Monte-carlo-simulation – Wikipedia

Le nombre de cercle Pi est approximé en utilisant la méthode Monte Carlo par le quadruple de la probabilité avec laquelle un point qui est choisi au hasard dans le carré tombe dans la section du district. En raison de la loi de grands nombres, la variance du résultat baisse avec un nombre croissant d’expériences.

Monte-carlo-simulation (aussi Mc-simulation ou Monte-carlo-stodie ) est une procédure de la théorie des stochastes ou des probabilités, dans laquelle les échantillons aléatoires d’une distribution sont répétés à l’aide d’expériences aléatoires. ^[d’abord]

L’objectif est de résoudre numériquement pas analytiquement pas ou seulement des problèmes élaborés et résolubles en utilisant les échantillons dessinés. Surtout, la loi de grands nombres peut être considérée comme la base. Les expériences aléatoires peuvent être effectuées par exemple réel par dés – dans les calculs d’ordinateurs à l’aide d’algorithmes de Monte Carlo. Dans le cas des algorithmes de Monte Carlo, des nombres aléatoires ou des nombres de pseudo-allocation sont utilisés pour simuler des événements aléatoires.

Les pionniers de la méthode Monte Carlo dans les années 40 comprennent Stanislaw Ulam, Nicholas Metropolis et John von Neumann. La publication de base est une œuvre de Metropolis, Edward Teller, Augusta H. Teller, Marshall Rosenbluth et Arianna W. Rosenbluth de 1953.

Le problème de l’aiguille présenté par Georges-Louis Leclerc de Buffon devant l’Académie parisienne des sciences ^[2] , qui permet l’approximation du numéro du district PI avec l’aide du hasard, l’une des premières applications d’une simulation Monte Carlo. (→ Détermination probabiliste du nombre pi)

Enrico Fermi avait ses propres idées pour les simulations de Monte Carlo à l’aide de machines de calcul électroniques dans les années 1930. Ceux-ci ont été effectués par Stanislaw Ulam en 1946 et John von Neumann, qu’il a donc contacté. ^[3] Au moment de la Seconde Guerre mondiale, cela s’est produit pendant les travaux sur un projet secret au Los Alamos Scientific Laboratory, pour lequel un nom de code était nécessaire. Dans le cadre du développement de la première bombe atomique, il s’agissait de perfusion de neutrons dans les matières nucléaires. ^[4] La méthode mathématique de simulation devait également être gardée secrète. Le nom Monte-Carlo a été façonné par Nicholas Metropolis et est lié à la méthode comme suit: Stan Ulam avait un oncle qui avait toujours emprunté de l’argent à des parents pour jouer, car “il devait aller à Monte Carlo”. ^[5] Bien sûr, il s’agit d’une allusion au casino de Monte-Carlo dans le district du même nom de l’État de la ville Monaco. ^{[6] [7] [8]}

La publication fondamentale est une œuvre de Nicholas Metropolis, Marshall N. Rosenbluth et son épouse Arianna W. Rosenbluth, Edward Teller et son épouse Augusta H. Teller, publié en 1953 dans le Journal of Chemical Physics. ^[9] L’objectif était de calculer l’équation de condition d’un système à deux dimensions de boules rigides comme modèles d’un liquide. Il a été simulé avec 224 particules et conditions aux limites périodiques. Chaque simulation consistait en jusqu’à 48 cycles, dans lesquels chaque particule effectuait une étape de mouvement. Un cycle a besoin de trois minutes sur l’ordinateur Maniac I du Los Alamos National Laboratory. Une méthode d’échantillonnage avec pondération sur le facteur de Boltzmann, le cœur du processus MC dans l’algorithme Metropolis a été utilisé, par lequel l’idée serait venue à Marshall Rosenbluth von Teller. ^{[dix] [11]} Après Rosenbluth, lui et sa femme ont fait le principal travail pour l’article (Metropolis aurait principalement rendu le temps informatique disponible) et ils étaient les seuls des auteurs qui ont poursuivi la procédure dans les publications suivantes, ^{[douzième] [13]} Cependant, ils se sont rapidement tournés vers d’autres sujets de recherche (plasmaphysique).

Le système est mathématiquement un chemin à parts de probabilité dans la zone de phase (espace d’état général). Les simulations de Monte Carlo sont particulièrement adaptées aux valeurs moyennes statistiques d’une taille

,

${displayStyle LeftLangle {Mathcal {a}} Rightrangle = sum _ {xin omega} p (x), {mathcal {a}} (x),}$

ou intégrales à haute dimension ( Monte-carlo-intégration ) Comment

${displayStyle int _ {xin omega} !! p (x), {mathcal {a}} (x); mathrm {d} ^ {n} x}$

calculer.

Dans ce contexte, un poids statistique normalisé (comme un poids de Boltzmann) devrait l’être.

Est la valeur de la taille

à la condition

. La sommation ou l’intégration passe sur une pièce ici

, c’est-à-dire l’espace de phase des particules du système.

Souvent, la chambre est

Si grand que le résumé ne peut pas être effectué complètement. Au lieu de cela, vous créez maintenant une chaîne Markow

Des États dans

dont la fréquence comme le poids donné

est distribué. Zones de la pièce

Avec un poids élevé, il devrait être plus courant dans la chaîne Markow que les zones à faible poids. On parle ici d’échantillonnage d’importance. Si cela réussit, les valeurs d’attente peuvent simplement être utilisées comme moyen arithmétique de taille

Calculez à ces conditions de la chaîne Markow, c’est-à-dire comme

${displayStyle LeftLangle {Mathcal {a}} Rightrangle approx {frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} {mathcal {a}} (x_ {i}).}.$

Cette connexion est basée sur la loi de grands nombres. Selon le système physique, il peut être difficile de créer cette chaîne Markow. En particulier, il faut s’assurer que la chaîne Markow fait réellement toute la pièce

Couvert et pas seulement à scanner une partie de la pièce. On dit: l’algorithme doit ergodique être.

Les simulations quasi-monte-carlo n’utilisent pas de nombres de pseudo-numéro, mais une séquence avec une faible divergence (par exemple une séquence SOBOL).

Avec la méthode Monte Carlo, les problèmes de comportement statistique peuvent être simulés. Cette méthode a donc trouvé des applications importantes, en particulier en physique.

Les superordinateurs d’aujourd’hui (HPC) sont basés sur un multiprocessement solide avec plusieurs milliers de processeurs individuels qui travaillent en parallèle. Ces circonstances peuvent être particulièrement bien utilisées avec de telles procédures de solution probabiliste. ^[14]

Les applications de la simulation Monte Carlo sont, par exemple, celles suivantes.

Calcul de l’intégrale [ Modifier | Modifier le texte source ]]

• Détermination des intégrales (supérieures à dimension), voir l’exemple

Rééchantillonnage [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Examen des propriétés de distribution des variables aléatoires des types de distribution inconnus,

Réplique de processus complexes [ Modifier | Modifier le texte source ]]

• Processus de production dans une entreprise manufacturière pour découvrir des goulots d’étranglement et des opportunités de production
• Modèle climatique
• Processus de reconstruction en médecine nucléaire.
• Aggrégation des risques pour déterminer le risque global d’une entreprise en gestion des risques ^[15]
• Dérivation des revues dans l’évaluation, par ex. B. Dans l’industrie de l’évaluation ou de l’immobilier de l’entreprise ^{[16] [17]} . Princeance de contrats financiers complexes tels que les options “exotiques”, dans lesquelles aucune formule analytique n’est connue pour évaluer un produit financier.
• Distribution spatiale du flux de neutrons dépendants de l’énergie dans un milieu hétérogène, par exemple dans le blanc d’un réacteur de fusion nucléaire.
• Les superordinateurs et les méthodes MC sont U. Pour la simulation des armes nucléaires vieillissantes (voir aussi Groundhip de stockage ) utilisé aux États-Unis. ^{[18] [19] [20] [21]}
• Simuler des chemins d’une seule goutte de pluie qui entre en collision les autres gouttes distribuées au hasard. Selon la simulation de plusieurs gouttes en béton, des déclarations sur la taille moyenne de la chute sont possibles ou à la température et à la densité d’égouttement, dans laquelle la neige ou la grêle est créée.
• Distribution des balles sur les compartiments du tableau Galton.

Illustration sur la détermination de Monte Carlo de Pi.

Détermination probabiliste du nombre pi [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Vous choisissez des points aléatoires

à partir de et chèques (en utilisant la phrase de Pythagore) s’ils se trouvent dans le circuit unitaire:

${displayStyle x ^ {2} + y ^ {2} leq 1}$

.

Le rapport du nombre de points à l’intérieur et à l’extérieur du cercle peut alors être utilisé comme suit

être déterminé:

${DisplayStyle {frac {text {kreisfl}} mathrm {ddot {a}} {text {che}} {text {quadratfl}} mathrm {ddot {a}} {text {che}}} {2} cdot pi} dot r) ^} = {frac {text {frappe dans kreisfl}} mathrm {ddot {a}} {text {che}}} {points générés dans le quadrat}}$

Intégration numérique [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Intégration numérique avec Monte Carlo: les sites de support sont choisis également sur l’intervalle d’intégration. Les nouveaux sites de support sont le bleu foncé, l’ancien bleu clair. La valeur de l’intégrale approche 3,32.

L’exemple ci-dessus pour déterminer PI est pratiquement l’intégrale de surface d’une zone de circuit quart. En conséquence, l’intégrale de surface des fonctions dimensionnelles générales, également plus élevées, peut être calculée à l’aide de cette méthode. Devrait l’intégrale

${displayStyle s (f) = int _ {0} ^ {1} f (x), dx}$

une fonction

être calculé,
Alors tu choisis

Indépendant dans l’intervalle

Points distribués

et approximé

à travers

${displayStyle s_ {m} (f) = {frac {1} {m}} sum _ {i = 1} ^ {m} f (x_ {i}).}$

Dans le cas général des fonctions de dimension supérieure, la procédure est similaire. Peut être

n’importe quel

– quantité dimensionnelle et

une fonction intégrable. À la valeur

${displayStyle s (f) = int _ {k} f (x), dx}$

Pour calculer approximativement, vous choisissez accidentellement dans la foule

Points distribués

pour

. Puis approximé

${displayStyle s_ {m} (f) = {frac {mathrm {vol} (k)} {m}} sum _ {i = 1} ^ {m} f (x_ {i})}$

la valeur

en dépendance de

Exactement. Pour calculer Pi comme présenté ci-dessus, vous devez

et

Choisissez comme fonction caractéristique du circuit unitaire. Voici

En particulier la zone du circuit unitaire.

En pratique, les procédures de Monte Carlo sont utilisées principalement pour le calcul des intégrales de haute dimension.
Ici, les algorithmes d’intégration classiques sont gravement affectés par la malédiction de la dimensionnalité et ne sont plus applicables.
Cependant, les intégrantes à haute dimension sont généralement fortement localisées ^[22] .
Dans ces cas, les procédures MCMC en particulier permettent la génération d’échantillons avec une distribution au calcul efficace de ces intégrales de haute dimension.

Miller-Rabin-Primmahn [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Un exemple de simulation de Monte Carlo est le test de Miller-Rabin, dans lequel détermine de manière probabiliste si un nombre naturel est premier ou non. La sortie du test est soit “en toute sécurité”, soit “probablement prim”. La probabilité qu’un numéro composite soit classé comme “probablement prim” est inférieur à 25% par tour et peut être réduit par une exécution multiple. Le test Miller Rabin ne fournit aucune déclaration sur les facteurs d’un nombre composite, il ne s’agit donc pas d’une procédure de factorisation.

• MCNP , le Code de transport de particule en N Monte-Carlo , est un programme réactorphysique prototypique et mondial, qui est utilisé très souvent, également dans la technologie nucléaire et la technologie de fusion nucléaire. ^[23] La version actuelle est MCNP6.2. Sur le site MCNP ^[24] Les manuels et les notes de publication sont-ils trouvés sous forme de documents Internet, par exemple le volume I du manuel MCNP Aperçu et théorie . ^[25]

• Pythie est un programme de simulation pour la physique des particules et simule les collisions et les particules résultantes.

• PIMENTER est un programme de simulation pour les circuits électroniques analogiques, numériques et mixtes. Avec la simulation Monte Carlo, il est possible de calculer les effets de la propagation des composants dans la tolérance spécifiée.

• Binder Kurt: Méthodes de Monte Carlo en physique statistique. Springer, Berlin [u. a.] 1979, ISBN 3-540-09018-5.
• Binder Kurt: Applications de la méthode Monte Carlo en physique statistique. Springer, Berlin 1984, ISBN 3-540-12764-X.
• Paul Glasserman: Méthodes de Monte Carlo en génie financière. Springer, Berlin 2003, ISBN 978-1-4419-1822-2.
• David P. Landau, Kurt Binder: Un guide des simulations de Monte Carlo en physique statistique. Cambridge University Press, Cambridge, 2014, ISBN 978-1107074026

1. ↑ C. West Churchman, Russel L. Ackoff, E. Leonard Arnoff: Recherche opérationnelle: une introduction à la recherche d’entreprise . Walter the Gruryter GmbH & Co KG, 2015, ISBN 978-3-486-81922-9-9-9-9-9-9, S. 167 ( Google.com [Consulté le 19 septembre 2021]).
2. ↑ Isaac Todhunter: Histoire de la théorie mathématique de la probabilité , 1865, S. 203
3. ↑ Christophe Andrieu, Nando de Freitas, Arnaud Doucet, Michael I. Jordan: Une introduction à MCMC pour l’apprentissage automatique (PDF, 1,0 Mo), dans: Machine Learning 2003 , Vol. 50, bande 1–2, S. 5–43.
4. ↑ Notes de cours en fiabilité structurelle – Groupe d’analyse des risques d’ingénierie; Université technique de Munich
5. ↑ N Metropolis: Début de la méthode Monte Carlo . HRSG.: Numéro spécial de Los Alamos Science. 1987, S. 125–130 ( fas.org [PDF]).
6. ↑ Douglas Hubbard: Comment mesurer quoi que ce soit: trouver la valeur des actifs incorporels dans les affaires. John Wiley & Sons, 2007, S. 46.
7. ↑ Charles Grinstead, J. Laurie Snell: Introduction à la probabilité. American Mathematical Society, 1997, S. 10-11.
8. ↑ H. L. Anderson: Métropole, Monte Carlo et le maniaque . (PDF, 829 kb) Los Alamos Science, NR. 14, 1986, S. 96–108, 1986.
9. ↑ N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, E. Teller: Équation des calculs d’état par machines en calcul rapide. Dans: Le Journal of Chemical Physics. Volume 21, numéro 6, Juni 1953, S. 1087–1092, doi: 10.1063 / 1,1699114 .
10. ↑ M. Rosenbluth: Genèse de l’algorithme de Monte Carlo pour la mécanique statistique , Actes de conférence AIP, Volume 690, 2003, pp. 22-30, Conférence sur la LANL à l’occasion du 50e anniversaire de la publication des travaux à partir de 1953
11. ↑ J. E. Pilote: “Marshall Rosenbluth et l’algorithme de métropole , Physique des plasmas, bande 12, 2005, S. 057303.
12. ↑ M. Rosenbluth, A. Rosenbluth: Résultats supplémentaires sur les équations d’État de Monte Carlo , The Journal of Chemical Physics, bande 22, 1954, S. 881–884
13. ↑ M. Rosenbluth, A. Rosenbluth: Calcul de Monte Carlo de l’extension moyenne des chaînes moléculaires , The Journal of Chemical Physics, bande 23, 1955, S. 356–359
14. ↑ Prof. A. Bachem in Interview, C’t 12/2010, S. 18: De cette façon, les procédures de solution probabiliste peuvent généralement être parallélisées beaucoup mieux que le déterministe habituel.
15. ↑ Gleißner; W.: Analyse des risques, quantification des risques et agrégation des risques, dans: WIST, 9/2017, pp. 4-11
16. ↑ S. Jayraman: Un examen des méthodes de Monte Carlo dans l’immobilier. 2. Mai 2013, consulté le 20 mai 2017 (Anglais et sources dedans).
17. ↑ Klaus Bernhard Gablenz: Monte Carlo aide aux incertitudes. Dans: Journal immobilier . Edition 29, 26 juillet 2007, S. 6 ( svgablenz.de [PDF]).
18. ↑ MERCURE. Récupéré le 13 août 2019 .
19. ↑ 10 juillet 2014: Trinity Supercomputer pour soutenir les simulations de stocks nucléaires -. Récupéré le 13 août 2019 (Anglais).
20. ↑ Nicole Hemsoth: La NNSA Stockpile de superordinateurs de sécurité nucléaire continue l’évolution. 16 juillet 2015, Récupéré le 13 août 2019 (Anglais américain).
21. ↑ Programme d’intendance de stock. Récupéré le 13 août 2019 .
22. ↑ David Mackay: Algorithmes de théorie de l’information, d’inférence et d’apprentissage . Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-64298-9, Chapitre 4.4 Typicality & Chapter 29.1 ( Cam.ac.uk ).
23. ↑ Dans la base de données bibliographique WorldCat, plus de 10 000 travaux sont dédiés au programme MCNP lui-même ou applications du programme.
24. ↑ Un code de transport général de Monte Carlo N-particule (MCNP): groupe de méthodes, codes et applications de Monte Carlo. Consulté le 19 juin 2018 .
25. ↑ Équipe X-5 Monte Carlo: MCNP – Un code de transport général de Monte Carlo N-particules, version 5: Volume I: Présentation et théorie. Consulté le 19 juin 2018 .