Nyquist-Shannon-Alsest Théorème-Wikipedia

Le Théorème de Nyquist-Shannon-Alsest , aussi Nyquist Shannonsches Théorème rapide Et dans la littérature récente aussi Théorème de réduction wks (pour Whittaker, Kotelnikow et Shannon), est un théorème fondamental de la technologie des messages, du traitement du signal et de la théorie de l’information. Wladimir Kotelnikow a formulé le théorème d’échantillonnage de 1933. La publication dans un rapport de conférence soviétique a été référencée dans l’Est depuis les années 1950, mais est restée largement inconnue en Occident jusqu’aux années 1980. Indépendamment de Kotelnikow, Claude Elwood Shannon l’a formulée en 1948 comme point de départ pour sa théorie de la capacité maximale du canal, i. H. Le taux binaire maximal dans un canal de transmission noble limité en fréquence. ^[d’abord]

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Le théorème d’échantillonnage dit celui-là

${displayStyle f_ {text {max}}}$

Signal de la bande ^[2] peut être reconstruit exactement à partir d’une séquence d’équidistants s’il peut être reconstruit avec une fréquence de plus grande que

${displayStyle 2cdot f_ {texte {max}}}$

a été scanné.

Claude Shannon était basée sur les considérations d’Harry Nyquist pour le transfert de séquences finies de nombres en utilisant un polynome trigonométrique et sur le Théorie des fonctions cardinales par Edmund Taylor Whittaker (1915) et son fils John Macnaghten Whittaker (1928). ^[3] Karl Küpfmüller a obtenu des résultats similaires comme Nyquist en 1928. ^[4]

Seuls les chercheurs de la Fondation Eduard Rhein ont sans aucun doute prouvé la priorité (1933) par Wladimir Alexandrowitsch Kotelnikow. Pour cela, il a obtenu le prix Eduard Rhin en 1999.

Indépendamment de Kotelnikow, Herbert P. Raabe a formulé le théorème d’échantillonnage de 1939. ^[5]

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Un exemple d’augmentation de la fréquence du signal sur la moitié de la fréquence d’échelle. La fréquence d’échantillonnage est la même dans toutes les sous-illustrations. Cependant, la plus grande fréquence contenue dans le signal augmente vers le bas. Les lignes en pointillés sont des signaux possibles qui auraient les mêmes points de mesure lors du scanner.

Le théorème d’échantillonnage formulé par Shannon dit qu’une fonction qui n’a pas de fréquences supérieures à

${Style de texte d’affichage f_ {texte {max}}}$

contient, par n’importe quelle ligne de valeurs fonctionnelles à distance

${displayStyle tau <{tfrac {1} {2f_ {text {max}}}}}$

est clairement déterminé. Une condition suffisante pour cela est l’intégrité carrée de la fonction.

Le cours fonctionnel peut ensuite être reconstruit par chaque valeur de balayage

${DisplayStyle {hat {x}} (ktau)}$

Avec une fonction sinc

$gens$

remplacé par la même amplitude puis sur k est additionné.

Dans le traitement du signal, cela correspond au balayage avec un taux d’échantillonnage

${DisplayStyle f_ {text {absast}> 2, f_ {text {max}}}$

${displayStyle f_ {text {max}}}$

filtré.

Avec des signaux de bande non-base, c’est-à-dire H. ceux qui ont une fréquence minimale F _min Plus de 0 Hz, le théorème de la croûte s’applique sous une forme similaire, car par un choix approprié de la fréquence d’échantillonnage, le signal de passe de bande apparaît dans la bande de base après le balayage. La fréquence d’échantillonnage ne doit alors être plus grande que la double bande passante (voir aussi Sous-traitance ). Avec la reconstruction, une passe de bande idéale est utilisée ici au lieu d’un laissez-passer bas idéal.

Ce qui suit s’applique lors de la sous-traitance d’un signal de passe de bande:

${DisplayStyle f_ {mathrm {absstast}> 2, (, f_ {mathrm {max}} -f_ {mathrm {min})}$

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Voir [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Comme décrit dans la numérisation de l’article (traitement du signal), vous pouvez palper un signal

Par multiplication avec une crête Dirac

Modèle, ce qui signifie que le signal échantillonné est

reçoit. Après l’inversion du théorème de pliage, cela se traduit par le Fourier transformé du signal arrêté:

${displayStyle {mathcal {ft}} (s_ {a}) (omega) = Left ({mathcal {ft}} (s) * {mathcal {ft}} (k) droit) (oméga),}$

par lequel

Périodiquement avec la période

est et

La distance entre 2 temps de balayage est. Maintenant tomber en dessous de la fréquence d’échantillonnage

La fréquence

(pour les signaux de bande de base), les composants de fréquence inférieure et supérieure sont superposés dans la salle de fréquence et ne peuvent plus être séparés. ^[6]

Cependant, la durée d’une impulsion d’échantillonnage technique n’est pas aussi courte. Par conséquent, dans la pratique, le spectre de fréquence d’une séquence d’impulsions rectangulaires est disponible à la place d’une séquence directe. (La bosse directe est clairement une fonction qui n’est infiniment grande en un seul endroit (t = 0) et disparaît dans tous les autres endroits. Une définition mathématiquement propre a lieu dans le cadre des distributions.)

Signal de la bande [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Un signal limité dans la bande passante X Avec une fréquence maximale F : = F _max est une fonction pour laquelle le Fourier a transformé

existait et ce Fourier s’est transformé en dehors de l’intervalle

Est zéro. Inversement, le signal limité de la bande peut être montré par la transformation inverse de Fourier de la densité de fréquence:

${displayStyle x (t) = {frac {1} {sqrt {2pi}}} int _ {- 2pi f} ^ {2pi f} x (oméga) e ^ {mathrm {i} omega, t}, domega}$

.

“Bon”, fonctions admissibles pour la densité de fréquence X sont, par exemple, des fonctions régulières pour lesquelles les deux valeurs limites à un seul facteur existent dans chaque point. Les fonctions de l’espace fonctionnel sont plus générales

permis.

Est X régime Alors s’applique

. Devient X montré dans les coordonnées polaires,

, donc nous obtenons X au moyen d’une partie intégrante des véritables intégrands,

${displayStyle x (t) = {sqrt {frac {2} {pi}}} int _ {0} ^ {2pi f} | x (oméga) |, cos (oméga, t + phi (omega)), dmega}$

.

Dans la représentation cartésienne

Résultats de manière analogue

${displayStyle x (t) = {sqrt {frac {2} {pi}}} int _ {0} ^ {2pi f} Left (a (oméga), cos (oméga, t) -b (omega), sin (oméga, t) à droite), domega}$

.

Palper avec la double fréquence [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Palper avec la double fréquence signifie que les valeurs de fonction sont prises à intervalles, avec une distance simple

est, c’est-à-dire une maison X La séquence numérique

construit. Après la présentation de Fourier, ces valeurs résultent de la densité de fréquence

${displayStyle x (kdelta t) = {frac {1} {sqrt {2pi}}} int _ {- 2pi f} ^ {2pi f} x (omega) e ^ {mathrm {i} {frac {komega} {2f}}}, domega}$

.

Cependant, ce sont précisément les coefficients du développement de la série Fourier

${affichestyle x (omega) = {frac {1} {{sqrt {2pi}}, 2f}} sum _ {k = -infty} ^ {infty} x (kdelta t) e ^ {- mathrm {i} {frac {komega} {2f}.}.}.$

Ainsi, la densité de fréquence et donc le signal sont déjà complètement déterminées par les valeurs de la séquence de séquence.

Reconstruire sans perte d’informations [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Reconstruire sans perte d’informations signifie que l’interpolation de Lagrange, étendue au cas avec un nombre infini de sites de support régulièrement disposés, entraîne à nouveau le signal de sortie

${DisplayStytle x (t) y (t) “_ {k = -inftyty}} xprod _ {jin mathbb {z},; tourname {sinc} (t / de t-k)}}.$

.

Notez que vous pouvez travailler avec ces formules en mathématiques parfaitement, mais ils ne peuvent pas être réalisés dans des systèmes de numérisation réels. Pour déterminer chaque valeur de signal, une sommation via une zone infinie serait nécessaire. De plus, un nombre infini de barres devraient être attendues avant que la sommation ne puisse être terminée. Parce que cela n’est pas possible, dans la pratique, des erreurs inévitables surviennent.

La fonction

, le Cardinal Bay (SINC), est le noyau d’interpolation idéal pour les sites de support entier; C’est sinc (0) = 1 et sinc ( n ) = 0 pour chaque entier supplémentaire n . Selon la notation de Whittakers, la série Interpolating est également connue sous le nom de série Cardinal et le pré-Pilote cardinal sur le rôle exceptionnel comme “la plus faible des fluctuations” parmi toutes les rangées de fonctions interpoantes. La fonction SINC, à l’exception d’un facteur, a la fonction rectangulaire

En tant que Fourier transformé, cela a la valeur 1 sur l’intervalle

Sinon, la valeur zéro. Il est donc limité par la bande avec la fréquence la plus élevée 1/2 .

Le développement en tant que série cardinale est désormais très naturel en utilisant la série de densité de fréquence de Fourier dans la transformation inverse de Fourier,

${displayStyle x (t) = {frac {1} {4pi f}}, sum _ {k = -infty} ^ {infty} x (kdelta t) int _ {- 2pi f} ^ {2pi f} e ^ {- mathrm {i} {Frac {Komega {2f}. Omega = sum _ {k = -infty} ^ {infty} x (kdelta t) opératorname {sinc} (2ft-k).}$

Signal dans la bande passante [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Un véritable signal dans la position de passage de la bande, afin de permettre le balayage à travers des valeurs fonctionnelles, ne doit être qu’une pour les fréquences de l’intervalle

se transformer de Fourier non disapparant. Alors F La plage à un seul facteur. Cela peut être généralisé sur les bandes de fréquence, mais le scan ne doit pas être défini par les valeurs fonctionnelles, mais par les produits scalaires. Un exemple de ceci est la procédure de multiplex de fréquence, voir aussi OFDM.

Remarque: Pas de signal fini, c’est-à-dire Autrement dit, aucune fonction avec un transporteur fini ne remplit les conditions préalables à une fonction limité de la bande. De même, il n’y a pas de signaux périodiques, tels que des vibrations de sinus purs, dans le domaine de ce théorème; Les signaux non plus avec inconfort (rois ou sauts dans le parcours). Il doit donc être considéré comme une déclaration idéale dans une situation idéale. Les idéaux sont des vibrations modulées, telles que des enregistrements de musique ou vocaux, qui doivent être numérisés pour un traitement ultérieur. À d’autres fins pratiques, par ex. B. Le traitement d’image numérique, les variantes du théorème de balayage doivent être trouvées avec des exigences pas aussi solides, pour lesquelles ce théorème est alors une ligne directrice. ^[7]

Pour les bases mathématiques, voir: Lebesgue Integral, Lebesgue Room, Fourier Transformation.

En élargissant la dépendance temporelle, chaque signal limité de la bande peut x (t) Sur la gamme de fréquences [-½; ½] , ou. [-Pi; Pi] comme gamme de fréquences circulaires. La densité de fréquence g (f) Une fonction de variation limitée doit être, comme il s’agit, par exemple, de fonctions stables. Alors x (t) Une fonction stable, aussi souvent différenciée, absolument et carrée,

, et a un Fourier transformé

avec un transporteur

.

La valeur de la fonction x (t) À tout moment t Dans ces conditions, cela est uniquement dû aux valeurs fonctionnelles x (n) À tous les points entiers t = n déterminé, il s’applique:

${displayStyle x (t) = sum _ {n = -infty} ^ {infty} x (n) cdot {frac {sin (pi (t-n))} {pi (t-n)}} = {frac {sin (pi t)} {pi}} sum _ {n = -infty} ^ {infty} } x (n)} {t-n}}}$

.

Cette équation contient deux instructions non triviales: 1) la série infinie converge, et 2) la limite est toujours identique à la valeur fonctionnelle x (t) .

Si la fréquence d’échantillonnage est choisie trop petite, le signal numérisé se produit. Ces distorsions non linéaires sont également connues sous le terme effet d’alias. En images, il peut y avoir une teinte décalée ou de nouvelles structures qui ne sont pas incluses dans l’original.

La limite inférieure de la fréquence d’échantillonnage pour un signal analogique de la bande passante

${DisplayStyle f_ {mathrm {Abast}} = 2, cdot, f_ {mathrm {0}}}$

Vous appelez également le taux de Nyquist. La fréquence la plus élevée à transmettre doit donc être inférieure à la moitié de la fréquence d’échantillonnage, sinon des erreurs d’aliasing surviennent. Pour cette raison, des fréquences plus élevées du signal analogique sont filtrées avec une passe faible. Les erreurs d’alias sont des signaux d’alias (signaux d’interférence, pseudo signaux), qui sont perceptibles en reconstruction en tant que partages de fréquence dérangeants. Si, par exemple, si un signal de sinus qui a une fréquence de 1600 Hz est numérisé avec une fréquence d’échantillonnage de 2000 Hz, vous obtenez un signal d’alias de 400 Hz (2000–1600 Hz). En revanche, il n’y a pas de signal d’alias avec une fréquence d’échantillonnage de plus de 3200 Hz. Une fréquence d’échantillonnage de 3300 Hz conduit à un signal différentiel de 1700 Hz (3300–1600 Hz). Cependant, cela est supérieur à la moitié du taux d’échantillonnage et est donc supprimé par une passe faible lors de la reconstruction.

En pratique, il n’y a pas de passe bas idéal. Il a toujours une certaine zone de transition entre pratiquement pas d’amortissement dans la zone de passage et l’amortissement pratiquement complet dans la zone de blocage. Par conséquent, une formule modifiée est utilisée dans la pratique pour déterminer la fréquence de balayage:

Exemple:

${displayStyle f_ {mathrm {abtast}} environ 2 {,} 2cdot f_ {mathrm {max}}}$

Un signal est enregistré sur un CD, qui est généré par la numérisation d’un signal audio analogique avec des fréquences allant jusqu’à 20 kHz. La fréquence avec laquelle le signal audio analogique est scanné est de 44,1 kHz.

Le facteur utilisé dépend du filtre passe-bas utilisé et de l’amortissement nécessaire des signaux d’alias. Les autres facteurs communs sont 2,4 (DAT, DVD) et 2,56 (analyseurs FFT)

Si vous choisissez une fréquence d’échantillonnage plus élevée, vous ne recevez aucune information supplémentaire. Cependant, l’effort de traitement, de stockage et de transmission augmente. Néanmoins, les aperçus sont (anglais suréchantillonnage ) appliqué dans la pratique. Si la largeur de bande utilisable B est très proche de la moitié de la fréquence d’échantillonnage, des exigences élevées sont placées sur le flanquant du filtre passe-bas. Avec une fréquence de balayage plus élevée, un amortissement suffisamment élevé dans la zone de barrière d’un système de passe-bas est plus facile qu’avec un filtre à haute qualité. La limitation de la bande peut ensuite être déplacée vers un filtre numérique de haut niveau. En pratique, un facteur de surbringeon est souvent M = 2 ou M = 4 choisis. Vous avez donc besoin de filtres analogiques moins raides avant la numérisation. Après le premier balayage, un filtre numérique est ensuite utilisé avant la réduction de décharge suivante, ce qui a par la suite réduit la fréquence d’échantillonnage. Ce filtre numérique est également utilisé comme Filtre à décimal désigné. Par exemple, il peut être réalisé sous la forme d’un filtre de peigne d’intégrateur en cascade.

Mathématiquement, un filtre passe-passe idéal a une fonction rectangulaire en tant que fonction de transmission.
Cette fonction de transmission fonctionne parfaitement dans la salle de fréquence et le signal filtré peut être parfaitement reconstruit à partir des points de balayage. Cependant, un filtre passe-bas idéal ne peut pas être mis en œuvre de manière pratique car il n’est pas causal et infiniment long.

C’est pourquoi des filtres passe-bas analogiques sont utilisés, qui ont une fonction de transmission trapézoïdale stable et leurs flancs avec une pente finie continue. Ces filtres peuvent être réalisés, par exemple, sous forme de filtres Butterworth. Après la palpation, le lissage numérique et le bas se déroulent sur la gamme utilisable. Le flanquant a un impact sur la qualité du signal reconstruit.

La condition F _{échantillonnage} > 2 · F _max D’après le théorème d’échantillonnage est une représentation simplifiée, qui est très courante et utile. À proprement parler, au lieu de F _max La bande passante, définie par la zone entre la zone la plus basse et la plus élevée du signal, est définie. La bande passante est uniquement en signaux de bande de base F _max Les signaux de bande de base identiques sont des signaux avec des pièces à faible fréquence près de 0 Hz.

Cette constatation a conduit à un concept appelé le passeport de bande (ou Échantillonnage sous-nyquiste ), qui est utilisé, par exemple, dans la technologie radio numérique. Supposons que vous souhaitiez recevoir toutes les stations de radio qui envoient entre 88 et 108 MHz. Si vous interprétez le théorème de la croûte comme décrit précédemment, la fréquence d’échantillonnage devrait dépasser 216 MHz. En fait, seule une fréquence d’échantillonnage d’un peu plus de 40 MHz nécessite la technique de sous-échantillonnage. La condition préalable à cela est que toutes les fréquences en dehors de la fréquence varient de 88 à 108 MHz sont retirées du signal du signal en utilisant le signal. Le balayage a lieu, par exemple, à 44 MHz, sans la zone pertinente mise en œuvre par un mélangeur analogique – le résultat est presque un signal d’alias et correspond au signal qui entraînerait la zone d’une zone mise en œuvre par le mélangeur.

Afin de pouvoir réaliser le balayage en forme de point nécessaire dans la pratique, le circuit d’arrêt d’échantillonnage doit être interprété de telle manière que l’intervalle exhaustif devient aussi étroit que nécessaire pour une fréquence d’échantillonnage de 220 MHz ou plus. Cela peut être comparé à un balayage avec 220 MHz, dont seule la cinquième valeur est utilisée, tandis que les quatre valeurs d’échantillonnage entre les deux sont rejetées.

• Harry Nyquist: Certains sujets de la théorie de la transmission télégraphique. Dans: Transactions de l’American Institute of Electrical Engineers. Vol. 47, 1928, ISSN 0096-3860 , Pp. 617–644 (re -print dans: Actes de l’IEEE. Vol. 90, n ° 2, 2002, ISSN 0018-9219 , S. 617–644).
• J. R. Higgins: Cinq nouvelles sur la série Cardinal. Dans: Bulletin de l’American Mathematical Society. NS Vol. 12, n ° 1, 1985, S. 45–89.
• Michael Our: Échantillonnage – 50 ans après Shannon. Dans: Actes de l’IEEE. Vol. 88, No. 4, 2000, S. 569–587, ( en ligne ).
• Wolfgang Wunderlich: Télévision numérique HDTV, HDV, AVCHD pour un et transfert . Auberge-TV Verlag, Hohen Neuendorf 2007, ISBN 978-3-00-023484-2.

1. ↑ Claude Elwood Shannon: Communication en présence de bruit (PDF; 301 Ko). Dans: Proc. COLÈRE. Vol. 37, Non. 1, 1949 (Réimpression dans: Proc. IEEE. Vol. 86, No. 2, 1998)
2. ↑ Théorie de l’information algorithmique: mathématiques du traitement de l’information numérique , Peter Seibt, Springer, 2006, ISBN 3-540-33219-7, p. 216 ( Aperçu limité dans la recherche de livres Google).
3. ↑ J. M. Whittaker: La théorie «Fourier» de la fonction cardinale . Dans: Actes de la Edinburgh Mathematical Society (série 2) . Groupe d’abord , Non. 03 , 1928, S. 169–176 , est ce que je: 10.1017 / s0013091500013511 .
4. ↑ K. Küpfmüller: Sur la dynamique des régulateurs de renforcement automatique. Dans: Technologie des communications électriques. Bd. 5, nr. 11, 1928, S. 459–467.
5. ↑ Hans Droking Leffer: Les origines du théorème d’échantillonnage , IEEE Communications Magazine, S. 106–108, avril 1999. Version en ligne (PDF; 53 Ko).
6. ↑ Thomas Görne: Technologie saine. Hanser Verlag, 2008, ISBN 3-446-41591-2, p. 153 ( Aperçu limité dans la recherche de livres Google).
7. ↑ Voir Michael Our: Échantillonnage – 50 ans après Shannon. Dans: Actes de l’IEEE. Vol. 88, No. 4, 2000, S. 569–587, ( en ligne ( Mémento des Originaux à partir du 9 juillet 2006 Archives Internet ) Info: Le lien d’archive a été utilisé automatiquement et non encore vérifié. Veuillez vérifier le lien d’origine et d’archiver en fonction des instructions, puis supprimez cette note. @d’abord @ 2 Modèle: webachiv / iabot / bigwww.epfl.ch ).
8. ↑ Voir J. R. Higgins: Cinq nouvelles sur la série Cardinal. Dans: Bulletin de l’American Mathematical Society. NS Vol. 12, n ° 1, 1985, S. 45–89.