Point fixe de Lefschetz – Wikipedia

Au Point fixe de Lefschetz S’il s’agit d’une phrase topologique, selon laquelle l’existence d’un point fixe est fixée dans certaines images constantes. Base de celle prouvée par Salomon Lefschetz 1926 ^[d’abord] La phrase est la So-appelée Numéro de lefschetz , qui est un paramètre d’images constantes, qui est définie à l’aide de concepts relativement abstraits de topologie algébrique et est invariant d’homotopie.

Un resserrement du point fixe est que Formule de point fixe de Lefschetz , dans lequel le numéro Lefschetz Dices fixes est exprimé. En tant que cas particulier de l’ensemble de points fixe de Lefschetz, le point fixe de Brouwer et une généralisation de cette phrase éloignée de cette phrase sont le point fixe de l’Atiyah et de la botte de la zone de l’analyse globale.

Le nombre de Lefschetz peut être utilisé pour chaque auto-exploration constante

${displaystyle fcolon xrightarrow x}$

Dans une zone topologique

${displaystyle x}$

Définir, tous les dimensions des groupes d’homologie singuliers résumées comme les salles vectorielles sont enfin:

${Displaytyle lambda _ {f}: = sum 0} (- 1) {{k} mathrm {tr} (f_tr}),} (f_k) (f_k) (f_k) (f_k) (f_cance)),}.$

Les résumés de la somme alternée sont les traces de celle des groupes d’homologie

${displaystyle f}$

homomorphismes induits

${displayStyle f_ {k}}$

. Les nombres de Lefschetz sont essentiellement des nombres totaux. En raison de votre définition, vous ne changez pas lors de la transition vers une illustration homotopen.

Le nombre de lefschetz pour l’illustration identique est égal aux caractéristiques d’Euler

${displayStyle chi (x) =, lambda _ {mathrm {id}}.}$

Par exemple, dans le cas où la zone topologique est une triangulation finie

${displaystyle k}$

a (il est alors en particulier compact), le numéro de Lefschetz peut déjà être au niveau du complexe de chaîne fini attribué

${displayStyle c _ {*} (k, mathbb {q})}$

être calculé. Plus précisément, ce qui suit s’applique à une approximation simple

${displaystyle f ^ {k}}$

L’illustration

${displaystyle f}$

La dite Formule Lefschetz-Hopfsche-Spur ^[2]

${Displaytyle lambda _ {f} = sum _ {kgeq 0} (- 1) {{kesmathrm {trum {trum {trm$

Avec une auto-information à point fixe

${displaystyle f}$

Cela signifie une illustration

${displaystyle f}$

sans point

${displaystyle x}$

avec

${displayStyle f (x) = x}$

, peut ensuite utiliser une triangulation suffisamment raffinée

${displaystyle lambda _ {f} = 0}$

être détecté.

Inversement, chaque auto-information doit

${displaystyle f}$

Avec un numéro Lefschetz

${displaystyle lambda _ {f} neq 0}$

ont au moins un point fixe. Il s’agit de l’énoncé du point fixe de Lefschetz.

Le nombre de lefschetz d’une illustration ne dépend que de leur comportement dans les environnements des composants à point fixe. A l’illustration

${displaystyle f}$

Seuls les points fixes isolés, le nombre de Lefschetz peut être utilisé par la formule

${displayStyle lambda _ {f} = sum _ {xin opératorname {fix} (f)} i (f, x)}$

à exprimer. Décrit

${displayStyle operatorname {fixe} (f)}$

La quantité finie de points fixes isolés et

${displayStyle i (f, x)}$

L’indice de point fixe vers le point fixe

${displaystyle x}$

.

L’indice de point fixe peut être considéré comme une multiplicité du point fixe pertinent: IS

${displaystyle x}$

Un point fixe d’un polyèdre à l’intérieur

${displaystyle x}$

, alors son indice de point fixe est

${displayStyle i (f, x)}$

égal au degré d’illustration de celui sur une petite sphère

${displaystyle x}$

illustration définie

${DisplayStyle g (y) = {fraude {y-f (y)} {|| y-f (y) ||}}.}$

Comme avec le fermé

${displaystyle n}$

-Médiction de dimension

${displaystyle D^{n}}$

pour tous

${DisplayStyle Kgeq 1}$

Les groupes d’homologie

${DisplayStyle h_ {k} (d ^ {n}, mathbf {q})}$

disparaître, le nombre de Lefschetz est sur chaque auto-exploration

${displaystyle D^{n}}$

également 1. Chacune de ces illustrations doit donc avoir au moins un point fixe.

1. ↑ S. Lefschetz: Intersections et transformations des complexes et des variétés , Transactions American Mathematical Society 1926, Bd. 28, S. 1–49 ( En ligne ; PDF; 4,3 Mo)
2. ↑ Heinz Hopf: Une nouvelle preuve de la formule Lefschetz sur des points invariants , Actes de l’Académie nationale des sciences des États-Unis, Bd. 14 (1928), S. 149–153 ( En ligne ; PDF; 421 kb)