Hilbert-Kalkül – Wikipedia

Hilbertkal sont un calcul axiomatique pour la logique de déclaration classique ou la logique du prédicat de la première étape, c’est-à-dire la chaux dans laquelle les théorèmes et les arguments de la logique de déclaration ou de la logique du prédicat peuvent être dérivés. Les deux principales caractéristiques de Hilbertkalkülen sont la présence d’un certain nombre d’axiomes ou de schémas d’axiomen ainsi que du petit nombre de règles finales – en cas d’axiomen schémas, souvent une seule règle, le mode Ponendo Ponens, et en cas d’axiome également une règle de substitution.

Le terme “Hilbertkalkül” remonte au mathématicien David Hilbert, qui a fait connaître le programme Hilbert sous le nom de phrase incomplétude de Gödel comme une réclamation insoluble, pour construire l’ensemble des mathématiques et la logique sur un système d’uniforme commun et d’axiome complet. Dans un sens plus étroit, seuls les Hilbertkalkales ne sont mentionnés que par Hilbert lui-même, en particulier la déclaration axiomatique – le calcul logique, qui a été donné avec Paul Bernays en 1934 dans l’œuvre “Fondements des mathématiques”.

Étant donné que les travaux de Hilbert sont à leur tour basés sur le concept de Gottlob Frege, ces calculs sont parfois également appelés “vaches de lime Frege”. ^[d’abord]

Syntaxe [ Modifier | Modifier le texte source ]]

En plus des variables d’instruction et des constantes logiques du niveau de l’objet, le calcul illustré ici contient le signe de la méta-langue

${displaystyle vdash}$

, par lequel

${displaystyle avdash b}$

est lu comme ”

${displaystyle b}$

Est dehors

${displaystyle a}$

Dérivable “.

Dans un Hilbertkalkül, des preuves sont essentiellement réalisées à l’aide de trois opérations élémentaires. L’action (1) est la création d’une instance d’un axiomenchemas. L’action (2) consiste à configurer une hypothèse, et l’action (3) est l’utilisation du mode de mode.

Axiome [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Sur l’action (1): Un Hilbertkalkül utilise comme schémas d’axiomen qui sont utilisés pour dire des tautologies logiques de témoignages, c’est-à-dire des formules qui “vrai” sous toutes les valeurs de vérité aux variables de phrase qui y sont présentes. Une telle tautologie est, par exemple, la déclaration

${DisplayStyle arightarrow (Brightarrow a)}$

qui est utilisé dans de nombreux Hilbertkalkülen comme axiome ou comme schéma d’axiomen. Si vous les utilisez comme schéma d’axiomen, A et B agissent comme un espace réservé qui peut être remplacé pour toute autre formule nucléaire; Si vous les utilisez comme axiome, vous avez également besoin d’une règle finale qui lui permet de remplacer les variables de phrase A et B par d’autres formules, c’est-à-dire une règle de substitution.

hypothèse [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Sur l’action (2): Le tracé est l’intrigue qui dérive d’une quantité donnée de formule A qui est déjà incluse dans cette quantité de formule. Étant donné que la quantité de formule peut déjà être dérivée, chaque formule unique qui est élément de la foule doit également être dérivée. Exemple: vous devez dériver n’importe quelle formule de la quantité de formule. La formule atomique A est un élément de la quantité de formule M. Nous pouvons donc dériver de la quantité de formule.

Officiel:

Peut être ${displayStyle m = {a, b, c}}$.
    S'applique trivialement ${displaystyle avdash a}$.
    Et ${displaystyle a}$Élément ${displaystyle m}$est, s'applique ${displaystyle mvdash a}$(l'hypothèse). 

Mode (placement) Placement [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Le mode Ponens permet la conclusion

${displaystyle b}$

hors de

${displaystyle a}$

et

${displaystyle arightarrow b}$

(“Si a, alors b”). Dans le calcul indiqué ici, cette règle se présente comme suit:

${displaystyle m}$

et

${displaystyle n}$

être formule et

${displaystyle a}$

et

${displaystyle b}$

être des formules.

Si maintenant de la quantité de formule

${displaystyle m}$

la formule

${displaystyle a}$

peut être dérivé et si le montant de la formule

${displaystyle n}$

la formule

${displaystyle arightarrow b}$

peut être dérivé, alors de l’union de

${displaystyle m}$

et

${displaystyle n}$

la formule

${displaystyle b}$

dérivable; En orthographe formelle:

${displaystyle mvdash a}$

${displaystyle nvdash aRightarrow b}$

${DisplayStyle mcup nvdash b}$

Pour une meilleure compréhension, un exemple de l’application. Il y a un hilbertkalkule avec les cinq axiomes suivants:

1. 
   ${DisplayStyle effrayeraRow (GRIGHTARROW F)}$

   

2. 
   ${DisplayStyle (effrayerarrow (Grightarrow h)) RightArrow ((effrayer g) Rightarrow (effrayer h))}$

   

3. 
   $tes$

   

4. 
   ${DisplayStyle effrayer (neg frightarrow g)}$

   

5. 
   ${DisplayStyle (neg effruntarrow f) Rightarrow f}$

   

La tâche consiste à sortir de la quantité vide de formule

${displayStyle m = {}}$

la formule

${displaystyle arightarrow a}$

Cœur coeur, c’est-à-dire

${displaystyle mvdash arightarrow a}$

.

Les preuves dans un calcul de Hilbert sont souvent très complexes et il n’est pas trivial comment une formule logique logique ou prédicat peut être dérivée du calcul. En revanche, il existe des systèmes de fermeture naturelle, y compris le système développé par Gentzen ou le calcul Fitch. Dans de tels systèmes formels, les preuves sont beaucoup plus similaires celles de l’argument habituel de déduction mathématique. Les systèmes de fermeture naturelle sont régulièrement basés; Ils n’ont pas d’axiomes, mais ils ont un grand nombre de règles finales. Contrairement à cela, les systèmes axiomes ont généralement beaucoup (peut-être même un nombre infini d’axiomes) et une seule règle finale. La deuxième différence est que les systèmes de fermeture naturelle lui permettent d’accepter des déclarations aux fins de preuves à court terme et de les rejeter plus tard. ^[2]

• David Hilbert, Paul Bernays: Fondamentaux des mathématiques . Band 1 Berlin 1934, groupe 2 Berlin 1939
• H. Ehrig, B. Mahr, F. Cornelius, M. Grosse-Rhode, P. Zeitz: Fondations mathématiques-structurales de l’informatique . Springs-Publiser, Berlin et al. 2001, ISBN 3-540-41923-3.

• Logique de prédicat formel (PDF; 508 kb), une compilation des axiomes, des règles et des propositions avec des preuves formelles dans le style de Hilbert

1. ↑ Introduction à la théorie de la quantité: l’enseignement de Georg Cantor et son axiomatisation par Ernst Zermelo, Oliver Deiser, Gabler Science Publishers, 2009, ISBN 364201445, Aperçu limité Dans la recherche de livres Google
2. ↑ Logic Matters – Systèmes de preuve Peter Smith: Axiomes, règles et quelle logique est tout Dans: Types de système de preuve 2010, S. 2.