Hermitesches Polynom – Wikipedia

Complots des cinq premiers polynomes qui se chassent h _n

Le Hermiteschen Polynome (Selon Charles Hermith) sont polynomiaux avec les représentations équivalentes suivantes:

${displayStyle h_ {n} (x) = (- 1) ^ {n} e ^ {x ^ {2}} {frac {mathrm {d} ^ {n}} {mathrm {d} x ^ {n}}} e ^ {- x ^ {2}} ,,}$

after-content-x4

ou.

Les polynnomes ermits (avec une entreprise

) sont des solutions du L’équation différentielle d’Hermith , une équation différentielle linéaire du deuxième ordre:

after-content-x4

${displayStyle h_ {n} ” (x) -2, xcdot h_ {n} ‘(x) + 2, ncdot h_ {n} (x) = 0qquad (n = 0,1,2, points).}$

Depuis la première présentation, vous obtenez la représentation explicite avec la formule de Faà di Bruno

${affichestyle h_ {n} (x) = (- 1) ^ {n} sum _ {k_ {1} + 2k_ {2} = n} {frac {n!} {k_ {1}! k_ {2}!}} (- 1) ^ {k_ {1} + k_ {2}}. }}$

aussi

${displayStyle h_ {0} (x) = 1}$

${displayStyle h_ {1} (x) = 2x}$

${displayStyle h_ {2} (x) = (2x) ^ {2} -2 = 4x ^ {2} -2}$

${displayStyle h_ {3} (x) = (2x) ^ {3} -6 (2x) = 8x ^ {3} -12x}$

${displayStyle h_ {4} (x) = (2x) ^ {4} -12 (2x) ^ {2} + 12 = 16x ^ {4} -48x ^ {2} +12}$

Les polynomes d’Hermitesche peuvent être calculés par les formules de récursivité suivantes

:

${DisplayStyle h_ {n + 1} (x) = 2, x, h_ {n} (x) -2, n, h_ {n-1} (x)}$

${DisplayStyle h_ {n} ‘(x) = 2, n, h_ {n-1} (x)}$

Depuis à chaque étape d’itération

Pour être ajouté, vous pouvez rapidement voir que

Un polynôme de degré

est. Le coefficient de puissance maximale

est

. Pour droit

Seules les puissances de

sur, en conséquence pour étrange

Seulement des puissances étranges, quelle est mathématiquement par l’identité

${DisplayStyle h_ {n} (-x) = (-1) ^ {n} cdot h_ {n} (x)}$

Permet d’exprimer.

La représentation récursive de ce qui précède. Les polynomes d’hermits peuvent être utilisés par la substitution simple

Écrivez également comme suit:

${DisplayStyle h_ {n} (x) = 2xh_ {n-1} (x) -2 (n-1) h_ {n-2} (x) ,,,,$

Texte de la source Pascal [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Avec l’aide des conditions initiales connues

et

Les valeurs fonctionnelles peuvent être facilement calculées avec la fonction Pascal récursive suivante:

 Fonction  Hermite ( n : Octet ; X : Étendu ) : Étendu ;  Fonction  Aller ( m : Octet ;  p , q : Étendu ) :  Étendu ;  Commencer  Si  n = m  Alors  Aller  : =  p  Autre  Aller  : =  Aller ( m + d'abord ,  q ,  2 * X * q  -  2 * ( m + d'abord ) * p )  Fin ;  Commencer  Hermite  : =  Aller ( 0 ,  d'abord ,  2 * X )  Fin ;  

La formule de dérivation plus générale

Peut être mis en œuvre comme suit:

 Fonction  Dérivation ( n , m : Octet ; X : Étendu ) : Étendu ;  Commencer  Si  m = 0  Alors  Dérivation : = Hermite ( n , X )  Autre  Si  n < m  Alors  Dérivation : = 0  Autre  Si  m = d'abord  Alors  Dérivation : = 2 * n * Hermite ( n - d'abord , X )  Autre  Dérivation : = 2 * n * Dérivation ( n - d'abord , m - d'abord , X )  Fin ;  

Les hermithes des polynomes remplissent la fonction de poids

La relation d’orthogonalité

${displayStyle int limites _ {- infty} ^ {+ infty} e ^ {- x ^ {2}} cdot h_ {n} (x) cdot h_ {m} (x), dx = 2 ^ {n} cdot n! cdot {sqrt {pi}} cdot delta _ {nm}.$

Cela signifie que certaines fonctions réelles peuvent être développées en ligne après le polynomène Hermithsche.

Complots des cinq premiers polynomes qui se chassent _n (Convention sur les statistiques)

Une autre possibilité de définition des polynomes hermétriques (convention statisticienne) est

${affichestyle he_ {n} (x) = 2 ^ {- n / 2} h_ {n} (x / {sqrt {2}}}) = (- 1) ^ {n} e ^ {x ^ {2} / 2} {frac {mathrm {d} ^ {n}} {Mathrm {d} {-x ^ {2} / 2}.}$

Vous êtes en termes de fonction de poids

orthogonal

${displayStyle int limites _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- x ^ {2} / 2}, he_ {n} (x), he_ {m} (x), dx = {sqrt {2, pi}}, n!, Delta _ {mn}}}$

et rencontrer l’équation différentielle

${DisplayStyle et ” -x, y ‘+ n, y = 0.}$

Ils peuvent être récursivement

${DisplayStyle he_ {n + 1} (x) = x, he_ {n} (x) -n, he_ {n-1} (x)}$

déterminer.

Une formule qui a une forme similaire au taux d’enseignement binomien s’applique au polynome hermitant. Pour

est

$MMS Nume Stle Stle States – Meyk Kion) maman m Kóe Empira al Kal Homk Hork Hork Kalm Kalm Mupmonkate Mancan Káo Kö2yen.$

La dérivation de la fonction d’erreur complémentaire

est

${displayStyle {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} x}} opératorname {erfc} (x) = – {frac {2} {sqrt {pi}}} e ^ {- x ^ {2}}}}$

.

Cela signifie que la représentation des polynomes hermétriques peut également être écrite comme suit: ^[d’abord]

${displayStyle h_ {n} (x) = {frac {sqrt {pi}} {2}} (- 1) ^ {(n + 1)} e ^ {x ^ {2}} {frac {mathrm {d} ^ {n + 1}} {mathrm {d} x ^ {n + 1}}}}}} fc} (x)}$

,

Alors toi pour

découvertes:

${displayStyle h _ {- 1} (x) = {frac {sqrt {pi}} {2}} e ^ {x ^ {2}} opératorname {erfc} (x)}$

.

Les fonctions des indices supérieurs calculent comme:

${displayStyle h_ {n-1} (x) = {frac {(-1) ^ {n}} {2 ^ {- n} (- n)!} {frac {mathrm {d} ^ ^ {- n}} {mathrm {d} x ^ {- n}}} h _ {- 1} x ^ {- n}}} H _ {- 1} (x)$

ou récursiteur

${displayStyle h_ {n-1} (x) = {frac {1} {2n}} h_ {n} ‘(x)}$

avec

${displayStyle n = (- 1, -2, -3, dotsc)}$

.

Les fonctions obtenues de cette manière sont suffisantes telles que les polynomes avec un indice positif de l’équation différentielle de l’ermite.

Tu es:

${displayStyle h _ {- 1} (x) = {tfrac {1} {2}} {sqrt {pi}} e ^ {x ^ {2}} opératorname {erfc} (x)}$

${displayStyle h _ {- 2} (x) = {tfrac {1} {2}} (1-x {sqrt {pi}} e ^ {x ^ {2}} Operatorname {erfc} (x))}$

${displayStyle h _ {- 3} (x) = {tfrac {1} {8}}} (- 2x + (1 + 2x ^ {2}) {sqrt {pi}} e ^ {x ^ {2}} opératorname {erfc} (x))}$

${DisplayStyle LDOTS}$

Hermith Polynomies obtient leur importance grâce à leur applicabilité polyvalente en physique. Par exemple, vous serez conçu pour concevoir les fonctions de solution orthonormale du
quantique mécanique
Oscillateurs harmonieux.
Ceux-ci correspondent aux fonctions ermitistes
Par multiplication avec la distribution normale gaussienne
et reçoit une normalisation appropriée.

Vous pouvez trouver une autre application dans la méthode d’éléments finis en tant que fonctions de formulaire.

La densité de probabilité de la distribution t des étudiants non centraux peut être exprimée en utilisant des fonctions polynomiales hermitesch, dont l’indice a des valeurs négatives.

1. ↑ Eric W. Pointerstein: Hermite Polynomial . Dans: Mathworld (Anglais).