Galoïsmverbundring – Wikipedia

Quand Connexion Galois Si l’on fait référence à la description mathématique d’une interrelation entre deux salles (quantités). Un élément de l’autre est affecté à chaque élément et vice versa, avec certaines règles à observer. On pense que les deux caractéristiques totales sont (partiellement) organisées. Les règles doivent alors garantir que l’interrelation est compatible avec ces ordres.

Un exemple supplémentaire-mathématique d’une telle interrelation est par le So-called Loi réciproque Le concept philosophique a décrit: «Le contenu et la portée d’un terme sont dans la relation opposée les unes contre les autres. Plus il contient un terme entre lui, moins il contient, et vice versa. ” ^{[d’abord] [2]}

Les Connexions Galois sont nommées d’après le mathématicien français Évarist Galois. Une distinction est faite entre les composés Galois monotones et antitone. L’exemple de la relation entre la portée du concept et le contenu du concept correspond à cela Anticonen Cas (plus l’un de l’autre, moins les autres). Sans spécifier «monoton» ou «anti-anti-», cet article signifie des composés Galois antitone.

Connexion Galois antitone [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Un antitone Connexion Galois entre deux quantités partiellement ordonnées

${displayStyle (s, leq)}$

et

${displayStyle (t, leq)}$

Est un couple

${DisplayStyle (Sigma, Tau)}$

Des illustrations

${DisplayStyle Sigma Colon Sto t}$

et

${Displaystyle tau colon tto s}$

, par lequel

${DisplayStyle Sigma}$

et

${displaystyle tau}$

Les illustrations antitones sont et leurs compositions

${DisplayStyle Sigma circ Tau}$

et

${displaystyle tau circ Sigma}$

sont étendus. Cela signifie que les propriétés suivantes doivent être remplies:

1. 
   ${affichestyle pour le s_ {1}, s_ {2} dans Scolon [s_ {1} leq s_ {2} rightarrow sigma (s_ {2}) leq sigma (s_ {1})]}$

   

2. 
   ${affichestyle pour le t_ {1}, t_ {2} dans tcolon [t_ {1} leq t_ {2} rightarrow tau (t_ {2}) leq tau (t_ {1})]}$

   

3. 
   ${displaystyle pour le sinc scolon sleq tau (sigma (s))}$

   

4. 
   ${displaystyle pour tout-étain tcolon tleq Sigma (tau (t))}$

   

Il équivaut à exiger que

${displaystyle pour le sin Sin sforall tin tcolon [Sleq tau (t) ifff tleq Sigma (s)]}$

est satisfait.

Connexion de galo monotone [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Un monotone Connexion Galois entre deux quantités partiellement ordonnées

${displayStyle (s, leq)}$

et

${displayStyle (t, leq)}$

Est un couple

${displayStyle (f, g)}$

Des illustrations

${displaystyle fcolon sto t}$

et

${DisplayStyle gcolon tto s}$

, par lequel

${displaystyle f}$

et

${displaystyle g}$

Les images monotones sont,

${displayStyle gCIRC f}$

est étendu et

${displayStyle fCIRC G}$

intensif. Cela signifie que les propriétés suivantes doivent être remplies:

1. 
   ${affichestyle pour le s_ {1}, s_ {2} dans Scolon [s_ {1} leq s_ {2} rightarrow f (s_ {1}) leq f (s_ {2})]}$

   

2. 
   ${affichestyle pour le t_ {1}, t_ {2} dans tcolon [t_ {1} leq t_ {2} rightarrow g (t_ {1}) leq g (t_ {2})]}$

   

3. 
   ${displaystyle pour le sinc Scolon Sleq G (f (s))}$

   

4. 
   ${displayStyle pour tout étain tcolon f (g (t)) leq t}$

   

Il équivaut à exiger que

${affichestyle pour le sin Sin sforall tin tcolon [sleq g (t) iff f (s) leq t]}$

est satisfait.

Une connexion de galo monotone

${displayStyle (f, g)}$

Est le cas particulier d’une catégorie-adjonction théorique

${displaystyle fdashv g}$

où les catégories sont partiellement commandées.

Une connexion Galois anitulaire

${DisplayStyle (Sigma, Tau)}$

entre

${DisplayStyle S}$

et

${displayStyle t}$

A les propriétés suivantes:

• Symétrie:
  ${displayStyle (tau, sigma)}$

  Est une connexion galo entre

  ${displayStyle t}$

  et

  ${DisplayStyle S}$

  .

• 
  ${DisplayStyle tau circ Sigma circ tau = tau}$

  , par symétrie aussi

  ${DisplayStyle Sigma circ Tau circ Sigma = Sigma}$

  .

• 
  ${displaystyle tau circ Sigma}$

  Est un opérateur de couvertures sur

  ${DisplayStyle S}$

  , Et avec cela

  ${DisplayStyle Sigma circ Tau}$

  Un opérateur de bobine sur

  ${displayStyle t}$

  .

• Unicité: est
  ${DisplayStyle (Sigma, Tau ‘)}$

  Une autre connexion galo entre

  ${DisplayStyle S}$

  et

  ${displayStyle t}$

  , aussi

  ${displaystyle tau = tau ‘}$

  . Est

  ${displayStyle (Sigma ‘, tau)}$

  Une autre connexion galo entre

  ${DisplayStyle S}$

  et

  ${displayStyle t}$

  , aussi

  ${displayStyle Sigma = Sigma ‘}$

  

Une connexion de galo monotone

${displayStyle (f, g)}$

entre

${DisplayStyle S}$

et

${displayStyle t}$

A les propriétés suivantes:

La théorie et l’application de ces composées en galo sont par exemple. B. Sujet de l’analyse du concept formel ^[3] (FBA). Dans la FBA, les objets forment beaucoup, les propriétés potentielles (caractéristiques) de la quantité différente associée.

Sont là

${DisplayStyle S}$

et

${displayStyle t}$

Quantités de puissance, par exemple

${displayStyle s = {mathcal {p}} (a)}$

et

${displayStyle t = {mathcal {p}} (b)}$

. Celles-ci sont semi-fixées par l’inclusion. Sous une connexion galo entre le Vouloir dire

${displaystyle a}$

et

${displaystyle b}$

Si vous comprenez alors une connexion galo entre

${DisplayStyle S}$

et

${displayStyle t}$

. Tel peut être obtenu à l’aide des relations: être

${affichage rsubseteq atimes b}$

Une relation entre

${displaystyle a}$

et

${displaystyle b}$

. Les illustrations

${displayStyle Sigma (x): = {yin b ~ | ~ forall xin x: (x, y) en r}}$

,

${displayStyle tau (y): = {xin a ~ | ~ pour toute yin y: (x, y) dans r}}$

Ensuite, placez une connexion galo entre

${DisplayStyle S}$

et

${displayStyle t}$

son.

• Sont les ordres partiels sur
  ${DisplayStyle S}$

  et

  ${displayStyle t}$

  L’égalité en particulier, est une connexion galois (que ce soit monotone ou antitone)

  ${DisplayStyle S}$

  et

  ${displayStyle t}$

  Quelques-uns ensemble en vers en vers.

• Entre un corps
  ${displaystyle l}$

  avec le bas du corps

  ${displaystyle k}$

  et le groupe Galois de

  ${displayStyle g = gal (l / k)}$

  il y a la relation suivante

  ${displaystyle r}$

  :

${DisplayStyle (phi, x) dans rleftrightarrow non -x = x.}$

De cela une connexion galo entre

${displaystyle l}$

et

${displaystyle g}$

À définir. Ceci est examiné dans la clause principale de la théorie des galoïstes. Cet exemple explique le terme connexion Galois.

${displayStyle (v, f) dans r: leftrightarrow f (v) = 0}$

.

Cette relation définit une connexion galois

${DisplayStyle V}$

et

${displaystyle f}$

, mais aussi entre eux. Vous écrivez alors

${DisplayStyle perp}$

au lieu de

${DisplayStyle Sigma}$

ainsi que

${displaystyle top}$

au lieu de

${displaystyle tau}$

, et appliquer

${displaystyle u ^ {perp} = {fin v ^ {*} ~ | ~ USUBSeteq Operatorname {kern} (f)}}$

,

${displayStyle u ^ {top} = limites bigcap _ {fin u} opératorname {kern} (f)}$

.

• Il y a une connexion galois en géométrie algébrique
  ${displayStyle ({mathcal {i}}, {mathcal {v}})}$

  Z B. entre les quantités algébriques affine

  ${displaystyle k ^ {n}}$

  et les idéaux dans l’anneau polynomial

  ${displayStyle k [x_ {1}, x_ {2}, points, x_ {n}]}$

  , par lequel

  ${displaystyle k}$

  indiqué un corps algébrique. Organisé

  ${displayStyle {Mathcal {i}}}$

  de chaque montant algébrique l’idéal de toutes les polynomies qui disparaissent sur ce montant, et

  ${displayStyle {Mathcal {v}}}$

  attribue chaque idéal à la quantité algébrique qui est la quantité nulle commune de tous les polynomes dans cet idéal; officiellement:

${displayStyle {Mathcal {i}} (a): = Left {fin k [x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {n}], ~ | ~, f (a) = 0Right}}$

,

${displayStyle {Mathcal {v}} (i): = Left {xin k ^ {n}, ~ | ~, pour la fin icolon f (x) = 0Right}}$

.

• Dans l’algèbre universelle, plus précisément dans la théorie de l’équation, il y a une connexion galo
  ${displayStyle (m, g_ {x})}$

  Entre les systèmes d’équations et les classes d’Albala. Il y a des albars et des termes d’un gars fixe. La connexion Galois est comme le Connexion galois de la théorie de l’équation Décrits et s’écarte de la définition d’origine de telle manière qu’il fonctionne non seulement sur les quantités, mais sur les classes. C’est

  ${displayStyle Sigma subseteq t (x) fois t (x)}$

  Un système d’équations supérieures à la quantité de variables

  ${displaystyle x}$

  et

  ${displayStyle {Mathcal {k}}}$

  Une classe d’Albala:

${displayStyle m (Sigma): = Left {a ~ | ~ forall (s, t) dans Sigma Colon AModels Sapprox tright}}$

, la classe de tous les modèles de

${DisplayStyle Sigma}$

,

${displayStyle g_ {x} ({Mathcal {k}}): = Left {(s, t) en t (x) fois t (x) ~ | ~ forall ain {mathcal {k}} colon amodels sapprox tright}}$

, la foule de tous dans albaline de

${displayStyle {Mathcal {k}}}$

Équations valides sur

${displaystyle x}$

.

• Dans
  ${displayStyle Mathbb {r}}$

  Avec la commande standard s’applique

${DisplayStyle A + Bgeq Clongleftrightarrow Ageq C-B}$

.

Cela signifie,

${displaystyle xmapsto x + b}$

et

${displaystyle xmapsto x-b}$

Formez une connexion Galois monotone. Cette propriété peut également être comprise comme une définition de la soustraction d’un nombre par rapport à l’ajout du même nombre. Contrairement à la définition de la soustraction comme ajout de l’inverse additif, il peut également être utilisé dans des situations où il n’y a pas de nombres négatifs.

• Pour chaque illustration
  ${DisplayStyle fcolon ato b}$

  Y a-t-il l’image archétype

  ${displayStyle f ^ {- 1} colon {mathcal {p}} (b) à {mathcal {p}} (a)}$

  . En ce qui concerne la relation partielle du montant, ce dernier est parti et droitier

  ${displayStyle existe _ {f}, pour toute _ {f} colon {mathcal {p}} (a) à {mathcal {p}} (b)}$

  , avec

  ${displayStyle existe _ {f} dashv f ^ {- 1} dashv forall _ {f}}$

  , Défini par

${displayStyle existe _ {f} (x): = {bin bmid existe Ain acolon f (a) = fade$

et

${displayStyle pour toute _ {f} (x): = {bin bmid pour toute ain acolon f (a) = Brightarrow ain x}}$

.

${displaystyle existe _ {f}}$

est sous la formation de l’image

${displaystyle f}$

connu.

1. ↑ Godllob Benjamin Jask: Logique d’Immanuel Kant: un manuel sur les conférences . HRSG.: J.H. v. Kirchmannn. Friedrich Nicolovius, Berlin 1876, ISBN 978-5-88002-810-8
2. ↑ Godllob Benjamin Jask: Logique d’Immanuel Kant. 30 décembre 2015, Récupéré le 13 avril 2019 .
3. ↑ Bernhard Ganter: Mathématiques discrètes: quantités ordonnées (= Manuel de Springer ). Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-37499-9.