Hodge-Stern-opérateur – Wikipedia

Le Hodge-Stern-opérateur ou court Opérateur à tas est un objet de la géométrie différentielle. Il a été introduit par le mathématicien britannique William Vallance Douglas Hodge. L’opérateur est un isomorphisme qui fonctionne sur l’algèbre externe d’un rêve préhiltrade finalement dimensionnel ou plus généralement dans l’espace des formes différentielles.

Peut être

${displaystyle m}$

Un collecteur à n dimensions et lisse et être

${displaystyle lambda ^ {k} t_ {p} ^ {*} m}$

le

${displaystyle k}$

-Te puissance externe de la zone fécale. Pour tous

${displaystyle k}$

avec

${displayStyle 0leq kleq n}$

Avoir les vecteurs

${displaystyle lambda ^ {k} t_ {p} ^ {*} m}$

et

${displaystyle lambda ^ {n-k} t_ {p} ^ {*} m}$

La même dimension et sont donc isomorphes. A

${displaystyle m}$

Désormais également la structure d’une diversité semiremann orientée, on peut prouver que cette isomorphie peut bien sûr être construite. Cela signifie qu’il existe un isomorphisme entre les pièces, qui est invariante sous la métrique Semiremann et les diffomorphismes conservés par l’orientation. La généralisation de cet isomorphisme sur le faisceau tangentiel est appelée opérateur Hodge-Stern.

Depuis la chambre

${displayStyle t_ {p} ^ {*} m}$

La motivation ci-dessus est une salle vectorielle enfin dimensionnelle, la définition de l’opérateur Hodge Star sur les salles de vecteur commence ici.

Opérateur Hodge-Star sur les salles vectorielles [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Peut être

${DisplayStyle V}$

un

${displaystyle n}$

-Rodimensionnel de vecteur orienté

${displaystyle v ^ {*}}$

son double espace. Pour

${displayStyle 0leq kleq n}$

désigné

${Displaystyle lambda {k} (v ^ {*})}$

le

${displaystyle k}$

-e puissance externe de

${displaystyle v ^ {*}}$

, la salle vectorielle des formes multilinéaires alternées du niveau

${displaystyle k}$

au-dessus de

${DisplayStyle V}$

.

L’opérateur Hodge Star

${Displaystyle ast colon lambda {k} (v ^ {*}) rightarrow lambda ^ {n-k} (v {*})}$

est clairement déterminé par la condition suivante:
Est

${displayStyle {e_ {1}, ldots, e_ {n}}}$

Une base orthonormale orientée positivement de

${DisplayStyle V}$

et

${displayStyle {e ^ {1}, ldots, e ^ {n}}}$

La double base de

${displaystyle v ^ {*}}$

, aussi

${DisplayStyle * (e ^ {1} centre e ^ {2} DOTS CEDE CEDE E ^ {K}) = E ^ {K + 1} Wedge E ^ {K + 2} DOTS CENDE CEDE E ^ {N}}$

Il ne suffit pas d’exiger cette condition pour une seule base orthonormale. Mais vous n’avez pas besoin de les exiger pour chaque base orthonormale orientée positivement. Il suffit de regarder toutes les permutations droites d’une seule base:
Est

${displayStyle {e_ {1}, ldots, e_ {n}}}$

Une base orthonormale orientée positivement de

${DisplayStyle V}$

et

${displayStyle {e ^ {1}, ldots, e ^ {n}}}$

La double base de

${displaystyle v ^ {*}}$

, l’opérateur Hodge-Stern est clairement déterminé par la condition

${displayStyle AST (e ^ {sigma (1)} centre e ^ {sigma (2)} cdots cdots caliers e ^ {sigma (k)}) = e ^ {sigma (k + 1)} wedge e ^ {sigma (k + 2)} cdots calirs e ^ {sigma (n)}}$

Pour chaque permutation droite

${DisplayStyle Sigma}$

depuis

${displayStyle {1, points, n}}$

.

Pour une base orthogonale qui n’a pas besoin d’être une base orthonormale, s’applique plus généralement

${displayStyle AST (e_ {sigma (1)} wedge ldots wedge e_ {sigma (k)}) = g_ {sigma (1) sigma (1)} ldots g_ {sigma (k) sigma (k)} {frac {s (b)} {sqrt {| det g | igma), e_ {sigma (k + 1)} centre ldots wedge e_ {sigma (n)}}$

et

${affichestyle ast (e ^ {sigma (1)} centre ldots c wardge e ^ {sigma (k)}) = g ^ {sigma (1) sigma (1)} ldots g ^ {sigma (k) sigma (k)} s (b) {sqrt {| dét g |}}, {mathrm {spg} (sig). ma (k + 1)} cale ldots centre e ^ {sigma (n)}}$

.

Y a-t-il

${displayStyle s (b) = 1}$

, si

${displaystyle b}$

est orienté positivement et

${displayStyle s (b) = – 1}$

, si

${displaystyle b}$

est orienté négativement. La formule s’applique en particulier aux produits vides, il est donc pour une base orthonormale

${displayStyle ast 1 = s (b), e_ {1} wedge ldots wedge e_ {n}}$

,

${displayStyle ast (e_ {1} wedge ldots wedge e_ {n}) = s (b)}$

.

Opérateur Global Hodge Star [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Après ce travail préparatoire, l’opérateur Hodge-Stern peut être trouvé sur l’algèbre extérieure du faisceau kotangentiel

${displaystyle textstyle t ^ {*} m = bigsqcup _ {bro m} t_ {p} ^ {*} m}$

transfert. Comme dans la motivation

${displaystyle m}$

Une autre diversité orientable et lisse de Riemann. Définir également

${displayStyle {Mathcal {a}} ^ {k} (m)}$

que l’espace des coupes dans le faisceau vectoriel

${displaystyle lambda ^ {k} (t ^ {*} m)}$

. L’espace

${displayStyle {Mathcal {a}} ^ {k} (m)}$

Il en va de même de l’espace des formes différentielles

${displaystyle k}$

-Le diplôme sur

${displaystyle m}$

. Et

${displaystyle t ^ {*} m}$

est un paquet de vecteur et donc à chaque point

${DisplayStyle Pin M}$

Un vecteurs est que l’opérateur Hodge Star est défini en un point.

L’opérateur Hodge Star est un isomorphisme

${displayStyle {begin {aligned} ast: {mathcal {a}} ^ {k} (m) & to {mathcal {a}} ^ {n-k} (m) \ omega & mapsto ast omega, end {aligné}}}}$

Alors que pour chaque point

${DisplayStyle Pin M}$

${displayStyle omega | _ {p} mapsto ast omega | _ {p}}$

est applicable. La forme différentielle

${displayStyle Omega}$

, évalué au point

${displaystyle p}$

, est à nouveau un élément d’une salle vectorielle, et la définition ci-dessus s’applique aux salles vectorielles. Dans cette définition, il était impliqué que la forme

${displaystyle ast omega}$

Encore une fois, une forme différentielle fluide. Cependant, cela n’est pas clair et nécessite des preuves.

Si vous regardez l’espace euclidien à trois dimensions

${displaystyle mathbb {r} ^ {3}}$

En tant que diversité de Riemann avec la métrique euclidienne et l’orientation habituelle, l’opérateur Hodge-Stern peut être utilisé dans ces conditions. Peut être

${displayStyle {e_ {x}, e_ {y}, e_ {z}}}$

La base standard orientée de

${displaystyle mathbb {r} ^ {3}}$

et

${displayStyle {mathrm {d} x, mathrm {d} y, mathrm {d} z}}$

La base double correspondante. Les éléments

${displayStyle Mathrm {d} x, mathrm {d} y, mathrm {d} z}$

Peut alors être compris comme des formes différentielles. Pour l’opérateur Hodge Star

${displayStyle AST}$

Puis appliquer

${displayStyle {begin {aligned} ast mathrm {d} x & = mathrm {d} ywedge mathrm {d} z \ ast mathrm {d} y & = mathrm {d} zwedge mathrm {d} x \ ast mathrm {d} z & = mathrm {d} xwedge {d}. ignoré}}}$

Dans ces conditions, l’opérateur de Hodge Star est implicitement utilisé dans l’analyse vectorielle dans le produit transversal et l’opérateur rotatif en dérivé. Ceci est expliqué dans l’article algèbre externe.

Peut être

${displaystyle m}$

Une diversité orientée, lisse et Riemann, être

${displayStyle f_ {1}, f_ {2} dans c ^ {infty} (m)}$

,

${DisplayStyle Omega, nu in {Mathcal {a}} ^ {k} (m)}$

, et être

${displayStyle g (cdot, cdot)}$

Un Riemannche Metrik. Ensuite, l’opérateur Hodge-Stern possède les propriétés suivantes:

1. 
   ${displayStyle ast (f_ {1} omega + f_ {2} nu) = f_ {1} cdot ast omega + f_ {2} cdot ast nu}$

   (Linéarité),

2. 
   ${displayStyle ast ast omega = (- 1) ^ {k (n-k)} cdot omega}$

   (Bijectivité),

3. 
   ${displayStyle Omega Wedge * Nu = Nu Wedge * Omega = G (Omega, Nu) CDOT AST 1_ {M},}$

   

4. 
   ${displayStyle AST (Omega Wedge AST Nu) = AST (Nu Wedge AST Omega) = G (Omega, Nu),}$

   

5. 
   ${displayStyle g (ast omga, ast nu) = g (omga, nu)}$

   (Isomètre).

Peut être

${displaystyle m}$

Une diversité lisse et orientée Riemannsche. Ensuite, vous résumez

${DisplayStyle 1in c ^ {infty} (m) = {mathcal {a}}} ^ {0} (m)}$

En tant que fonction constante, donc c’est La forme du volume de Riemann défini comme

${DisplayStyle * 1}$

. Cette forme de volume est une partie importante de l’intégration avec des formes différentielles. Cela doit être illustré en utilisant un exemple simple. Être pour ça

${displayStyle usubset Mathbb {r} ^ {3}}$

un sous-ensemble compact. Le volume de u s’applique

${displayStyle textstyle mathrm {vol} (u) = int _ {u} 1 mathrm {d} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$

. Maintenant tu résumes

${displaystyle mathbb {r} ^ {3}}$

En tant que diversité et

${displaystyle u}$

En tant que sous-ensemble compact qui y contenait, le volume est défini dans ce cas

${displayStyle operatorname {vol} (u): = int _ {u} * 1 = int _ {u} mathrm {d} x_ {1} wedge mathrm {d} x_ {2} wedge mathrm {d} x_ {3} = int _ {u} 1mathrm {d} (x_}}}}, x_}, x_}, x_}, X_}, 1}}} , x_ {3}).}$

La théorie de l’intégration sur la diversité comprend également l’intégration sur les sous-quantités réelles. Selon ce principe, vous pouvez également intégrer des fonctions sur la diversité en les multipliant par la forme du volume.

• R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Mélanges, analyse du tenseur et applications . Springs-Publis, Berlin 2003, ISBN 3-540-96790-7.
• S. Morita: Géométrie des formes différentielles . American Mathematical Society, ISBN 0-821-81045-6.