) = ET ( eitX1) ET ( eitX2) = Phi X1( t ) Phi X2( t ) . {affichestyle varphi _ {y} (t) = mathbb {e} Left (e ^ {mathrm {i} t (x_ {1} + x_ {2})} droit) = mathbb {e} Left (e ^ {mathrm {i} tx_ {1}} e ^ {mathrm {i} tx_ bb {e} Left (e ^ {Mathrm {i} tx_ {1}} droit) mathbb {e} gauche (e ^ {mathrm {i} tx_ {2}} droit) = varphi _ {x_ {1}}} (t), Varphi _ {x_ {2}} (t),.. Fonction caract\u00e9ristique des sommes al\u00e9atoires [ Modifier | Modifier le texte source ]] Sont ( X je ) je \u2208 N{DisplayStyle (x_ {i}) _ {iin mathbb {n}}}} r\u00e9partis de mani\u00e8re ind\u00e9pendante des variables al\u00e9atoires et N {displaystyle n} un N 0 {displaystyle mathbb {N} _{0}} – variable al\u00e9atoire, laquelle de toutes X je {displayStyle x_ {i}} est ind\u00e9pendant, la fonction caract\u00e9ristique de la variable al\u00e9atoire peut \u00eatre S : = \u2211 i=1NX i{displayStyle s: = sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}} En tant que cha\u00eene de la fonction de g\u00e9n\u00e9ration de probabilit\u00e9 m N ( t ) {displayStyle m_ {n} (t)} depuis N {displaystyle n} et la fonction caract\u00e9ristique de X d’abord {displayStyle x_ {1}} repr\u00e9senter: Phi S( t ) = m N( Phi X1( t ) ) {displayStyle varphi _ {s} (t) = m_ {n} (varphi _ _ {x_ {1}} (t))} . Ce qui suit s’applique clairement: si X {displaystyle x} , ET {displaystyle y} Sont des variables al\u00e9atoires et Phi X ( t ) = Phi ET ( t ) {displayStyle Varphi _ {x} (t) = varphi _ {y} (t)} pour tous t \u2208 R {displaystyle tin mathbb {r}} s’applique, alors c’est X = d ET {displayStyle x {overset {d} {=}} y} , d. h. X {displaystyle x} et ET {displaystyle y} Avoir la m\u00eame fonction de distribution. En cons\u00e9quence, le repliement de certaines distributions peut \u00eatre facilement d\u00e9termin\u00e9. La peine constitutionnelle de L\u00e9vy peut \u00eatre conclue du taux de d\u00e9gagement: si ( X n ) n \u2208 N{DisplayStyle (x_ {n}) _ {nin mathbb {n}}} Une s\u00e9quence de variables al\u00e9atoires est alors X n \u2192dX {displayStyle x_ {n} {stackrel {d} {rightarrow}} x} (Convergence dans la distribution) exactement quand lim n \u2192 \u221e Phi Xn( t ) = Phi X ( t ) {displayStyle lim limits _ {nRightarrow infty} varphi _ {x_ {n}} (t) = varphi _ {x} (t)} pour tous t \u2208 R {displaystyle tin mathbb {r}} est applicable. Cette propri\u00e9t\u00e9 peut \u00eatre exploit\u00e9e dans les ensembles de valeur de bordure centrale. distribution Fonction caract\u00e9ristique \u03c6X(t){displayStyle Varphi _ {x} (t)} Distributions discr\u00e8tes Distribution binomiale X\u223cBin\u2061(n,p){displayStyle xsim Operatorname {bin} (n, p)} \u03c6X(t)=(peit+1\u2212p)n{displayStyle varphi _ {x} (t) = Left (pe ^ {mathrm {i} t} + 1-pright) ^ {n}} Distribution de Poisson X\u223cPoi\u2061(\u03bb){displayStyle xsim Operatorname {poi} (lambda)} \u03c6X(t)=e\u03bb(eit\u22121){displayStyle varphi _ {x} (t) = e ^ {lambda gauche (e ^ {mathrm {i} t} -1Right)}} Distribution binomiale n\u00e9gative X\u223cNegBin\u2061(r,p){displayStyle xsim Operatorname {negbin} (r, p)} \u03c6X(t)=(1\u2212peit1\u2212p)\u2212r{displayStyle Varphi _ {x} (t) = Left ({frac {1-pe ^ {mathrm {i} t}} {1-p}} droit) ^ {- r}} Distribution absolue X\u223cN(0,1){displayStyle xsim n (0,1)} Standard normalement distribu\u00e9 \u03c6X(t)=e\u2212t22{displayStyle varphi _ {x} (t) = e ^ {- {frac {t ^ {2}} {2}}}} X\u223cN(\u03bc,\u03c32){displayStyle xsim n (mu, sigma ^ {2})} normalement distribu\u00e9 \u03c6X(t)=eit\u03bce\u2212\u03c32t22{displayStyle varphi _ {x} (t) = e ^ {mathrm {i} tmU} e ^ {- {frac {sigma ^ {2} t ^ {2}} {2}}}} X\u223cU(a,b){Displaystyle xsim u (a, b)} \u00e9galement distribu\u00e9 \u03c6X(t)=eibt\u2212eiati(b\u2212a)t{displayStyle varphi _ {x} (t) = {frac {e ^ {mathrm {i} bt} -e ^ {mathrm {i} at}} {mathrm {i} (b-a) t}}} X\u223cC(0,1){displayStyle xsim; c (0,1)} Cauchy standard distribu\u00e9 \u03c6X(t)=e\u2212|t|{displayStyle varphi _ {x} (t) = e ^ {- | t |}} X\u223cG(p,b){displayStyle xsim; g (p, b)} gamma distribu\u00e9 \u03c6X(t)=(bb\u2212it)p{displayStyle Varphi _ {x} (t) = Left ({frac {b} {b-Mathrm {i} t}} droit) ^ {p}} D\u00e9finition des variables al\u00e9atoires multidimensionnelles [ Modifier | Modifier le texte source ]] La fonction caract\u00e9ristique peut \u00eatre ouverte \u2113 {DisplayStyle Ell} -Didimensionnel de vrais vecteurs al\u00e9atoires X = ( X d’abord , … , X \u2113 ) {DisplayStyle Mathbf {x} = (x_ {1}, DOTSC, x_ {ell})} Se d\u00e9velopper comme suit: Phi X( t ) = Phi X( t 1, … , t l) = ET ( C’est i\u27e8t,X\u27e9) = ET ( \u220fj=1\u2113eitjXj) {DisplayStyle varph _ {mathbf {x}} (t) = varph _ {mathbf {x (t_ {1}, dos, t_ {l}) = mathb t, mathbf {x} ring}) {it_ {j} x_ {jj}} droite)} , par lequel \u27e8 t , X \u27e9 = \u2211 J = d’abord \u2113 t J X J {displaystyle langle t,mathbf {X} rangle =sum limits _{j=1}^{ell }t_{j}X_{j}} le produit scalaire standard. D\u00e9finition des salles nucl\u00e9aires [ Modifier | Modifier le texte source ]] Le concept de fonction caract\u00e9ristique existe \u00e9galement pour les salles nucl\u00e9aires. La fonction Phi : N \u2192 C {displayStyle varphi: nrightarrow mathbb {c}} , d\u00e9fini dans l’espace nucl\u00e9aire N {displaystyle n} , signifie la fonction caract\u00e9ristique lorsque les propri\u00e9t\u00e9s suivantes s’appliquent: Phi {displaystyle varphi} est stable Phi {displaystyle varphi} est positif, c’est-\u00e0-dire H. pour chaque choix un 1, … , un n\u2208 C , X 1, … , X n\u2208 N , {displayStyle alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n} dans mathbb {c}, xi _ {1}, ldots, xi _ {n} en n,} est \u2211 j,k=1nun j\u03b1k\u00afPhi ( X j– X k) \u2265 0 , {DisplayStyle sum _ {j, k = 1 ^^ {n} alpha _ {j {overline {alpha _ _ _ _ _ Phi {displaystyle varphi} est standardis\u00e9, d. H. Phi ( 0 ) = d’abord. {displayStyle Varphi (0) = 1.} Dans ce cas, la phrase de Bochner-Minos indique que Phi {displaystyle varphi} Une mesure de probabilit\u00e9 sur le double espace topologique N \u2032 {displaystyle n ^ {prime}} induit. Pour des dimensions al\u00e9atoires [ Modifier | Modifier le texte source ]] La fonction caract\u00e9ristique peut \u00e9galement \u00eatre d\u00e9finie pour les dimensions al\u00e9atoires. Cependant, il est alors fonctionnel, donc ses arguments sont des fonctions. Est X {displaystyle x} une mesure al\u00e9atoire, la fonction caract\u00e9ristique est donn\u00e9e comme Phi X( F ) = ET ( exp\u2061(i\u222bfdX)) {displayStyle varphi _ {x} (f) = mathbb {e} Left (exp Left (iint fmathrm {d} xright) droit)} pour toutes les fonctions limit\u00e9es et mesurables en digne r\u00e9elle F {displaystyle f} avec transporteur compact. Le niveau al\u00e9atoire est clairement d\u00e9termin\u00e9 par les valeurs de la fonction caract\u00e9ristique sur toutes les fonctions stables positives avec des porteurs compacts. [d’abord] En plus des fonctions caract\u00e9ristiques, les fonctions g\u00e9n\u00e9ratrices de probabilit\u00e9 et les fonctions g\u00e9n\u00e9rateurs du moment jouent \u00e9galement un r\u00f4le important dans la th\u00e9orie des probabilit\u00e9s. La fonction g\u00e9n\u00e9rateurs de probabilit\u00e9 d’un N 0 {displaystyle mathbb {N} _{0}} -Variable al\u00e9atoire X {displaystyle x} est d\u00e9fini comme m X ( t ) = ET ( t X ) {displayStyle m_ {x} (t) = mathbb {e} (t ^ {x})} . En cons\u00e9quence, la connexion s’applique m X ( C’est je t ) = Phi X ( t ) {displayStyle m_ {x} (e ^ {it}) = varphi _ {x} (t)} . La fonction de g\u00e9n\u00e9ration de moment d’une variable al\u00e9atoire est d\u00e9finie comme M X ( t ) : = ET ( C’est t X ) {displayStyle m_ {x} (t): = mathbb {e} (e ^ {tx})} . En cons\u00e9quence, la connexion s’applique M je X ( t ) = M X ( je t ) = Phi X ( t ) {displayStyle m_ {ix} (t) = m_ {x} (it) = varphi _ {x} (t)} Si la fonction de g\u00e9n\u00e9ration de moment existe. Contrairement \u00e0 la fonction caract\u00e9ristique, ce n’est pas toujours le cas. Il existe \u00e9galement la fonction g\u00e9n\u00e9rateurs de cumulants comme un logarithme de la fonction de g\u00e9n\u00e9ration de moment. Le concept de cumuling en est d\u00e9riv\u00e9. \u2191 Achim Klenke: Th\u00e9orie des probabilit\u00e9s . 3. \u00c9dition. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 553 , est ce que je: 10 1007 \/ 978-3-642-36018-3 . 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