Ljapunow Condition-Wikipedia

Le Condition de ljapunow Dans les stochastiques, il existe un critère pour une séquence de variables aléatoires. En plus de la condition plus générale de Lindeberg, il s’agit de l’une des deux conditions suffisantes classiques pour la convergence dans la distribution de l’épisode par rapport à la distribution normale standard et appartient donc à l’objet des taux de valeur des frontières centraux. Il peut également être formulé pour des schémas par des variables aléatoires et remonte au mathématicien russe Alexander Mikhailowitsch Ljapunow.

Être

${DisplayStyle (x_ {i}) _ {iin mathbb {n}}}}$

Une séquence de variables aléatoires stochastiquement indépendantes avec

${displayStyle; a_ {i}: = opératorname {e} [x_ {i}]}$

et

${DisplayStyle 0$

pour tous

${Displaystyle iin mathbb {n}}}$

.

Les variables aléatoires peuvent également avoir différentes distributions. Décrire également

after-content-x4

${displayStyle s_ {n} = sum _ {i = 1} ^ {n} opératorname {var} (x_ {i})}$

La somme des variations du

${displayStyle (x_ {i}) _ {i}}$

.

La conséquence des variables aléatoires est désormais suffisante pour la condition de ljapunow si un

${DisplayStyle Delta> 0}$

${displayStyle lim _ {nrightarrow infty} {frac {1} {s_ {n} ^ {1 + delta / 2}}} sum _ {i = 1} ^ {n} eleft [| x_ {i} -a_ {i} | ^ {2 + delta} droit] = 0}$

est applicable. ^[d’abord]

Il existe un schéma central indépendant de variables aléatoires

${DisplayStyle (x_ {n, l})}$

, dans lequel chaque variable aléatoire

${DisplayStyle x_ {n, l}}$

Peut et sont carrés dominants

${DisplayStyle s_ {n}: = sum _ {l = 1} ^ {k_ {n}} x_ {n, l}}$

Les sommes sur les seconds indices. Le schéma remplit désormais la condition de ljapunow si un

${DisplayStyle Delta> 0}$

$mm esclaves emlim – peofetome empem m halm halm h home est mahalm) malmates mbalm, kalm kmb) 22-2 2-4) m-) 2-2) m.$

est. ^[2]

La condition de Ljapunow implique toujours la condition de Lindeberg, mais la conclusion inverse ne s’applique pas. Par conséquent, il est traité plus souvent dans la littérature.

L’énoncé selon lequel la condition de Ljapunow est suffisante pour la convergence dans la distribution par rapport à la distribution normale standard est dans la littérature comme Ensemble de ljapunow ou Valeur de la frontière centrale de Ljapunow désigné. ^{[3] [4]} Il est entièrement formulé:

Un épisode est suffisant

${DisplayStyle (x_ {n}) _ {nin mathbb {n}}}$

Des variables aléatoires réelles stochastiquement indépendantes avec des deuxièmes moments finis de la condition de Ljapunow, la séquence redimensionnée des variables aléatoires centrées convertit contre la distribution normale standard:

${displaystyle lim _{nrightarrow infty }{frac {sum _{i=1}^{n}(X_{i}-operatorname {E} (X_{i}))}{sqrt {sum _{i=1}^{n}operatorname {Var} (X_{i})}}};{overset {d}{longrightarrow }};{mathcal {N}}(0,1)}$

Il a été montré en 1901 par Alexander Mikhailowitsch Ljapunow et en 1922 Jarl Waldemar Lindeberg à travers le théorème de Lindeberg, qui est utilisé à la condition Lindeberg. ^[5]

• Heinz Bauer: Théorie des probabilités. Erda Gryter, Berlin 2002, ISBN 3-11-7726-4.
• Achim Klenke: Théorie des probabilités . 3. Édition. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi: 10 1007 / 978-3-642-36018-3 .
• Norbert Kusolitsch: Théorie de la mesure et des probabilités . Une introduction. 2e édition révisée et élargie. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi: 10 1007 / 978-3-642-45387-8 .
• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastique . Théorie et applications. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi: 10.1007 / b137972 .

1. ↑ Meintrup, Schäffler: Stochastiques. 2005, S. 204.
2. ↑ Klenke: Théorie des probabilités. 2013, S. 327.
3. ↑ Eric W. Pointerstein: Condition Lyapunov . Dans: Mathworld (Anglais).
4. ↑ UN V. Prokhorov: Théorème de Lyapunov . Dans: Michiel Hazewinkel (HRSG.): Encyclopédie des mathématiques . Springer-Verlag et EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (anglais, Encyclopediaofmath.org ).
5. ↑ Kusolitsch: Théorie de la mesure et de la probabilité. 2014, S. 307.