Points fixes – Wikipedia
Un Titre de point de fixation (ou un Un point fixe ) En mathématiques est un processus numérique pour l’approximation des solutions à une équation ou un système d’équation. L’équation doit d’abord être dans une équation de point fixe, c’est-à-dire dans une équation de la forme
Avec une fonction
à forme. Alors il y aura un point de départ
choisi et
calculé. Le résultat est à nouveau dans la fonction
utilisé,
et ainsi de suite. Selon des exigences supplémentaires appropriées, la conséquence obtenue approche
une solution de
Et donc une solution au problème d’origine.
Il y a une fonction
Le beaucoup
illustré en soi, ainsi qu’un élément de départ
. La séquence générée par le processus de point fixe associé
dans
est alors défini itérative par
- pour .
Quand la foule
Il y a un concept de convergence, on peut se demander si cet épisode contre un point fixe de
, c’est-à-dire contre un
avec
convergé. L’ensemble de points fixes de banache indique des conditions relativement générales dans lesquelles c’est:
un espace métrique complet, par exemple une partie terminée de la
Ou une salle de Banach, et
Une contraction, alors il y a beaucoup
Exactement un point fixe
depuis
et la séquence générée par le processus de point fixe converge
contre
.
Nous recherchons la solution positive à l’équation
- .
L’équation de point fixe est obtenue par LogarithMing
- .
Par
L’intervalle, par exemple, forme la fonction d’itération donnée
en toi et est sur
Une contraction (voir illustration adjacente).
À partir de la valeur de départ
Résultats pour les prochaines étapes d’itération
,
,
etc. Quand environ environ 20 étapes
Les quatre premières décimales correspondent déjà à la solution exacte.
La procédure Heron représente également un titre de point fixe. [d’abord] Pour
le point fixe (positif)
, de sorte que
À la détermination numérique de
peut être utilisé.
Peut être
constant
Fonction de points de fixation différente avec
et
pour tous
hors de
.
Ensuite, il y a exactement un point fixe
hors de
avec
.
Preuve [ Modifier | Modifier le texte source ]]
Vous définissez
. Alors
. À partir de la valeur intermédiaire, il s’ensuit qu’au moins
un zéro
donner avec
. S’il y avait un deuxième point zéro, par exemple
, alors ça devrait être à cause de
Selon la phrase de Roll un point
du
intervalle
donner
, était
Implicite en contradiction à
Hypothèse. Donc le point fixe est
clairement.
Exemple [ Modifier | Modifier le texte source ]]
Pour la fonction
s’applique à
:
- .
- pour tous .
À partir de cela découle avec la phrase ci-dessus
dans
a exactement un point fixe
((
).
Page de construction [ Modifier | Modifier le texte source ]]
Les méthodes de fractionnement sont un cas spécial important de points fixes. À un système linéaire d’équations
Avec un rien dans n × n -Matrice
et un vecteur
pour se former en une équation de points fixe,
Si vous démontez la matrice
Avec l’aide d’un rien inin n × n -Matrice
dans
- .
Alors suivez
- ,
par lequel
la matrice unitaire.
Le système linéaire des équations
est alors équivalent à la tâche de point fixe
avec
- .
Vous obtenez pour un vecteur de démarrage donné
la procédure d’itération suivante pour
- ,
Et le associé Iterationsmatrix Lit:
.
convergence [ Modifier | Modifier le texte source ]]
À partir du point fixe de Banach et d’autres considérations, il s’ensuit que ces méthodes de point fixe sont exactement pour chaque vecteur de démarrage
converge si le rayon spectral de la matrice d’itération
- .
devrait être aussi petit que possible, car cela détermine la vitesse de convergence.
Procédures spéciales [ Modifier | Modifier le texte source ]]
Les méthodes connues suivantes sont basées sur l’idée de construction ci-dessus pour résoudre les systèmes d’équations linéaires:
Remarques [ Modifier | Modifier le texte source ]]
Procédure d’itération du formulaire
, K = 0, 1, …
- linéaire , d. h. X K + 1 Linéaire ne s’accroche qu’à x k un B,
- Stationnaire , d. H. M et V sont indépendants du numéro de pas de l’itération,
- seul , d. H. Seuls les derniers vecteurs d’approximation sont utilisés.
La procédure de Newton peut être considérée comme des points fixes. En général, la convergence est assurée à l’aide de l’ensemble de points fixes de Banach, la fonction considérée doit donc être une contraction, en particulier dans la zone considérée.
- Wolfgang Dahmen, Arnold Reusken: Numerics pour les ingénieurs et les scientifiques. 2e édition. Springer-Verlag, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-76492-2.
- Martin Hermann: Mathématiques numériques, Volume 1: Problèmes algébriques . 4e édition révisée et élargie. Walter de Gruyter Verlag, Berlin et Boston 2020. ISBN 978-3-11-065665-7.
- ↑ Transformations appropriées: zéro points et points fixes. Dans: Université de Montan Leoben. 23 février 2005, Récupéré le 27 août 2019 .
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