[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/hodge-stern-operateur-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/hodge-stern-operateur-wikipedia\/","headline":"Hodge-Stern-op\u00e9rateur – Wikipedia","name":"Hodge-Stern-op\u00e9rateur – Wikipedia","description":"before-content-x4 Le Hodge-Stern-op\u00e9rateur ou court Op\u00e9rateur \u00e0 tas est un objet de la g\u00e9om\u00e9trie diff\u00e9rentielle. 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Il a \u00e9t\u00e9 introduit par le math\u00e9maticien britannique William Vallance Douglas Hodge. L’op\u00e9rateur est un isomorphisme qui fonctionne sur l’alg\u00e8bre externe d’un r\u00eave pr\u00e9hiltrade finalement dimensionnel ou plus g\u00e9n\u00e9ralement dans l’espace des formes diff\u00e9rentielles.        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Peut \u00eatre M {displaystyle m} Un collecteur \u00e0 n dimensions et lisse et \u00eatre L k T p \u2217 M {displaystyle lambda ^ {k} t_ {p} ^ {*} m} le        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4k {displaystyle k} -Te puissance externe de la zone f\u00e9cale. Pour tous k {displaystyle k} avec 0 \u2264 k \u2264 n {displayStyle 0leq kleq n} Avoir les vecteurs L k T p \u2217 M {displaystyle lambda ^ {k} t_ {p} ^ {*} m} et        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4L n – k T p \u2217 M {displaystyle lambda ^ {n-k} t_ {p} ^ {*} m} La m\u00eame dimension et sont donc isomorphes. A M {displaystyle m} D\u00e9sormais \u00e9galement la structure d’une diversit\u00e9 semiremann orient\u00e9e, on peut prouver que cette isomorphie peut bien s\u00fbr \u00eatre construite. Cela signifie qu’il existe un isomorphisme entre les pi\u00e8ces, qui est invariante sous la m\u00e9trique Semiremann et les diffomorphismes conserv\u00e9s par l’orientation. La g\u00e9n\u00e9ralisation de cet isomorphisme sur le faisceau tangentiel est appel\u00e9e op\u00e9rateur Hodge-Stern. Depuis la chambre T p \u2217 M {displayStyle t_ {p} ^ {*} m} La motivation ci-dessus est une salle vectorielle enfin dimensionnelle, la d\u00e9finition de l’op\u00e9rateur Hodge Star sur les salles de vecteur commence ici. Op\u00e9rateur Hodge-Star sur les salles vectorielles [ Modifier | Modifier le texte source ]] Peut \u00eatre DANS {DisplayStyle V} un n {displaystyle n} -Rodimensionnel de vecteur orient\u00e9 DANS \u2217 {displaystyle v ^ {*}} son double espace. Pour 0 \u2264 k \u2264 n {displayStyle 0leq kleq n} d\u00e9sign\u00e9 L k ( DANS \u2217 ) {Displaystyle lambda {k} (v ^ {*})} le k {displaystyle k} -e puissance externe de DANS \u2217 {displaystyle v ^ {*}} , la salle vectorielle des formes multilin\u00e9aires altern\u00e9es du niveau k {displaystyle k} au-dessus de DANS {DisplayStyle V} . L’op\u00e9rateur Hodge Star \u2217 : L k( DANS \u2217) \u2192 L n\u2212k( DANS \u2217) {Displaystyle ast colon lambda {k} (v ^ {*}) rightarrow lambda ^ {n-k} (v {*})} est clairement d\u00e9termin\u00e9 par la condition suivante:Est { C’est d’abord , … , C’est n } {displayStyle {e_ {1}, ldots, e_ {n}}} Une base orthonormale orient\u00e9e positivement de DANS {DisplayStyle V} et { C’est d’abord , … , C’est n } {displayStyle {e ^ {1}, ldots, e ^ {n}}} La double base de DANS \u2217 {displaystyle v ^ {*}} , aussi \u2217 ( C’est 1\u2227 C’est 2\u2227 \u22ef \u2227 C’est k) = C’est k+1\u2227 C’est k+2\u2227 \u22ef \u2227 C’est n{DisplayStyle * (e ^ {1} centre e ^ {2} DOTS CEDE CEDE E ^ {K}) = E ^ {K + 1} Wedge E ^ {K + 2} DOTS CENDE CEDE E ^ {N}} Il ne suffit pas d’exiger cette condition pour une seule base orthonormale. Mais vous n’avez pas besoin de les exiger pour chaque base orthonormale orient\u00e9e positivement. Il suffit de regarder toutes les permutations droites d’une seule base:Est { C’est d’abord , … , C’est n } {displayStyle {e_ {1}, ldots, e_ {n}}} Une base orthonormale orient\u00e9e positivement de DANS {DisplayStyle V} et { C’est d’abord , … , C’est n } {displayStyle {e ^ {1}, ldots, e ^ {n}}} La double base de DANS \u2217 {displaystyle v ^ {*}} , l’op\u00e9rateur Hodge-Stern est clairement d\u00e9termin\u00e9 par la condition \u2217 ( C’est \u03c3(1)\u2227 C’est \u03c3(2)\u2227 \u22ef \u2227 C’est \u03c3(k)) = C’est \u03c3(k+1)\u2227 C’est \u03c3(k+2)\u2227 \u22ef \u2227 C’est \u03c3(n){displayStyle AST (e ^ {sigma (1)} centre e ^ {sigma (2)} cdots cdots caliers e ^ {sigma (k)}) = e ^ {sigma (k + 1)} wedge e ^ {sigma (k + 2)} cdots calirs e ^ {sigma (n)}} Pour chaque permutation droite un {DisplayStyle Sigma} depuis { d’abord , … , n } {displayStyle {1, points, n}} . Pour une base orthogonale qui n’a pas besoin d’\u00eatre une base orthonormale, s’applique plus g\u00e9n\u00e9ralement \u2217 ( C’est \u03c3(1)\u2227 … \u2227 C’est \u03c3(k)) = g \u03c3(1)\u03c3(1)… g \u03c3(k)\u03c3(k)s(B)|detg|s g n ( un ) C’est \u03c3(k+1)\u2227 … \u2227 C’est \u03c3(n){displayStyle AST (e_ {sigma (1)} wedge ldots wedge e_ {sigma (k)}) = g_ {sigma (1) sigma (1)} ldots g_ {sigma (k) sigma (k)} {frac {s (b)} {sqrt {| det g | igma), e_ {sigma (k + 1)} centre ldots wedge e_ {sigma (n)}} et \u2217 ( C’est \u03c3(1)\u2227 … \u2227 C’est \u03c3(k)) = g \u03c3(1)\u03c3(1)… g \u03c3(k)\u03c3(k)s ( B ) |detg|s g n ( un ) C’est \u03c3(k+1)\u2227 … \u2227 C’est \u03c3(n){affichestyle ast (e ^ {sigma (1)} centre ldots c wardge e ^ {sigma (k)}) = g ^ {sigma (1) sigma (1)} ldots g ^ {sigma (k) sigma (k)} s (b) {sqrt {| d\u00e9t g |}}, {mathrm {spg} (sig). ma (k + 1)} cale ldots centre e ^ {sigma (n)}} . Y a-t-il s ( B ) = d’abord {displayStyle s (b) = 1} , si B {displaystyle b} est orient\u00e9 positivement et s ( B ) = – d’abord {displayStyle s (b) = – 1} , si B {displaystyle b} est orient\u00e9 n\u00e9gativement. La formule s’applique en particulier aux produits vides, il est donc pour une base orthonormale \u2217 d’abord = s ( B ) C’est 1\u2227 … \u2227 C’est n{displayStyle ast 1 = s (b), e_ {1} wedge ldots wedge e_ {n}} , \u2217 ( C’est 1\u2227 … \u2227 C’est n) = s ( B ) {displayStyle ast (e_ {1} wedge ldots wedge e_ {n}) = s (b)} . Op\u00e9rateur Global Hodge Star [ Modifier | Modifier le texte source ]] Apr\u00e8s ce travail pr\u00e9paratoire, l’op\u00e9rateur Hodge-Stern peut \u00eatre trouv\u00e9 sur l’alg\u00e8bre ext\u00e9rieure du faisceau kotangentiel T \u2217M = \u2a06 p\u2208MT p\u2217M {displaystyle textstyle t ^ {*} m = bigsqcup _ {bro m} t_ {p} ^ {*} m} transfert. Comme dans la motivation M {displaystyle m} Une autre diversit\u00e9 orientable et lisse de Riemann. D\u00e9finir \u00e9galement Ak ( M ) {displayStyle {Mathcal {a}} ^ {k} (m)} que l’espace des coupes dans le faisceau vectoriel L k ( T \u2217 M ) {displaystyle lambda ^ {k} (t ^ {*} m)} . L’espace Ak ( M ) {displayStyle {Mathcal {a}} ^ {k} (m)} Il en va de m\u00eame de l’espace des formes diff\u00e9rentielles k {displaystyle k} -Le dipl\u00f4me sur M {displaystyle m} . Et T \u2217 M {displaystyle t ^ {*} m} est un paquet de vecteur et donc \u00e0 chaque point p \u2208 M {DisplayStyle Pin M} Un vecteurs est que l’op\u00e9rateur Hodge Star est d\u00e9fini en un point. L’op\u00e9rateur Hodge Star est un isomorphisme \u2217:Ak(M)\u2192An\u2212k(M)\u03c9\u21a6\u2217\u03c9,{displayStyle {begin {aligned} ast: {mathcal {a}} ^ {k} (m) & to {mathcal {a}} ^ {n-k} (m) \\ omega & mapsto ast omega, end {align\u00e9}}}} Alors que pour chaque point p \u2208 M {DisplayStyle Pin M}  Oh |p\u21a6 \u2217 Oh |p{displayStyle omega | _ {p} mapsto ast omega | _ {p}} est applicable. La forme diff\u00e9rentielle Oh {displayStyle Omega} , \u00e9valu\u00e9 au point p {displaystyle p} , est \u00e0 nouveau un \u00e9l\u00e9ment d’une salle vectorielle, et la d\u00e9finition ci-dessus s’applique aux salles vectorielles. Dans cette d\u00e9finition, il \u00e9tait impliqu\u00e9 que la forme \u2217 Oh {displaystyle ast omega} Encore une fois, une forme diff\u00e9rentielle fluide. Cependant, cela n’est pas clair et n\u00e9cessite des preuves. Si vous regardez l’espace euclidien \u00e0 trois dimensions R 3 {displaystyle mathbb {r} ^ {3}} En tant que diversit\u00e9 de Riemann avec la m\u00e9trique euclidienne et l’orientation habituelle, l’op\u00e9rateur Hodge-Stern peut \u00eatre utilis\u00e9 dans ces conditions. Peut \u00eatre { C’est X , C’est et , C’est Avec } {displayStyle {e_ {x}, e_ {y}, e_ {z}}} La base standard orient\u00e9e de R 3 {displaystyle mathbb {r} ^ {3}} et { d X , d et , d Avec } {displayStyle {mathrm {d} x, mathrm {d} y, mathrm {d} z}} La base double correspondante. Les \u00e9l\u00e9ments d X , d et , d Avec {displayStyle Mathrm {d} x, mathrm {d} y, mathrm {d} z} Peut alors \u00eatre compris comme des formes diff\u00e9rentielles. Pour l’op\u00e9rateur Hodge Star \u2217 {displayStyle AST} Puis appliquer \u2217dx=dy\u2227dz\u2217dy=dz\u2227dx\u2217dz=dx\u2227dy.{displayStyle {begin {aligned} ast mathrm {d} x & = mathrm {d} ywedge mathrm {d} z \\ ast mathrm {d} y & = mathrm {d} zwedge mathrm {d} x \\ ast mathrm {d} z & = mathrm {d} xwedge {d}. ignor\u00e9}}} Dans ces conditions, l’op\u00e9rateur de Hodge Star est implicitement utilis\u00e9 dans l’analyse vectorielle dans le produit transversal et l’op\u00e9rateur rotatif en d\u00e9riv\u00e9. Ceci est expliqu\u00e9 dans l’article alg\u00e8bre externe. Peut \u00eatre M {displaystyle m} Une diversit\u00e9 orient\u00e9e, lisse et Riemann, \u00eatre F d’abord , F 2 \u2208 C \u221e ( M ) {displayStyle f_ {1}, f_ {2} dans c ^ {infty} (m)} , Oh , n \u2208 Ak ( M ) {DisplayStyle Omega, nu in {Mathcal {a}} ^ {k} (m)} , et \u00eatre g ( \u22c5 , \u22c5 ) {displayStyle g (cdot, cdot)} Un Riemannche Metrik. Ensuite, l’op\u00e9rateur Hodge-Stern poss\u00e8de les propri\u00e9t\u00e9s suivantes: \u2217 ( F 1Oh + F 2n ) = F 1\u22c5 \u2217 Oh + F 2\u22c5 \u2217 n {displayStyle ast (f_ {1} omega + f_ {2} nu) = f_ {1} cdot ast omega + f_ {2} cdot ast nu} (Lin\u00e9arit\u00e9), \u2217 \u2217 Oh = ( – d’abord ) k(n\u2212k)\u22c5 Oh {displayStyle ast ast omega = (- 1) ^ {k (n-k)} cdot omega} (Bijectivit\u00e9), Oh \u2227 \u2217 n = n \u2227 \u2217 Oh = g ( Oh , n ) \u22c5 \u2217 d’abord M, {displayStyle Omega Wedge * Nu = Nu Wedge * Omega = G (Omega, Nu) CDOT AST 1_ {M},} \u2217 ( Oh \u2227 \u2217 n ) = \u2217 ( n \u2227 \u2217 Oh ) = g ( Oh , n ) , {displayStyle AST (Omega Wedge AST Nu) = AST (Nu Wedge AST Omega) = G (Omega, Nu),} g ( \u2217 Oh , \u2217 n ) = g ( Oh , n ) {displayStyle g (ast omga, ast nu) = g (omga, nu)} (Isom\u00e8tre). Peut \u00eatre M {displaystyle m} Une diversit\u00e9 lisse et orient\u00e9e Riemannsche. Ensuite, vous r\u00e9sumez d’abord \u2208 C \u221e ( M ) = A0 ( M ) {DisplayStyle 1in c ^ {infty} (m) = {mathcal {a}}} ^ {0} (m)} En tant que fonction constante, donc c’est La forme du volume de Riemann d\u00e9fini comme \u2217 d’abord {DisplayStyle * 1} . Cette forme de volume est une partie importante de l’int\u00e9gration avec des formes diff\u00e9rentielles. Cela doit \u00eatre illustr\u00e9 en utilisant un exemple simple. \u00catre pour \u00e7a DANS \u2282 R 3 {displayStyle usubset Mathbb {r} ^ {3}} un sous-ensemble compact. Le volume de u s’applique DANS O l ( DANS ) = \u222b Ud’abord  d ( X 1, X 2, X 3) {displayStyle textstyle mathrm {vol} (u) = int _ {u} 1 mathrm {d} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})} . Maintenant tu r\u00e9sumes R 3 {displaystyle mathbb {r} ^ {3}} En tant que diversit\u00e9 et DANS {displaystyle u} En tant que sous-ensemble compact qui y contenait, le volume est d\u00e9fini dans ce cas Vol \u2061 ( DANS ) : = \u222b U\u2217 d’abord = \u222b Ud X 1\u2227 d X 2\u2227 d X 3= \u222b Ud’abord d ( X 1, X 2, X 3) . {displayStyle operatorname {vol} (u): = int _ {u} * 1 = int _ {u} mathrm {d} x_ {1} wedge mathrm {d} x_ {2} wedge mathrm {d} x_ {3} = int _ {u} 1mathrm {d} (x_}}}}, x_}, x_}, x_}, X_}, 1}}} , x_ {3}).} La th\u00e9orie de l’int\u00e9gration sur la diversit\u00e9 comprend \u00e9galement l’int\u00e9gration sur les sous-quantit\u00e9s r\u00e9elles. Selon ce principe, vous pouvez \u00e9galement int\u00e9grer des fonctions sur la diversit\u00e9 en les multipliant par la forme du volume. R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: M\u00e9langes, analyse du tenseur et applications . Springs-Publis, Berlin 2003, ISBN 3-540-96790-7. S. Morita: G\u00e9om\u00e9trie des formes diff\u00e9rentielles . American Mathematical Society, ISBN 0-821-81045-6.      (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/hodge-stern-operateur-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Hodge-Stern-op\u00e9rateur – Wikipedia"}}]}]