Matrice alternative – Wikipedia

Un Matrice en alternance Est une matrice carrée en mathématiques qui est tordu et dont les principales entrées diagonales sont toutes nulles. Dans un corps avec des caractéristiques, la deuxième condition du premier suit, c’est pourquoi les matrices alternées sont souvent assimilées à des matrices symétriques tordues. Des matrices alternées sont utilisées dans l’algèbre linéaire pour caractériser les formes bilinéaires alternées. Le déterminant d’une matrice alternée de taille droite peut être spécifiée à l’aide de son déterminant Pfaffschen.

Une matrice carrée

${displaystyle ain k ^ {ntimes n}}$

Avec des entrées de n’importe quel corps

${displaystyle k}$

est appelé alternatif , si

${DisplayStyle a_ {ij} = {-a_ {ji}}}$

pour

${displayStyle i, j = 1, ldots, n}$

et

after-content-x4

${displayStyle a_ {ii} = 0}$

pour

${displayStyle i = 1, ldots, n}$

est applicable. ^[d’abord] Une matrice alternée est donc une matrice symétrique tordu, dont les principales entrées diagonales sont toutes nulles. Si les caractéristiques du corps sont inégales, la deuxième condition découle du premier, mais cela ne s’applique pas dans un corps avec des caractéristiques deux. ^[2]

Dans les exemples suivants

${displayStyle k = {mathbb {f}} _ {2}}$

Le corps fini du module de classes restantes

${Displaystyle 2}$

, par lequel

${DisplayStyle 0}$

la classe résiduelle des nombres droits, et

${Displaystyle 1}$

La classe résiduelle des chiffres étranges représente. Dans ce corps s’applique

${DisplayStyle 1 + 1 = 0}$

, donc il a les caractéristiques

${Displaystyle 2}$

. Les deux matrices alternées de taille

${displayStyle 2Times 2}$

Avec des entrées de ce corps

${displayStyle {begin {Pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0end {PMATRIX}}, {begin {PMATRIX} 0 & 1 \ 1 & 0end {PMATRIX}}}$

et les huit matrices alternées de taille

${displayStyle 3Times 3}$

sont

${displayStyle {begin {Pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0end {Pmatrix}}, {begin {PMATRIX} 0 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0end {Pmatrix}}, {Begin {Pmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 0 & 0 {}}}} {Pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0end {Pmatrix}}, {begin {Pmatrix} 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0end {PMATRIX}}, {Begin} 0 & 1 \ 0 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0end {Pmatrix}}, {begin {PMATRIX} 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0end {PMATRIX}}}$

.

Dans ce corps, les matrices symétriques tordues sont précisément les matrices symétriques qui peuvent également en avoir une sur la diagonale.

BilinearFormen [ Modifier | Modifier le texte source ]]

La forme bilinéaire

${displayStyle b_ {a} (x, y) = x ^ {t} ay}$

À une matrice alternée

${displaystyle ain k ^ {ntimes n}}$

est alterné, c’est-à-dire,

${displayStyle b_ {a} (x, x) = 0}$

pour tous

${Displaystyle s’il vous plaît k ^ {n}}$

. Inversement, dans une salle vectorielle enfin dimensionnelle

${DisplayStyle V}$

La matrice de présentation

${displayStyle a_ {b} = (b (b_ {i}, b_ {j}))}$

une forme bilinéaire alternée

${displaystyle bcolon vTimes vto k}$

En ce qui concerne n’importe quelle base

${displayStyle {b_ {1}, ldots, b_ {n}}}$

Toujours une matrice alternée. ^[3]

Rôti [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Le grade

${displaystyle r}$

une matrice alternée

${displaystyle ain k ^ {ntimes n}}$

est toujours droit. Il y a aussi une matrice régulière

${DisplayStyle Pin K ^ {ntimes n}}$

, donc qu’après transformation congruente

${displayStyle p ^ {t} ap = {begin {Pmatrix} 0 & i & 0 \ -i & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0end {Pmatrix}} dans k ^ {ntimes n}}$

s’applique, bien que

${displayStyle i}$

La matrice unitaire de la taille

${displayStyle {tfrac {r} {2}} fois {tfrac {r} {2}}}$

est. ^[3] Une représentation normale alternative est

${displayStyle p ^ {t} ap = {begin {pmatrix} t & 0 & 0 & 0 \ 0 & ddots & 0 & 0 \ 0 & 0 & t & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0end {Pmatrix}} dans k ^ {ntimes n}}$

précisément

${displayStyle {tfrac {r} {2}}}$

Blocs de forme

${displayStyle t = {tbinom {~, 0 ~~ 1} {- 1 ~~ 0}}}$

. ^[3]

Déterminant [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Est

${displaystyle n}$

droit, puis le déterminant d’une matrice alternée peut

${displaystyle ain k ^ {ntimes n}}$

Avec l’aide du déterminant Pfaffschen

${displayStyle operatorname {pf} (a)}$

à travers

${displayStyle det a = opératorname {pf} (a) ^ {2}}$

être spécifié. ^[4] Est

${displaystyle n}$

Bizarre, alors s’applique toujours

${displayStyle det a = 0}$

.

Pour d’autres propriétés des matrices alternées, voir les propriétés de matrice symétrique tordu.

1. ↑ Erich Lamprecht: Algèbre linéaire 2 . Springer, 2013, S. 77 .
2. ↑ Günter Scheja, Uwe Storch: Manuel de l’algèbre: y compris l’algèbre linéaire . 2e volume. Vieweg, 1988, S. 365 .
3. ↑ ^{un b c} Leslie Hogben (éd.): Manuel d’algèbre linéaire . CRC Press, 2006, S. 12-5 .
4. ↑ Günter Scheja, Uwe Storch: Manuel de l’algèbre: y compris l’algèbre linéaire . Groupe 2 . Vieweg, 1988, S. 391 .